高等數(shù)學(xué)課件：9-3 三重積分1

1、三重積分的定義三重積分的定義三重積分的計算三重積分的計算一、三重積分的定義一、三重積分的定義實例：非均勻分布物體的質(zhì)量問題實例：非均勻分布物體的質(zhì)量問題( , , )( , , )0.x y zx y zM 設(shè)設(shè)一一質(zhì)質(zhì)量量非非均均勻勻分分布布的的物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域，其其體體密密度度在在上上連連續(xù)續(xù)，且且，求求xyzo 將物體任意分成將物體任意分成 n 小塊，小塊，iv 1niiMM 將每一小塊近似看作均勻物體，將每一小塊近似看作均勻物體， (,)iiiiiMv (,)iii 11nniiM 01lim(,).niiiiiMv 定義定義( , , )f x y z 設(shè)設(shè)函函數(shù)

2、數(shù)在在空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域上上有有界界，12,ninvvvvi 將將區(qū)區(qū)域域任任意意地地分分成成個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域，其其中中表表示示第第 個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域，也也表表示示它它的的體體積積，(,)(,)(1,2, )iiiiiiiivfvin 在在每每個個小小區(qū)區(qū)域域上上任任取取一一點點，作作乘乘積積，1(,)niiiiifv 并并作作和和，n 記記為為個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域直直徑徑的的最最大大值值，0 如如果果當(dāng)當(dāng)時時，該該和和式式的的極極限限存存在在，( , , )f x y z 則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上的的三三重重積積分分，( , , )f x y z

3、 dv 記記作作，01( , , )lim(,).niiiiif x y z dvfv 即即注(1)( , , )( , , )(,).iiif x y z dvf x y z 三三重重積積分分只只與與被被積積函函數(shù)數(shù)以以及及積積分分區(qū)區(qū)域域有有關(guān)關(guān)，而而與與區(qū)區(qū)域域的的分分法法以以及及點點的的取取法法無無關(guān)關(guān)(2)( , , )( , , )( , , ).f x y zf x y zf x y z 當(dāng)當(dāng)在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時時，定定義義中中積積分分和和式式的的極極限限一一定定存存在在，即即在在上上的的三三重重積積分分存存在在，此此時時也也稱稱在在區(qū)區(qū)域域上上可可積積(3)(

4、 , , )( , , ).f x y z dvf x y z dxdydz 在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，三三重重積積分分通通常常也也記記作作三重積分的物理意義三重積分的物理意義( , , )( , , ).x y zMx y z dv 如如果果一一物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域，其其體體密密度度在在上上連連續(xù)續(xù), ,則則其其質(zhì)質(zhì)量量( , , )11.f x y zdvdvv 特特別別：當(dāng)當(dāng)時時，三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)三三重重積積分分有有著著與與定定積積分分、二二重重積積分分類類似似的的性性質(zhì)質(zhì). .二、三重積分的計算二、三重積分的計算方法方法1：投影法（先一后二法）：投影法（

5、先一后二法）( , , )f x y z dv 設(shè)設(shè)存存在在，選選取取一一種種特特殊殊分分法法，000 xxyyzz 用用三三組組平平面面，把把分分成成若若干干小小區(qū)區(qū)域域，dvdxdydz 體體積積元元素素，( , , )( , , ).f x y z dvf x y z dxdydz 因因此此xyzo DxOyD 閉閉區(qū)區(qū)域域在在坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為，2( , )zz x y 1( , )zz x y 2S1S1122( , )( , )S zzx ySzzx y：，：，1212( , )( , )( , )( , )zx yzx yDzx yzx y 其其中中，在在上

6、上連連續(xù)續(xù)，且且，12( , , )( , )( , ) ( , ).x y zzx yzzx yx yD ，12( , )x yDzz 過過點點作作直直線線，從從穿穿入入，從從穿穿出出，( , )x y1z2z,( , , )x yf x y zz先先把把視視為為常常數(shù)數(shù)，將將只只看看作作 的的函函數(shù)數(shù)，則則( , )F x yD再再計計算算在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上的的二二重重積積分分，21( , )( , )( , )( , , )zx yzx yF x yf x y z dz ，21( , )( , )( , )( , , )zx yzx yDDF x y df x y z dz d ，12

