高中數(shù)學(xué)公式大全

1、精品文檔精品文檔高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1. 包含關(guān)系abaabbuuabc bc auac buc abr 2 集合12,na aa的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)； 真子集有2n1 個(gè)； 非空子集有2n1 個(gè)； 非空的真子集有2n2個(gè). 3.充要條件（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件 . （2）必要條件：若qp，則p是q必要條件 . （3）充要條件：若pq，且qp，則p是q充要條件 . 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 4. 函數(shù)的單調(diào)性(1) 設(shè)2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函數(shù)；

2、1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是減函數(shù) . (2) 設(shè)函數(shù))(xfy在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果0)(xf，則)(xf為增函數(shù)；如果0)(xf，則)(xf為減函數(shù). 5. 如果函數(shù))(xf和)(xg都是減函數(shù), 則在公共定義域內(nèi), 和函數(shù))()(xgxf也是減函數(shù); 如果函數(shù))(ufy和)(xgu在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù))(xgfy是增函數(shù) . 6奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱 ; 反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函

3、數(shù)是偶函數(shù)7. 對(duì)于函數(shù))(xfy(rx),)()(xbfaxf恒成立 , 則函數(shù))(xf的對(duì)稱軸是函數(shù)2bax; 兩個(gè)函數(shù))(axfy與)(xbfy的圖象關(guān)于直線2bax對(duì)稱 . 8. 幾個(gè)函數(shù)方程的周期( 約定 a0) （1）)()(axfxf，則)(xf的周期 t=a；（2） ，)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 則)(xf的周期 t=2a；9. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)1mnnmaa（0,am nn，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nn，且1n）. 10根式的性質(zhì)（1）()nnaa. （2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nnaa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,0|

4、,0nna aaaa a. 11有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) (0, ,)rsrsaaaar sq.(2) ()(0, ,)rsrsaaar sq.(3)()(0,0,)rrraba babrq. 12. 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式logbanban (0,1,0)aan. .負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，.1 的對(duì)數(shù)等于0：01loga， .底的對(duì)數(shù)等于1：1logaa，精品文檔精品文檔.積的對(duì)數(shù)：nmmnaaaloglog)(log，商的對(duì)數(shù)：nmnmaaalogloglog，冪的對(duì)數(shù)：mnmanaloglog；bmnbanamloglog13. 對(duì)數(shù)的換底公式logloglogmamnna (0a, 且1

5、a,0m, 且1m,0n). 推論loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0n). 15.11,1,2nnnsnassn( 數(shù)列na的前 n 項(xiàng)的和為12nnsaaa). 16. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式*11(1)()naanddnad nn；其前 n 項(xiàng)和公式為1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 17. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1*11()nnnaaa qqnnq；其前 n 項(xiàng)的和公式為11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 18. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式22sincos1，tan=

6、cossin19 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式212( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnco20 和角與差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab( 輔助角所在象限由點(diǎn)( , )a b的象限決定 ,tanba ).21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin（21cos2cos2，21cos2sin2） 22tantan21tan22. 三角函數(shù)的周期公式函數(shù)sin()yx，xr及函數(shù)cos()yx，xr(a,

7、 ,為常數(shù)， 且 a 0，0) 的周期2t；(n 為偶數(shù) ) (n 為奇數(shù) ) 精品文檔精品文檔函數(shù)tan()yx，,2xkkz(a, ,為常數(shù)，且a 0，0)的周期t. 23. 正弦定理2sinsinsinabcrabc. 24. 余弦定理2222cosabcbca;2222cosbcacab;2222coscababc. 25. 面積定理111sinsinsin222sabcbcacab（2）. 26. 三角形內(nèi)角和定理在 abc中，有()abccab222cab222()cab. 27. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律： ( a)=( ) a;(2)第一分配律： (

8、 +) a=a+a; (3) 第二分配律： ( a+b)= a+b. 28. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) ab= b a（交換律） ;(2) （a） b= （ab）=ab= a （b）;(3) （a+b） c= ac +b c.30向量平行的坐標(biāo)表示設(shè) a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，則 ab(b0)12210 x yx y.31. a與 b 的數(shù)量積 ( 或內(nèi)積 )ab=|a| b|cos 32. 數(shù)量積 ab 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘積33. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 設(shè) a=11(,)x y, b=22(,)xy，則 a

9、+b=1212(,)xxyy. (2) 設(shè) a=11(,)x y, b=22(,)xy，則 a-b=1212(,)xxyy. (3) 設(shè) a11(,)xy，b22(,)xy, 則2121(,)aboboaxx yy. (4) 設(shè) a=( ,),x yr，則a=(,)xy. (5) 設(shè) a=11(,)xy, b=22(,)xy，則 ab=1212()x xy y. 34. 兩向量的夾角 公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy). 35. 平面兩點(diǎn)間的距離公式,a bd=|abab ab222121()()xxyy(a11(,)x y，b22

