全等三角形證明經(jīng)典50題2

1、三角形的有關(guān)證明1 已知： ab=4 ， ac=2 ， d 是 bc 中點， 111749ad 是整數(shù)，求adaa 12becfd又 efcg ef ac5 已 知 ： ad平 分 bac，ac=ab+bd ，求證： b=2 cabcd解：延長 ad 到 e,使 ad=de d 是 bc 中點 bd=dc在 acd 和 bde 中ad=de bde= adc bd=dc acd bde ac=be=2在 abe 中ab-be ae ab+be證明：連接bf 和 ef bc=ed,cf=df, bcf= edf三 角 形bcf全 等 于 三 角 形edf 邊角邊 bf=ef, cbf= def連

2、接 be在三角形bef 中,bf=ef ebf= bef； abc= aed ； abe= aeb ； ab=ae ；在三角形abf 和三角形aef 中ab=ae,bf=ef,證明：延長 ab 取點 e，使 ae ac ， 連接 de ad 平分 bac ead cad ae ac ， ad ad aed acd（ sas） e c ac ab+bd求證：1 ab=4 abf= abe+ ebf= aeb+ ae ab+bd即 4-2 2ad 4+2bef= aef ae ab+be1 ad 3 三角形 abf 和三角形aef 全等； bd be ad=2 baf= eaf 1= 2； bde

3、 e2 已知：d 是 ab 中點， acb=90 °， abc e+ bde4 已知： 1= 2，cd=de ，ef/ab ， abc 2 ecdab 2a求證： ef=aca 1 2f abc 2 c6 已知： ac 平分 bad ， ce ab ， b+ d=180 °，求證：ae=ad+becddebcb過 c 作 cg ef 交 ad 的延長線于點g證明：在 ae 上取 f，使 ef eb，連接 cf延長 cd 與 p，使 d 為 cp 中點；連接 ap,bp dp=dc,da=db acbp 為平行四邊形又 acb=90平行四邊形acbp 為矩形cg ef，可得，

4、 efd cgd de dc fde gdc （對頂角） efd cgd ef cg cgd efd ceab ceb cef 90° eb ef， cece ， ceb cef b cfe b d 180 °， cfe ab=cp=1/2ab又， ef abcfa 180°3 已知： bc=de ， b= e， c=， efd 1 1= 2 d cfa ac 平分 bad d，f 是 cd 中點，求證： 1=2 cgd 2 dac fac agc 為等腰三角形， ac acac cg adc afc （sas） ad af ae af fe ad be7 已知：

5、 ab=4 ， ac=2 ， d點， ad 是整數(shù)，求ad acd bde ac=be=2在 abe 中cg ef，可得， efd cgd de dc fde gdc （對頂角）是 bc 中ab-be ae ab+be ab=4 efd cgdef cg即 4-2 2ad 4+2 cgd efd1ad 3 ad=2又 ef ab efd 1 1= 2c9 已知： bc=de ， b= e， c= d，f 是 cd 中點，求證： 1= 2 cgd 2 agc 為等腰三角形，abd解：延長 ad 到 e,使 ad=de d 是 bc 中點 bd=dc在 acd 和 bde 中ad=de bde=

6、adc bd=dca 12becfdac cg又 efcg ef ac11已 知 ： ad平 分 bac，ac=ab+bd ，求證： b=2 ca acd bde ac=be=2證明：連接bf 和 ef；bdc bc=ed,cf=df, bcf= edf ；在 abe 中ab-be ae ab+be ab=4即 4-2 2ad 4+21 ad 3 ad=28 已知：d 是 ab 中點， acb=90 °，1cdab求證：2adcb三 角 形bcf全 等 于 三 角 形edf 邊角邊 ； bf=ef, cbf= def ；連接 be ；在三角形bef 中,bf=ef ； ebf= be

7、f ；又 abc= aed ； abe= aeb ； ab=ae ；在三角形abf 和三角形aef 中，ab=ae,bf=ef, abf= abe+ ebf= aeb+ bef= aef ； 三角形 abf 和三角形aef 全等； baf= eaf 1= 2；10 已知： 1= 2，cd=de ，ef/ab ， 求證： ef=aca 1 2證明：延長 ab 取點 e，使 ae ac ， 連接 de ad 平分 bac ead cad ae ac ， ad ad aed acd （ sas） e c ac ab+bd ae ab+bd ae ab+be bd be bde e abc e+ bd

