倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)報(bào)告.doc

1、倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)報(bào)告組長(zhǎng)：熊圣（學(xué)號(hào)5100309623）組員:黃旭(學(xué)號(hào)5100309666） 杜文曾(學(xué)號(hào)5100309660) 周航（學(xué)號(hào)5100309167）1、 課程設(shè)計(jì)目的針對(duì)具體的設(shè)計(jì)對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后運(yùn)用經(jīng)典控制理論知識(shí) 設(shè)計(jì)控制器，并應(yīng)用Matlab進(jìn)行仿真分析。通過本次課程設(shè)計(jì)，建立理論知識(shí)與實(shí)體對(duì)象之間的聯(lián)系，加深和鞏固所學(xué)的控制理論知識(shí)，增加工程實(shí)踐能力。2、 控制對(duì)象分析1、倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)介支點(diǎn)在下,重心在上，恒不穩(wěn)定的系統(tǒng)或裝置的叫倒立擺。相反，支點(diǎn)在上而重心在下的則稱為順擺。在日常生活中，擺以不同的形式存在著。由倒立擺和其它元件組成的元件稱為倒立擺系統(tǒng). 倒立擺控

2、制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái).對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題:如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。通過對(duì)倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。 倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度.當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動(dòng)而保持穩(wěn)定的位置.此為倒立擺控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)。倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位移（即位置）和擺桿的傾斜角度期望值，計(jì)算機(jī)在每一個(gè)采樣周期中采集來自傳感器的小車與擺桿的實(shí)際位置信號(hào),與

3、期望值進(jìn)行比較后,通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)實(shí)現(xiàn)倒立擺的實(shí)時(shí)控制.直流電機(jī)通過皮帶帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地?cái)[動(dòng).作用力u 平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小 車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),小車沿著水平鐵軌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)沒有作用力時(shí)，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置(豎直向下）。為了使桿子擺動(dòng)或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個(gè)控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動(dòng)。2、 倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 理想條件下的動(dòng)力學(xué)分析在忽略了空氣流動(dòng)以及各種摩擦力之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如左圖所示 倒立擺模型 擺桿和小車受

4、力分析各物理量的表示：M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）3、 數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)小車水平方向的合力：M=F- b- N 擺桿水平方向的合力：N=m（x+ sin) 代入得，水平方向運(yùn)動(dòng)方程:（M+m）+ b+ m lcos- m lsin=F 擺桿垂直方向的合力： Pmg=m（lcos） 即:Pmg =- m lsin- m lcos 力矩平衡方程:-Plsin Nl cos=I 注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負(fù)

5、號(hào)。帶入得，垂直方向的運(yùn)動(dòng)方程： (I+m)+mgl sin=-mlcos 即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:（M+m)+ b+ m lcos- m lsin=F （I+m）+mgl sin=-mlcos 對(duì)于上述的動(dòng)力學(xué)方程,為達(dá)到控制要求: 設(shè)(是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即1,則可以進(jìn)行近似處理：，=0。用來代表被控對(duì)象的輸入力,線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：(M+m）+ b- m l=F （I+m)mgl =ml4、 狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式: 方程組對(duì)解代數(shù)方程,得到如下解： 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：5、 傳

6、遞函數(shù)模型對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換得到：（M+m）X（s）+bX(s）s m l(s）=U（s） (I+m）(s） -mgl（s）=ml X（s)注意：推倒傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0由于輸出角度為，求解方程組(2-10)的第二個(gè)方程，可以得到擺桿角度與小車位移的傳遞函數(shù)： 或 如果令v=,則，即有擺桿角度與小車加速度之間的傳遞函數(shù)： 將上式代入（210）的第一個(gè)方程,得到:整理后得到以輸入力u為輸入量,以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù)： 其中, 把實(shí)際參數(shù)代入,可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型擺桿角度與小車所受外界作用力的傳遞函數(shù): 3、 MATLAB仿真 1、狀態(tài)空間模型下系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析 上面已經(jīng)提到系統(tǒng)

7、的狀態(tài)方程，先對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在Matlab中鍵入以下命令:A=0 1 0 0；0 -0。1818 2.7272 0;0 0 0 1;0 0.4545 31.8181 0B=0 1。8182 0 4。5455'C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0 0step(A，B，C,D)得到以下計(jì)算結(jié)果：一階倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。、2、 狀態(tài)空間模型在Matlab中鍵入以下命令：num = 4。5455 0 0den = 1.0000 0.1818 31.1818 -4。4545 0p = 0 5.5651 -5。6041 0

8、.1428得到以下計(jì)算結(jié)果3、 倒立擺系統(tǒng)PID控制器設(shè)計(jì)PID控制器是一種線性控制器,系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(s)和被控對(duì)象G(s)組成，它根據(jù)給定值r（t）與實(shí)際輸出值y(t）構(gòu)成控制偏差e(t）e(t）= r(t)-y（t）將偏差的比例（P）、積分（I）、微分（D）通過線性組合構(gòu)成控制器,對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱PID控制器.其控制規(guī)律為： 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)形式 在控制系統(tǒng)和仿真中，可將傳遞函數(shù)寫成 原系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：使用SIMULINK進(jìn)行仿真，模塊圖如下所示 PID控制器SIMULINK仿真模塊圖Kp=100，Ki=Kd=10時(shí)，輸出如圖32所示.圖3-2 PID控制器仿真結(jié)果圖

9、（100，10,10）系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較大，取Kp=60,Ki=100，Kd=10，輸出如圖3-3所示。圖3-3 PID控制器仿真結(jié)果圖（60,100，10)從圖中可以看出，超調(diào)量約為15%,穩(wěn)定時(shí)間約為1。5s。4、狀態(tài)空間LQR控制器設(shè)計(jì)A=0 1 0 0；0 0.1818 2。2727 0；0 0 0 1；0 -0.4545 31.1818 0B=0 1.8182 0 4.5455C=1 0 0 0；0 0 1 0D=0 0首先判斷系統(tǒng)能控性。rank（ctrb(A，B）)=4,系統(tǒng)完全能控。選取Q=200,0，0,0;0，0，0,0；0，0,200，0;0,0,0,0R=1k=lqr(A，B，Q，R）可以求得k = -14.1421 10。5794 45.8227 8.3958SIMULINK仿真框圖如圖51所示圖51 LQR控制器SIMULINK仿真模塊圖輸出圖像如圖5-2與圖5-3所示.圖52 LQR控制器仿真位置圖像圖5-3