10、(,)xy). 36. 向量的平行與垂直設(shè) a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，則a| bb=a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 37. 三角形的重心坐標(biāo)公式 abc 三 個(gè) 頂 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 分 別 為11a(x ,y )、22b(x ,y)、33c(x ,y), 則 abc 的 重 心 的 坐 標(biāo) 是123123(,)33xxxyyyg. 設(shè)o為abc所在平面上一點(diǎn)，角,a b c所對(duì)邊長分別為, ,a b c，則（1）o為abc的外心222oaoboc. （2）o為abc的重心0oaoboc. （3）o為abc的垂心oa ob

11、ob ococ oa. 38. 常用不等式：（1）,a br222abab( 當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“ =”號(hào)) 精品文檔精品文檔（2）,a br2abab(當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)取“ =”號(hào))（3）bababa.39 已知yx,都是正數(shù)，則有（1）若積xy是定值p，則當(dāng)yx時(shí)和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，則當(dāng)yx時(shí)積xy有最大值241s. 40. 含有絕對(duì)值的不等式當(dāng) a 0 時(shí)，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 41.斜率公式2121yykxx（111(,)p xy、222(,)p xy）. 42.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式11()yyk xx( 直線l過點(diǎn)111(,

12、)p xy，且斜率為k)（2）斜截式y(tǒng)kxb(b 為直線l在 y 軸上的截距 ). （3）兩點(diǎn)式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)p xy、222(,)p xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分別為直線的橫、縱截距，0ab、)（5）一般式0axbyc(其中 a、b 不同時(shí)為0).43.兩條直線的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb;12121llk k. (2)若1111:0la xb yc,2222:0la xbyc,且 a1、a2、b1、b2都不為零 , 11112222|abcllabc；12121

13、20lla ab b；(1111:0la xb yc,2222:0la xb yc,12120a ab b). 直線12ll時(shí)，直線l1與 l2的夾角是2. 45.點(diǎn)到直線的距離0022|axbycdab(點(diǎn)00(,)p xy,直線l：0axbyc). 46. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222()()xaybr. （2）圓的一般方程220 xydxeyf(224def0). 47. 直線與圓的位置關(guān)系直線0cbyax與圓222)()(rbyax的位置關(guān)系有三種: 0相離rd;0相切rd; 0相交rd. 其中22bacbbaad. 48. 兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半

14、徑分別為r1，r2，doo21條公切線外離421rrd;條公切線外切321rrd; 條公切線相交22121rrdrr;條公切線內(nèi)切121rrd; 無公切線內(nèi)含210rrd. 精品文檔精品文檔49. 圓的切線方程(1) 已知圓220 xydxeyf(2) 已知圓222xyr過圓上的000(,)p xy點(diǎn)的切線方程為200 x xy yr; 50. 橢圓22221(0)xyabab的參數(shù)方程是cossinxayb. 51. 橢圓22221(0)xyabab焦半徑公式)(21caxepf，)(22xcaepf. 52橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的內(nèi)部22

15、00221xyab. （2）點(diǎn)00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 53. 雙曲線22221(0,0)xyabab的焦半徑公式21| () |apfe xc，22| ()|apfexc. 54. 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1 ）若雙曲線方程為12222byax漸近線方程：22220 xyabxaby. (2) 若漸近線方程為xaby0byax雙曲線可設(shè)為2222byax. (3) 若雙曲線與12222byax有公共漸近線， 可設(shè)為2222byax（0，焦點(diǎn)在 x 軸上，0，焦點(diǎn)在 y 軸上）. 55. 拋物線pxy22的焦半徑公式拋物線22(

16、0)ypx p焦半徑02pcfx. 過焦點(diǎn)弦長pxxpxpxcd212122. 56. 直線與圓錐曲線相交的弦長公式221212()()abxxyy或2222211212(1)()| 1tan| 1tabkxxxxyyco（弦端點(diǎn)a),(),(2211yxbyx，由方程0)y, x(fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,為直線ab的傾斜角，k為直線的斜率）. 57(1) 加法交換律： ab=ba(2) 加法結(jié)合律： ( ab) c=a( bc) (3) 數(shù)乘分配律： ( a b)= ab59 共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b0 )，ab存在實(shí)數(shù) 使 a=bpab、 、三點(diǎn)共線|a

