高中數學人教版必修4任意角的三角函數教學設計

1、1 任意角的三角函數（1）教學目標：1. 復習三角函數的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式；2. 利用三角函數線表示正弦、余弦、正切的三角函數值；3. 利用三角函數線比較兩個同名三角函數值的大小及表示角的范圍。教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。教學過程：一、復習引入：1. 三角函數的定義2. 誘導公式)z(tan)2tan()z(cos)2cos()z(sin)2sin(kkkkkk練習 1. ._tan600o的值是 d 3.d3.c33.b33.a練習 2. ._, 0cossin在則若 b 第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限.d.c.

2、b.a練習 3. _0sin20cos的終邊在則若，且c 第二象限第四象限第三象限第一象限.d.c.b.a講解新課：當角的終邊上一點( , )p x y的坐標滿足221xy時，有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示三角函數線。1有向線段：坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定向。規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。有向線段：帶有方向的線段。2三角函數線的定義：設任意角的頂點在原點o，始邊與 x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點 p( ,)x y，2 過 p 作 x 軸的垂線，垂足為m ；過點(1,0)a作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點t . 由四

3、個圖看出：當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段,omx mpy，于是有sin1yyympr， cos1xxxomr， tanympatatxomoa我們就分別稱有向線段,mp omat為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外。（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點； 余弦線由原點指向垂足； 正切線由切點指向與的終邊的交點。（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為

4、負值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。4例題分析：例 1作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）3；（2）56；（3）23；（4）136解：圖略。例 2. .1cossin20，證明若oxymtpaoxymtpaxyomtpaxyomtpa（）（）（）（）3 54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1.3與與與比較大?。豪?(21sin20. 4的取值范圍是的上滿足，在例xx，65.d326.c656.b6, 0.a例 5. 利用單位圓寫出符合下列條件的角x 的范圍;21sin)1(x.21cos)2(x答案： （1）7

5、1122,66kxkkz ； （2）22,66kxkkz ；三、鞏固與練習： p17面練習四、小 結：本節(jié)課學習了以下內容：1三角函數線的定義； 2會畫任意角的三角函數線；3利用單位圓比較三角函數值的大小，求角的范圍。五、課后作業(yè)：作業(yè) 4 任意角的三角函數（2）教學目的：知識目標： 1. 掌握任意角的三角函數的定義；2. 已知角 終邊上一點，會求角 的各三角函數值；3. 記住三角函數的定義域、值域，誘導公式（一）。能力目標： （1）理解并掌握任意角的三角函數的定義；（2） 樹立映射觀點， 正確理解三角函數是以實數為自變量的函數；（3）通過對定義域，三角函數值的符號，誘導公式一的推導，提高學生

6、分析、探究、解決問題的能力。教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號） ，以及這三種函數的第一組誘導公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點。教學難點：利用與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用他們的集合形式表示出來. 教學過程：一、復習引入：初中銳角的三角函數是如何定義的？在 rtabc中，設 a對邊為 a，b對邊為 b，c對邊為 c，銳角 a 的正弦、余弦、正切依次為,abasinacosatanaccb角推廣后，這樣的三角函數的定義不再適用， 我們必須對三角函數重新定義。4 二、講解新課：1三角函數定義在直角坐標系中，設

7、是一個任意角， 終邊上任意一點 p（除了原點）的坐標為( ,)x y，它與原點的距離為2222(|0)r rxyxy，那么（1）比值yr叫做的正弦，記作 sin，即sinyr；（2）比值xr叫做的余弦，記作 cos，即cosxr；（3）比值yx叫做的正切，記作 tan，即tanyx；（4）比值xy叫做的余切，記作 cot，即cotxy；說明：的始邊與 x 軸的非負半軸重合， 的終邊沒有表明 一定是正角或負角，以及 的大小，只表明與 的終邊相同的角所在的位置；根據相似三角形的知識，對于確定的角，四個比值不以點( ,)p x y在的終邊上的位置的改變而改變大??；當()2kkz時，的終邊在 y軸上，

8、終邊上任意一點的橫坐標x 都等于0，所以tanyx無意義；同理當()kkz時，yxcot無意義；除以上兩種情況外，對于確定的值，比值yr、xr、yx、xy分別是一個確定的實數，正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數值的函數，以上四種函數統稱為三角函數。2三角函數的定義域、值域注意：(1) 在平面直角坐標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x 軸的非負半軸重合(2) 是任意角，射線op是角 的終邊， 的各三角函數值（或是否有意義）與ox 轉了幾圈，按什么方向旋轉到op的位置無關 . (3)sin是個整體符號，不能認為是“ sin ”與“ ”的積 . 其余五個符號也是這樣. 函數定

9、義域值域sinyr 1,1cosyr 1,1tany|,2kkzr5 (4) 任意角的三角函數的定義與銳角三角函數的定義的聯系與區(qū)別: 銳角三角函數是任意角三角函數的一種特例，它們的基礎共建立于相似 （直角）三角形的性質，“ r”同為正值 . 所不同的是，銳角三角函數是以邊的比來定義的，任意角的三角函數是以坐標與距離、坐標與坐標、 距離與坐標的比來定義的, 它也適合銳角三角函數的定義. 實質上，由銳角三角函數的定義到任意角的三角函數的定義是由特殊到一般的認識和研究過程. (5) 為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限， 使一銳角頂點與原點重

10、合， 一直角邊與 x 軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數類比記憶3例題分析例 1求下列各角的四個三角函數值：（通過本例總結特殊角的三角函數值）（1）0；（2）；（3）32解： （1）因為當0時，xr，0y，所以sin00，01cos，tan00，cot0不存在。（2）因為當時，xr，0y，所以sin0，cos1，tan0，cot不存在，（3）因為當32時，0 x， yr ，所以3sin12，3cos02，3tan2不存在，3cot02，例 2已知角 的終邊經過點(2,3)p，求的四個函數值。解：因為2,3xy，所以222( 3)13r，于是33 13sin1313yr；22 13co

11、s1313xr；3tan2yx；2cot3xy例 3已知角 的終邊過點( ,2)(0)aaa，求的四個三角函數值。解：因為過點( ,2 )(0)aaa，所以5 |ra ，,2xa ya當222 50sin55 |5yaaaraa時，5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；6 當222 50sin55 |5yaaaraa時，；5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc224三角函數的符號由三角函數的定義，以及各象限內點的坐標的符號，我們可以得知：正弦值yr對于第一、二象限為正（0,0yr） ，對于第三、四象限為負（0,0yr） ；余弦值xr對于第一

12、、四象限為正（0,0 xr） ，對于第二、三象限為負（0,0 xr） ；正切值yx對于第一、三象限為正（ , x y 同號） ，對于第二、四象限為負 （ , x y 異號） 說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數值。練習： 確定下列三角函數值的符號：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan( 672 )；（4）11tan3例 4求證：若 sin0且 tan0，則角是第三象限角，反之也成立。5誘導公式由三角函數的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中 kz tan(2)tank，這組公式的作用是可把任意角的三角函數值問題轉化為02 間角的三角函數值問題例 5求下列三角函數的值： （1）9cos4，（2）11tan()6，例 6求函數xxxxytantancoscos的值域解： 定義域：cosx 0 x 的終邊不在 x 軸上又tanx0 x 的終邊不在y 軸上當 x 是第象限角時，0,0 yx cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,0,0 yx|cosx