8、e abc 2 e abc 2 c12. 如圖，四邊形 abcd 中， ab dc ， be 、ce 分別平分 abc 、 bcd ，且點 e 在 ad 上；求證：bc=ab+dc ；解：延長 ad 到 e,使 ad=def d 是 bc 中點c bd=dcd在 acd 和 bde 中ead=deb bde= adc bd=dc過 c 作 cg ef 交 ad 的延長線于點g在 bc 上截取 bf=ab ，連接 ef be 平分 abc be=ce 等量加等量，或等量減等 bd=2be abe= fbe量） bd=cd=ac-ab又 be=be bec 是等腰三角形 ac-ab=2be abe

9、 fbe （ sas） b= c. a= bfe ab/cd a+ d=180 o bfe+ cfe=180 o d= cfe15p 是 bac平分線ad上一點， ac>ab ，求證： pc-pb<ac-abc17 已知， e 是 ab 中點， af=bd ，bd=5 ， ac=7 ，求 dcd又 dce= fce ce 平分 bcdce=cefcaapdeb dce fce（ aas ） cd=cf bc=bf+cf=ab+cd13.已知： ab/ed ， eab= bde ， af=cd ， ef=bc ，求證： f= cb在 ac 上取點 e， 使 ae ab ； ae ab

10、作 ag bd 交 de 延長線于g age 全等 bde ag=bd=5 agf cdf af=ag=5 dc=cf=2edap ap eap bae ，c eap bapfpe pb；pc ec peabpc（ ac ae ） pb18如圖，在 abc中， bd=dc ， 1= 2，求證： ad bc解：延長ad 至 bc 于點 e, bd=dc bdc 是等腰三ab ed ，得：eab+ aed= bde+ abd=180度， eab= bde ， aed= abd ，四邊形 abde是平行四邊形；得： ae=bd ， af=cd,ef=bc ，三角形 aef 全等于三角形dbc ， f

11、= c；14 已知： ab=cd ， a= d，求證： b= cpc pb ac ab ；16已知 abc=3 c， 1= 2， be ae ，求證： ac-ab=2be證明：在 ac 上取一點d，使得角dbc= 角 c abc=3 c角形 dbc= dcb又 1=2 dbc+ 1= dcb+ 2即 abc= acb abc 是等腰三角形 ab=ac在 abd 和 acd 中 ab=ac 1=2bd=dc abd和 acd是全等三角形（邊角邊）ad abd= abc- dbc=3 c-c=2 c； adb= c+ dbc=2 c; ab=ad bad= cad ae 是 abc 的中垂線 ae

12、 bc ad bcbc證明：設(shè)線段ab,cd所在的直線交于 e，（當 ad<bc時， e 點是射線ba,cd 的交點，當ad>bc 時， e 點是射線 ab,dc的交點）；就： aed 是等腰三角形； ae=de而 ab=cd ac ab =ac-ad=cd=bd在等腰三角形abd 中，ae 是角 bad的角平分線， ae 垂直 bd be ae點 e 肯定在直線bd 上，在等腰三角形abd 中，ab=ad ，ae垂直 bd點 e 也是 bd 的中點19如圖， om平分 poq， ma op,mb oq ， a、 b 為垂足， ab 交om 于 點 n求證： oab= oba證明：

13、延長 ac 到 e om 平分 poq pom qom ma op， mb oq使 ae=ac連接ed ab=ac+cd cd=ce23已知：如圖，dc ab ，且 dc=ae ，e 為 ab 的中點，（ 1）求證： aed ebc mao mbo 90可得 b= e（ 2）觀看圖前，在不添幫助線的情 om om cde 為等腰況下， 除 ebc 外，請再寫出兩個與 aom bom（aas ） acb=2 b aed 的面積相等的三角形 （直接 oa ob寫出結(jié)果，不要求證明）： on on aon bon（ sas）22（6 分）如圖，e、f 分別為線 oab= oba ， ona= onb

14、 ona+ onb 180 ona onb 90 om ab20（ 5 分）如圖，已知ad bc ， pab 的平分線與 cba的平分線段 ac 上的兩個動點， 且 de ac 于ae，bf ac 于 f，如 ab=cd ，af=ce ，bd 交 ac 于 點 m e（ 1）求證： mb=md ， me=mf（ 2）當 e、f 兩點移動到如圖的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否bod證明：c dc ab相交于 e，ce 的連線交ap 于 d 求證： ad+bc=ab成立？如成立請賜予證明；如不成立請說明理由 cde aed de de ， dc ae aed edcpc e 為 ab 中點e

15、ae bed be dc做be的延長線， dc ab dce beca交于 f 點， pa/bcb與 ap 相 cece ebc edc aed ebc pab+ cba=180 °，又，ae ，be 均為 pab 和 cba 的角平分線 eab+ eba=90° aeb=90 °， eab 為直角三角形在三角形abf 中， ae bf，且 ae為 fab 的角平分線 三 角 形fab為 等 腰 三 角 形 ，ab=af,be=ef在三角形 def 與三角形bec 中， ebc= dfe, 且 be=ef ， def= ceb，三角形 def 與三角形bec 為全

