高中數(shù)學(xué)人教版必修4任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1 任意角的三角函數(shù)（1）教學(xué)目標(biāo)：1. 復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號、及誘導(dǎo)公式；2. 利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；3. 利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的概念。教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的利用。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 三角函數(shù)的定義2. 誘導(dǎo)公式)z(tan)2tan()z(cos)2cos()z(sin)2sin(kkkkkk練習(xí) 1. ._tan600o的值是 d 3.d3.c33.b33.a練習(xí) 2. ._, 0cossin在則若 b 第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限.d.c.

2、b.a練習(xí) 3. _0sin20cos的終邊在則若，且c 第二象限第四象限第三象限第一象限.d.c.b.a講解新課：當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)( , )p x y的坐標(biāo)滿足221xy時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示三角函數(shù)線。1有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定向。規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時為正，與坐標(biāo)方向相反時為負(fù)。有向線段：帶有方向的線段。2三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)o，始邊與 x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn) p( ,)x y，2 過 p 作 x 軸的垂線，垂足為m ；過點(diǎn)(1,0)a作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點(diǎn)t . 由四

3、個圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段,omx mpy，于是有sin1yyympr， cos1xxxomr， tanympatatxomoa我們就分別稱有向線段,mp omat為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)； 余弦線由原點(diǎn)指向垂足； 正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為

4、負(fù)值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。4例題分析：例 1作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）3；（2）56；（3）23；（4）136解：圖略。例 2. .1cossin20，證明若oxymtpaoxymtpaxyomtpaxyomtpa（）（）（）（）3 54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1.3與與與比較大?。豪?(21sin20. 4的取值范圍是的上滿足，在例xx，65.d326.c656.b6, 0.a例 5. 利用單位圓寫出符合下列條件的角x 的范圍;21sin)1(x.21cos)2(x答案： （1）7

5、1122,66kxkkz ； （2）22,66kxkkz ；三、鞏固與練習(xí)： p17面練習(xí)四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1三角函數(shù)線的定義； 2會畫任意角的三角函數(shù)線；3利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。五、課后作業(yè)：作業(yè) 4 任意角的三角函數(shù)（2）教學(xué)目的：知識目標(biāo)： 1. 掌握任意角的三角函數(shù)的定義；2. 已知角 終邊上一點(diǎn)，會求角 的各三角函數(shù)值；3. 記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。能力目標(biāo)： （1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2） 樹立映射觀點(diǎn)， 正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生

6、分析、探究、解決問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號） ，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來. 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？在 rtabc中，設(shè) a對邊為 a，b對邊為 b，c對邊為 c，銳角 a 的正弦、余弦、正切依次為,abasinacosatanaccb角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用， 我們必須對三角函數(shù)重新定義。4 二、講解新課：1三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)

7、是一個任意角， 終邊上任意一點(diǎn) p（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為( ,)x y，它與原點(diǎn)的距離為2222(|0)r rxyxy，那么（1）比值yr叫做的正弦，記作 sin，即sinyr；（2）比值xr叫做的余弦，記作 cos，即cosxr；（3）比值yx叫做的正切，記作 tan，即tanyx；（4）比值xy叫做的余切，記作 cot，即cotxy；說明：的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合， 的終邊沒有表明 一定是正角或負(fù)角，以及 的大小，只表明與 的終邊相同的角所在的位置；根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角，四個比值不以點(diǎn)( ,)p x y在的終邊上的位置的改變而改變大??；當(dāng)()2kkz時，的終邊在 y軸上，

8、終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 都等于0，所以tanyx無意義；同理當(dāng)()kkz時，yxcot無意義；除以上兩種情況外，對于確定的值，比值yr、xr、yx、xy分別是一個確定的實(shí)數(shù)，正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。2三角函數(shù)的定義域、值域注意：(1) 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x 軸的非負(fù)半軸重合(2) 是任意角，射線op是角 的終邊， 的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox 轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到op的位置無關(guān) . (3)sin是個整體符號，不能認(rèn)為是“ sin ”與“ ”的積 . 其余五個符號也是這樣. 函數(shù)定

9、義域值域sinyr 1,1cosyr 1,1tany|,2kkzr5 (4) 任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別: 銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似 （直角）三角形的性質(zhì)，“ r”同為正值 . 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、 距離與坐標(biāo)的比來定義的, 它也適合銳角三角函數(shù)的定義. 實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研究過程. (5) 為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限， 使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重

10、合， 一直角邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶3例題分析例 1求下列各角的四個三角函數(shù)值：（通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）（1）0；（2）；（3）32解： （1）因?yàn)楫?dāng)0時，xr，0y，所以sin00，01cos，tan00，cot0不存在。（2）因?yàn)楫?dāng)時，xr，0y，所以sin0，cos1，tan0，cot不存在，（3）因?yàn)楫?dāng)32時，0 x， yr ，所以3sin12，3cos02，3tan2不存在，3cot02，例 2已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2,3)p，求的四個函數(shù)值。解：因?yàn)?,3xy，所以222( 3)13r，于是33 13sin1313yr；22 13co

11、s1313xr；3tan2yx；2cot3xy例 3已知角 的終邊過點(diǎn)( ,2)(0)aaa，求的四個三角函數(shù)值。解：因?yàn)檫^點(diǎn)( ,2 )(0)aaa，所以5 |ra ，,2xa ya當(dāng)222 50sin55 |5yaaaraa時，5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；6 當(dāng)222 50sin55 |5yaaaraa時，；5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc224三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：正弦值yr對于第一、二象限為正（0,0yr） ，對于第三、四象限為負(fù)（0,0yr） ；余弦值xr對于第一

12、、四象限為正（0,0 xr） ，對于第二、三象限為負(fù)（0,0 xr） ；正切值yx對于第一、三象限為正（ , x y 同號） ，對于第二、四象限為負(fù) （ , x y 異號） 說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。練習(xí)： 確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan( 672 )；（4）11tan3例 4求證：若 sin0且 tan0，則角是第三象限角，反之也成立。5誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中 kz tan(2)tank，這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02 間角的三角函數(shù)值問題例 5求下列三角函數(shù)的值： （1）9cos4，（2）11tan()6，例 6求函數(shù)xxxxytantancoscos的值域解： 定義域：cosx 0 x 的終邊不在 x 軸上又tanx0 x 的終邊不在y 軸上當(dāng) x 是第象限角時，0,0 yx cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,0,0 yx|cosx