7、( )( )Daxby xyyx如如果果：，2211()( , )()( , )( , , )( , , ).byxzx yayxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz )(2xyy abD)(1xyy 注zS 平平行行于于軸軸并并且且穿穿過過閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的直直線線與與閉閉區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界曲曲面面相相交交不不多多于于兩兩點點例例1( , , )(1)100If x y z dxdydzzxyxyz 化化三三重重積積分分為為三三次次積積分分，其其中中是是由由雙雙曲曲拋拋物物面面與與平平面面，以以及及所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域；解解xyzo( , , )0( , ).

8、x y zzxyx yD ，0101Dxyx：，( , , )If x y z dxdydz 0( , , )xyDdxdyf x y z dz 11000( , , ).xxydxdyf x y z dz 222(2)22.zxyzx 其其中中是是由由曲曲面面及及所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域解解222( , , )22( , ).x y z xyzxx yD ，22222.zxyzxxOyxOy曲曲面面及及所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域在在面面上上的的投投影影為為二二者者交交線線在在面面上上的的投投影影曲曲線線所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域xOy而而二二者者交交線線在在面面上上的的投投影影曲曲線線為為221

9、0 xyz 221Dxy故故：. .22222( , , )xxyDIdxdyf x y z dz 22222112112( , , )xxxxydxdyf x y z dz 例例2cos()002.Iyxz dxdydzyxyzxz 計計算算，其其中中是是由由拋拋物物柱柱面面與與平平面面，所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域解解( , , ) 0( , )2x y zzxx yD ，00.2Dxyx ：，20cos()xDIdxdyyxz dz 22000cos()xxdxdyyxz dz 22000sin()xxdxyxzdy 200(1sin )xdxyx dy 2200(1sin )2xyxdx

10、201(1sin )2xx dx 220011sin22xdxxxdx222200011( coscos)42xxxxdx 21.162 方法方法2：截面法（先二后一法）：截面法（先二后一法） , zc d 設(shè)設(shè)積積分分區(qū)區(qū)域域在在軸軸上上的的投投影影區(qū)區(qū)間間為為， , ()zzc dxOyDS 在在中中任任取取一一點點，過過該該點點作作平平行行于于面面的的平平面面截截得得到到的的平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域其其面面積積記記為為，z(1)( , , )( )zDzf x y z dxdyzF z 先先把把視視為為常常數(shù)數(shù)，計計算算二二重重積積分分，其其結(jié)結(jié)果果為為 的的函函數(shù)數(shù)；(2)( )dcF z

11、 dz 再再計計算算定定積積分分，( , , )( , , ).zdcDf x y z dxdydzdzf x y z dxdy 注( , , )( )zf x y zf zxOyS若若被被積積函函數(shù)數(shù)只只依依賴賴于于一一個個變變元元，如如，并并且且當(dāng)當(dāng)平平行行于于面面的的平平面面與與相相截截時時，其其截截面面積積容容易易求求出出，則則用用截截面面法法計計算算三三重重積積分分，( )f z dxdydz ( )zdcDf z dzdxdy ( ).dzcf z S dz 例例322222221.Iz dxdydzxyzabc 計計算算，其其中中是是由由橢橢球球面面所所圍圍成成的的空空間間閉閉區(qū)

12、區(qū)域域解解xyzozD( , , )( , )zx y zx yDczc ，2222221zxyzDabc 其其中中：，2Iz dxdydz 2zccDz dzdxdy 2222221zxyzDabc ：，222222(1)(1)zDzzdxdyabcc 22(1)zabc ，222(1)cczabzdzc 原原式式34.15abc 例例41Izdxdydzxyz 計計算算，其其中中是是由由平平面面與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域. .解一解一111xyzo( , , )01( , )x y zzxyx yD ，01 01Dxyx ：，111000 xxyIdxdyzdz 112001(1)2xdxxydy 1301(1)6xdx 1.24 111xyzo解二解二( , , )( , )01zx y zx yDz ，100zDxyzxy 其其中中：，10zDIzdz