16、等三角形， df=bc ab=af=ad+df=ad+bc21如圖， abc 中， ad 是 cab的平分線，且ab=ac+cd ，求證： c=2 bac（ 1）連接 be ，df de ac 于 e， bf ac 于 f， dec= bfa=90° ， de bf，在 rt dec 和 rt bfa 中， af=ce ，ab=cd ， rtdec rt bfa （hl ）， de=bf 四邊形bedf 是平行四邊形 mb=md ， me=mf ；（ 2）連接 be ，df de ac 于 e， bf ac 于 f， dec= bfa=90° ， de bf，在 rt de

17、c 和 rt bfa 中， af=ce ，ab=cd ， rtdec rt bfa （hl ）， de=bf 四邊形bedf 是平行四邊形 mb=md ， me=mf 24（ 7 分）如圖，abc中，bac=90 度， ab=ac ，bd 是 abc的平分線， bd 的延長線垂直于過 c 點的直線于 e，直線 ce 交 ba 的延長線于 f求證： bd=2ce faedbc證明： ceb= cab=90 ° abce 四點共元 ab e= cb e ae=ce eca= eac取線段 bd 的中點 g，連接 ag ，就： ag=bg=dg gab= abg而： eca= gba 同弧

18、上的圓周角相等） eca= eac= gba= gabdb而： ac=ab aec agb ec=bg=dg be=2ce25、如圖： df=ce ， ad=bc ， d= c；求證： aed bfc ； adb= cdb=90 ° bd ac28、（ 10 分） ab=ac ， db=dc ， f是 ad的延長線上的一點；求證：bf=cfabc 的中點，試說明三只石凳e，f，m 恰好在一條直線上.證明：連接efdefcdbcab ab cd b= c m 是 bc 中點 bm=cmf在 bem 和 cfm 中證明： df=ce ，在 abd與 acd中be=cf df-ef=ce-

19、ef ，ab=ac b= c即 de=cf ，bd=dcbm=cm在 aed 和 bfc中，ad=ad bem cfm （ sas） ad=bc ， d= c ， de=cf abd acd cf=be aed bfc （ sas） adb= adc bdf= fdc31已知：點 a 、f、e、c 在同一條26、（ 10 分）如圖： ae 、bc 交于點在 bdf 與 fdc中直線上，af ce， be df ，bem ，f 點在 am 上，be cf，be=cf ；bd=dcdf 求證： abe cdf求證： am 是 abc 的中線； bdf= fdcadf=df fbd fcd bf=f

20、cfbmce證明： be cf29、（12 分）如圖：ab=cd ，ae=df ，ce=fb ；求證： af=de ；abf af=ce,fe=ef. ae=cf. df/be, aeb= cfd （兩直線平行，內(nèi) e= cfm ， ebm= fcm be=cfe bem cfmcd bm=cm錯角相等） be=df： abe cdf （sas） am 是 abc 的中線 .27、（ 10 分）如圖：在 abc 中， ba=bc ， d 是 ac的中點；求證： bd ac ；a ab=dc ae=df, ce=fb ce+ef=ef+fb abe= cdf dcb= abf ab=dc bf=

21、ce32.已知：如下列圖，ab ad ， bc dc ，e、f 分別是 dc 、bc 的中點， 求證：ae af ；ded abf= cde af=deacbfc30. 公 園 里 有 一 條 “ z”字 形 道 路b abd和 bcd 的三條邊都相等 abd= bcd adb= cdabcd ，如下列圖，其中ab cd ，在 ab ，cd ， bc 三段路旁各有一只小石凳 e，f，m ，且 be cf，m 在連接 bd ； ab=ad bc=d adb= abd cdb= abd;兩角相加， adc= abc ； bc=dcef 是中點 de=bf ； ab=adde=bf adc= abc

22、 ae=af ；cdfea證明：37. 已 知：如圖 ,acbc于c,deac 于 e , adab 于 a , bc=ae 如 ab = 5 , 求 ad的長？a33如圖， 在四邊形abcd 中， e 是ac 上的一點， 1= 2， 3= 4， bd acd bdc=90 °e ceabbc求證 : 5= 6da153c2e64b證明：在 adc ， abc 中 ac=ac ， bac= dac ， bca= dca adc abc （兩角加一邊） ab=ad ， bc=cd在 dec 與 bec 中 bca= dca ， ce=ce ， bc=cd bec=90 ° b

