偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

1、8.2 偏 導(dǎo) 數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法 類似地, 可定義函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).v偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 若極限xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在, 則稱此極限為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 記作 00yyxxxz, 00yyxxxf, 00yyxxxz, 或 fx(x0, y0). 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法v偏導(dǎo)數(shù)的定義 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000. v偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 00yyx

2、xxz, 00yyxxxf, 00yyxxxz, ),(00yxfx. 如果函數(shù)zf(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么f(x, y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù), 這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)), 記作xz, xf, xz, 或),(yxfx. v偏導(dǎo)函數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法v偏導(dǎo)數(shù)的定義 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000. v偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 00yyxxxz, 00yyxxxf, 00yyxxxz, ),(00yxfx. xz, xf, xz, 或),(yxfx. v偏導(dǎo)函數(shù)xyxfyxxfyx

3、fxx),(),(lim),(0. v偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào) xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000. v偏導(dǎo)函數(shù)xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0. 偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù). 例如, 三元函數(shù)uf(x, y, z)在點(diǎn)(x, y, z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為xzyxfzyxxfzyxfxx),(),(lim),(0, 其中(x, y, z)是函數(shù)uf(x, y, z)的定義域的內(nèi)點(diǎn). v偏導(dǎo)數(shù)的求法 求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 只要把其它自變量看作常數(shù), 然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可. xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00

4、00000. v偏導(dǎo)函數(shù)xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0. 討論 下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？00),(),(00yyxxxxyxfyxf, 0 ),(),(000 xxxyxfdxdyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf, 0 ),(),(000yyyyxfdydyxf. yxxz32 例1 求zx23xyy2在點(diǎn)(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù). 解 例2 求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù). 解 00),(),(00yyxxxxyxfyxf, 0 ),(),(000 xxxyxfdxdyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf, 0 ),(),(000yyyyx

5、fdydyxf. 8231221yxxz8231221yxxz 7221321yxyzyxxz2sin2yxxz2sin2 yxyz2cos228231221yxxz, 7221321yxyz. yxxz2sin2, yxyz2cos22. yxxz32 , yxxz32 yxyz23 yxyz23 . 解 證 例3 例 3 設(shè)) 1, 0(xxxzy, 求證 zyzxxzyx2ln1. 證 1yyxxz, 1yyxxz, xxyzyln. zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11zxxxxxyxyxyzxxz

6、yxyyyy2lnln1ln11. 例4 例 4 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù). 解 rxzyxxxr222解 rxzyxxxr222rxzyxxxr222 ryzyxyyr222 ryzyxyyr222ryzyxyyr222. 證 本例說明一個(gè)問題 偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào),不能看作分子分母之商. 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證1pTTVVp. 證 因?yàn)閂RTp, , 2VRTVp pRTV , RpVT , 所以 12pVRTRVpRVRTpTTVVp pRTV RVpT 12pVRTRVpRVRTpTTVVp12pVRTRVpRVRTpTTVVp12pVRTR

7、VpRVRTpTTVVp. v偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 fx(x0, y0) f(x, y0)x fy(x0, y0) f(x0, y)y zf(x, y0) zf(x0, y) 是截線zf(x, y0)在點(diǎn)(x0, y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率. 是截線zf(x0, y)在點(diǎn)(x0, y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率. v偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 v偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性 對(duì)于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在, 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 例如. 0 0, 0 ),(222222yxyxyxxyyxf 但函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)并不連續(xù).在點(diǎn)(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0, 提示：0

8、)0 ,(xf, 0) , 0(yf 0)0 ,()0 , 0(xfdxdfx, 0) , 0() 0 , 0(yfdydfy. 提示：當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿直線ykx趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), 有 22222022 )0 , 0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx. 因此, 函數(shù)f(x, y)在(0, 0)的極限不存在, 當(dāng)然也不連續(xù). 二、高階偏導(dǎo)數(shù)v二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)zf(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 函數(shù)zf(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)其中fxy(x, y)、fyx(x, y)

9、稱為混合偏導(dǎo)數(shù). 類似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù).),()(22yxfxzxzxxx, ),()(2yxfxyzyzxyx, ),()(22yxfxzxzxxx ),()(2yxfyxzxzyxy, ),()(2yxfxyzyzxyx ),()(22yxfyzyzyyy. 解 22)(xzxzx, yxzxzy2)(, xyzyzx2)(, 22)(yzyzy. 此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的. 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233, , xxyyxyz2392, xxyyxyz2392 例 6 設(shè) zx3y23xy3xy1, 求22xz、33xz、xyz2和yxz2.

10、2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz, 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz, 196222yyxyxz 196222yyxxyz196222yyxxyz. 定理 如果二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz2及yxz2在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù), 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. 定理 解 22)(xzxzx, yxzxzy2)(, xyzyzx2)(, 22)(yzyzy. 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233, , xxyyxyz2392, xxyyxyz2392 例 6 設(shè) zx3y23xy3xy1, 求22xz、33xz、xyz

11、2和yxz2. 2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz, 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz, 196222yyxyxz 196222yyxxyz196222yyxxyz. 證 證 因?yàn)?ln(21ln2222yxyxz, 所以 22yxxxz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz因此 )ln(21ln2222yxyxz, 所以 22yxxxz, 22yxyyz 22yxyyz, 222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222

12、222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz, 222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz. 0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz. 例7 例 7 驗(yàn)證函數(shù)22lnyxz滿足方程02222yzxz. 同理 5232231ryryu, 5232231rzrzu. 32211rxrxrxrrxu 證 例8 例 8 證明函數(shù)ru1滿足方程0222222zuyuxu,

13、 其中222zyxr. 52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu. 提示 6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu. 32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu, 因此 )31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu033)( 3352352223rrrrzyxr)31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu 033)( 3352352223rrrrzyx