17、pabapt ab(1)opt oatob. 60. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a123(,)a aa， b123(,)b b b則(1)ab112233(,)ab abab；(2)a b112233(,)ab ab ab； (3) a123(,)aaa ( r)；(4)ab1 12233a ba ba b；61. 設(shè) a111(,)xy z，b222(,)xyz，則aboboa= 212121(,)xx yy zz. 62空間的線線平行或垂直設(shè)111(,)ax y zr，222(,)bxy zr，則abrr0a br r1212120 x xy yz z. 63. 夾角公式精品文檔精品文檔設(shè)a12

18、3(,)a aa， b123(,)b b b，則 cosa，b=1 12233222222123123a ba ba baaabbb. 64異面直線所成角cos| cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzrrrr（其中（090oo）為異面直線a b,所成角，,a br r分別表示異面直線a b,的方向向量）65.直線ab與平面所成角sin|ab marcabm(m為平面的法向量 ). 66.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n為平面，的法向量） . 134. 空間兩點(diǎn)間的距離公式若 a1

19、11(,)xy z，b222(,)xyz，則,a bd=|abab ab222212121()()()xxyyzz. 67. 球的半徑是r，則其體積343vr, 其表面積24sr (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為612a, 外接球的半徑為64a. 6813vsh柱體（s是柱體的底面積、h是柱體的高）.13vsh錐體（s是錐體的底面積、h是錐體的高） . 69. 分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）12nnmmm. 70. 排列數(shù)公式mna=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，m n*，且mn) 注:規(guī)定1! 0. 71. 組合數(shù)公式mnc=mnmmaa=mmnnn2

20、1)1()1(=！)(mnmn(n n*，mn，且mn). 72. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)mnc=mnnc ;(2) mnc+1mnc=mnc1. 注:規(guī)定10nc. 155. 組合恒等式 （1）11mmnnnmccm;（ 2）1mmnnnccnm;（3）11mmnnnccm; （4）nrrnc0=n2; 73. 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系mmnnam c！ . 74單條件排列以下各條的大前提是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列. （1） “在位”與“不在位”某（特）元必在某位有11mna種；某（特）元不在某位有11mnmnaa（補(bǔ)集思想）1111mnnaa（著眼位置）11111mnmmnaaa（著眼元素

21、）種. （2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：)(nmkk個(gè)元在固定位的排列有kmknkkaa種. 浮動(dòng)緊貼：n個(gè)元素的全排列把k 個(gè)元排在一起的排法有kkknknaa11種.注：此類問題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h 個(gè)（1hk） ，把它們合在一起來作全排列，k 個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有khhhaa1種. （3）兩組元素各相同的插空m個(gè)大球n個(gè)小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)1mn時(shí)，無解；當(dāng)1mn時(shí)，有nmnnnmcaa11種排法 . 精品文檔精品文檔（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m 個(gè)和 n 個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為nnmc. 75分配問題（

22、 1） (平 均分組有歸屬問題 ) 將相異 的m、n個(gè)物 件等 分給m個(gè)人 ，各得n件 ，其 分配方法數(shù)共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmncccccn)!()!(22.（2） (平均分組無歸屬問題)將相異的mn個(gè)物體等分為無記號(hào)或無順序的m堆，其分配方法數(shù)共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmcccccn) !( !)!(!.22.（3） (非平均分組有歸屬問題)將相異的)12mp(p=n +n +n個(gè)物體分給m個(gè)人， 物件必須被分完， 分別得到1n，2n， ，mn件， 且1n，2n， ，mn這m個(gè)數(shù)彼此不相等， 則其分配方法數(shù)共有!.!.21211mnnnnpnpnnnmpm

23、cccnmm.76. 二項(xiàng)式定理nnnrrnrnnnnnnnnbcbacbacbacacba222110)( ; 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式rrnrnrbact1)210(nr，. 77.n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k 次的概率( )(1).kkn knnp kc pp78. 離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）0(1,2,)ipi; （2）121pp. 79. 數(shù)學(xué)期望1122nnex px px p80. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）()( )e abaeb. （2）若( ,)b n p, 則enp. 81. 方差2221122nndxepxepxep標(biāo)準(zhǔn)差=d. 82. 方差的性質(zhì) (1)2d aba d；(2 ）若( ,)b n p，則(1)dnpp. 83.)(xf在),(ba的導(dǎo)數(shù)( )dydffxydxdx00()( )limlimxxyfxxf xxx. 84. 函數(shù))(xfy在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù))(xfy在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)是曲線)(xfy在)(,(00 xfxp處的切線的斜率)(0 xf，相應(yīng)的切線方程是)(000 xxxfyy. 85. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) 0c（c為常數(shù)） .(2) 1()()nnxnxnq.(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos(5)x