第二輪第7講化歸與轉(zhuǎn)化的思想

1、第 7 講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合1解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)， 常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難， 通過(guò)觀察、 分析、類比、 聯(lián)想等思維過(guò)程， 選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換， 將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題 （相 對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題） ，通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思 想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”。2化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè) 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題 的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程。數(shù)

2、學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化， 復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化， 新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化， 命題之間的轉(zhuǎn)化， 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化， 空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向 代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。3轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。 等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件， 所以盡可能使轉(zhuǎn)化 具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性， 或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。4化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則： （1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、 經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)

3、單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解 決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題， 使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。 （4）直觀化原則： 將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決。 （5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討 論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。二、例題分析例 1 某廠 20XX年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在 改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加， 且每月增加投入的

4、百分率相同， 到 12 月投入建設(shè)資金又恰好與 12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同， 問(wèn)全年總利潤(rùn) m與全年總投入 N 的大小關(guān)系是（ ）A. m>NB. m<NC.m=N D.無(wú)法確定 分析每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列 a n ，且公差 d>0，每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列 bn ，且公比 q >1。a1 b1 ，且a12 b12 ，比較S12與T12的大小。若直接求和，很難比較出其大小，但 注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1 )d是關(guān)于 n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線 上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 bn=a1qn-1 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù) 函數(shù)上的一

5、些點(diǎn)列。在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出 ai bi 則 S12 >T12，即 m>N。 點(diǎn)評(píng) 把一個(gè)原本是求和的問(wèn)題，退化到各項(xiàng)的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖 象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對(duì)問(wèn)題的化歸過(guò)程中進(jìn)一步挖掘了問(wèn)題的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì) 問(wèn)題的反思、再加工后，使問(wèn)題直觀、形象，使解答更清新。例 2如果，三棱錐 PABC中，已知 PA BC，PA=BC=，l PA，BC的公垂線 ED=h求1證三棱錐 PABC的體積 V 1l2h 6分析：如視 P為頂點(diǎn)， ABC為底面，則無(wú)論是 SABC以及高 h 都不好求如果觀 察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，

6、則可走出困境解：如圖，連結(jié) EB，EC，由 PA BC，PAED，EDBC=E，可得 PA面 ECD這樣， 截面 ECD將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以 ECD為底面， 以 PE、AE為高的小三棱錐， 而它 們的底面積相等，高相加等于 PE+AE=PA=，l 所以1111 11 2VP ABC=VPECD+VAECD= SECD?AE+ SECD?PE= SECD ?PA= ? BC·ED·PA=Vl 2h 3333 26評(píng)注：輔助截面 ECD的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題迎刃而解例 3在 (x2 3x 2)5的展開式中 x 的系數(shù)為( )(A)160 (B)240 (C)360 (

7、D)800分析與解：本題要求(x2 3x 2)5展開式中 x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過(guò)多項(xiàng)式乘法 法則及二項(xiàng)展開式定理，因此，就要把對(duì) x 系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：思路 1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)基本原理求解，則 (x2 3x 2)5 展開式是 一個(gè)關(guān)于 x 的 10次多項(xiàng)式， (x2 3x 2)5 =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2)，它的展開式中的一次項(xiàng)只能從 5 個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取一次項(xiàng) 3x 并在其 余四個(gè)括號(hào)中均選 擇常數(shù)項(xiàng) 2 相乘得到，故為 C51·(3x) · C44&#

8、183;24=5×3×16x=240x， 所以應(yīng)選 (B) 思路 2 利 用二項(xiàng)式定 理把三項(xiàng) 式乘冪轉(zhuǎn) 化為二項(xiàng)式 定理再 進(jìn)行計(jì)算， 2 2 2 2x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x 2+2)+3x=(x 2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x) ，這條思路下又 有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法如利用x2+3x+2=x2+(3x+2) 轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有C55(3x+2) 5中會(huì)有 x項(xiàng)，即C54 (3x) ·24=240x，故選(B) ；如利用 x2+3x+2= (x 2+2)+3x 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只 C51 (x 2+2) 4·

9、3x 中含有 x 一次項(xiàng)，即 C51 ·3x·C44·24=240x；如利 用x2+3x+2=(x2+3x)+2 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有 C54 ·(x 2+3x) ·24中會(huì)有 x項(xiàng)，即 240x；如選擇 x2+3x+2=(1+x)(2+x) 進(jìn)行轉(zhuǎn)化， (x2 3x 2)5 =(1 x)5×(2 x)5 展開式中的一次 項(xiàng) x 只能由(1+x) 5中的一次項(xiàng)乘以 (2+x) 5展開式中的常數(shù)項(xiàng)加上 (2+x) 5展開式中的一 次項(xiàng)乘以(1+x)5 展開式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為C15x·C55 25+ C51 ?24?x?C50

10、? 15=160x+80x=240x，故選(B) 評(píng)注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。例 4若不等式 x2 px 4x p 3對(duì)一切 0 p 4均成立，試求實(shí)數(shù) x的取值范圍。解： x2 px 4x p 32(x 1)p x2 4x 3 0令 g(p) (x 1)p x2 4x 3 ，則要使它對(duì)0 p 4均有 g(p) 0，只要有g(shù)(0) 0g(4) 0x 3或 x 1。 點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變?cè)幱谥饕匚?，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問(wèn)題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特 定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)趩?wèn)題中的地位，就能使問(wèn) 題迎刃而解。本題中，若視 x 為主元來(lái)處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使問(wèn) 題變成關(guān)于 p 的一次不等式，使問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行。三、總結(jié)提煉1熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、 基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)； 豐富的聯(lián)想、 機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意 識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本