23、dc= bec=90 ° ab=ac dcb= ebc bc=bc rtbdc rt bec （aas be=cd36 如圖，在 abc 中，ad 為 bac 的平分線， deab 于 e，df ac 于 f ；求證： de=df a ad ab bac= ade又 ac bc 于 c， de ac 于 e依據(jù)三角形角度之和等于180 度 abc= dae bc=ae ， abc dae （ asa ） ad=ab=538如圖： ab=ac ， me ab ， mf ac ，垂足分別為e、f， me=mf ；求證： mb=mca dec bec （兩邊夾一角）e dec= becfe

24、fbmc34已知 ab de ， bcef， d， c在 af 上，且 ad cf，求證： abc def ad=df ac=df ab/debdc證明： ad 是 bac 的平分線 ead= fad de ab ， df ac bfd= cfd=90 ° aed 與 afd=90 °在 aed 與 afd 中 ead= fad ad=ad aed= afd aed afd （ aas ）證明： ab=ac b= c me ab ， mf ac bem= cfm=90 °在 bme 和 cmf 中 b= c bem= cfm=90 °me=mf bme

25、cmf （ aas ） mb=mc a= edf又 bc/efae=af在 aeo 與 afo 中40在 abc中，acb90 ， f= bca abc def （ asa ）35已知： 如圖， ab=ac ，bdac ， ceab ，垂足分別為d、e， bd 、ce 相交于點f，求證： be=cd eao= fao ao=aoae=af aeo afo （ sas） aoe= aof=90 ° ad efacbc ，直線 mn 經(jīng)過點 c ，且admn于 d ， bemn于e .1當直線 mn 繞點 c 旋轉(zhuǎn)到圖1的 位 置 時 ， 求 證 ：adc ceb ； deadbe ；

26、abf aec （ sas）， ec=bf ；d,ab=de,af=cd,bc=ef.求 證 :bc ef2當直線 mn 繞點 c 旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時， （ 1）中的結(jié)論仍成立嗎？如成立， 請給出證明； 如不成立，說明理由 .ade=90 °，（ 2 ）如圖，依據(jù)（ 1）， abf aec ， aec=abf ，ae ab ，bae=90 °， aec+在 abf 和 cde 中,ab=de a= d af=cd（ 1） adc= acb= bec=90 °， cad+ acd=90 °， bce+ cbe=90 °， acd+ bce=90

27、° cad= bce ac=bc ， adc ceb adc ceb ， ce=ad ，cd=be ade= bdm （對頂角相等） ， abf+ bdm=90 °，在 bdm中 ， bmd=180 ° - abf- bdm=180 ° -90°=90 °， ecbf 42 如圖 ： be ac ， cf ab ， bm=ac ， cn=ab ； 求 證 ：（ 1 ） am=an ；（ 2） am an ； abf cde （邊角邊） fb=ce在四邊形bcef 中fb=ce bc=ef四邊形bcef 是平行四邊形 bc ef44如圖

28、 ,已知 ac bd ，ea 、eb 分別平分 cab 和 dba ，cd 過點 e， 就 ab 與 ac+bd相等嗎？請說明理 由 de=ce+cd=ad+bena（ 2 ） adc=ceb=4 3acb=90 °， acd= cbe 又 ac=bc ， acd cbe 1m2fe ce=ad ，cd=be bc de=ce cd=ad be證明：（ 1）在 ab 上取點 n , 使得 an=ac41如下列圖，已知ae ab ， af be ac ， cf ab cae= ean ac ，ae=ab ，af=ac ；求證：（ 1） abm+ bac=90°，acn+ ae

29、 為公共 ,ec=bf ；（ 2） ecbf bac=90 ° abm= acn cae ean ane= ace bm=ac ， cn=ab又 ac 平行 bdf abm nac am=aneam（ 2）bc abm nac bam= n ace+ bde=180 而 ane+ enb=180 enb= bde nbe= ebn be 為公共邊 ebn ebd（ 1） ae ab ， af ac ， n+ ban=90 ° bd=bn bae= caf=90 °， bam+ ban=90° ab=an+bn=ac+bd bae+ bac= caf+ bac ，即 man=90 °45、（ 10 分）如圖 ,已知 : ad是 bc即 eac= baf ， am an上的中線,且 df=de 求證:be 在 abf 和 aec 中， ae=ab ， eac= baf ，af=ac ，43如圖,已知a=cfob=oc ab=dc,ac=db， bc=bc aob= doc abc dcb ， aob doc abc= dcbao=do又 be=ce ，ab=dcao+oc=do+ob在 acb 和 dbc中ac=db abe dce ae=deac=db證明：, 3= 4