【最新】高中數(shù)學(xué)-高中數(shù)學(xué)新人教版選修2-2課時作業(yè)：第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1_1.1.2變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念 Word版含解析

1、1.1.1變化率問題1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念明目標(biāo)、知重點(diǎn)1了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景 2會求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率3會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的變化率定義實例平均變化率函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率為，簡記作：平均速度；曲線割線的斜率瞬時變化率函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是函數(shù)f(x)從x0到x0x的平均變化率在x0時的極限，即 瞬時速度：物體在某一時刻的速度；切線斜率2.函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .情境導(dǎo)學(xué)某市2013年5月30日最高氣溫是33.

2、4，而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4和18.6，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5和5月28日最高氣溫18.6進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為15.1，甚至超過了14.8，而人們卻不會發(fā)出上述感慨，這是什么原因呢？顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那么在數(shù)學(xué)中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢？探究點(diǎn)一平均變化率的概念思考1氣球膨脹率很多人都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢從數(shù)學(xué)的角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？答

3、氣球的半徑r(單位：dm)與體積V(單位：L)之間的函數(shù)關(guān)系是r(V) ，(1)當(dāng)空氣容量V從0增加到1 L時，氣球半徑增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，氣球的平均膨脹率為0.62(dm/L)(2)當(dāng)空氣容量V從1 L增加到2 L時，氣球半徑增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，氣球的平均膨脹率為0.16(dm/L)可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了結(jié)論當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是.思考2高臺跳水人們發(fā)現(xiàn)，在高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10.計算運(yùn)動員

4、在時間段0t0.5，1t2內(nèi)的平均速度，并思考平均速度有什么作用？答在0t0.5這段時間里，4.05(m/s)；在1t2這段時間里，8.2(m/s)由以上計算體會到平均速度可以描述運(yùn)動員在某段時間內(nèi)運(yùn)動的快慢思考3什么是平均變化率，平均變化率有何作用？思考1和思考2中的平均變化率分別表示什么？答如果上述兩個思考中的函數(shù)關(guān)系用yf(x)表示，那么思考中的變化率可用式子表示，我們把這個式子稱為函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率，平均變化率可以描述一個函數(shù)在某個范圍內(nèi)變化的快慢思考1中的平均變化率表示在空氣容量從V1增加到V2時，氣球半徑的平均增長率思考2中的平均變化率表示在時間從t1增加到t2

5、時，高度h的平均增長率思考4平均變化率也可以用式子表示，其中y、x的意義是什么？有什么幾何意義？答x表示x2x1是相對于x1的一個“增量”；y表示f(x2)f(x1)x、y的值可正可負(fù)，y也可以為零，但x不能為零觀察圖象可看出，表示曲線yf(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1)、(x2，f(x2)連線的斜率小結(jié)平均變化率為，其幾何意義是：函數(shù)yf(x)的圖象上兩點(diǎn)(x1，f(x1)、(x2，f(x2)連線的斜率例1已知函數(shù)f(x)2x23x5.(1)求當(dāng)x14，x25時，函數(shù)增量y和平均變化率；(2)求當(dāng)x14，x24.1時，函數(shù)增量y和平均變化率；(3)若設(shè)x2x1x.分析(1)(2)題中的平均變化

6、率的幾何意義解f(x)2x23x5，yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x2(x)219x.2x19.(1)當(dāng)x14，x25時，x1，y2(x)219x21921，21.(2)當(dāng)x14，x24.1時x0.1，y2(x)219x0.021.91.92.2x1919.2.(3)在(1)題中，它表示拋物線上點(diǎn)P0(4,39)與點(diǎn)P1(5,60)連線的斜率在(2)題中，它表示拋物線上點(diǎn)P0(4,39)與點(diǎn)P2(4.1,40.92)連線的斜率反思與感悟求平均變化率的主要步驟：(1)先計算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)(2)

7、再計算自變量的改變量xx2x1.(3)得平均變化率.跟蹤訓(xùn)練1(1)計算函數(shù)h(x)4.9x26.5x10從x1到x1x的平均變化率，其中x的值為2；1；0.1；0.01.(2)思考：當(dāng)|x|越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.當(dāng)x2時，4.9x3.313.1；當(dāng)x1時，4.9x3.38.2；當(dāng)x0.1時，4.9x3.33.79；當(dāng)x0.01時，4.9x3.33.349.(2)當(dāng)|x|越來越小時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率逐漸變大，并接近于3.3.探究點(diǎn)二函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)思考1

8、物體的平均速度能否精確反映它的運(yùn)動狀態(tài)？答不能，如高臺跳水運(yùn)動員相對于水面的高度h與起跳時間t的函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10，易知h()h(0)，0，而運(yùn)動員依然是運(yùn)動狀態(tài)思考2觀察跟蹤訓(xùn)練1，當(dāng)x0.000 01時，？這個平均速度能描述物體的運(yùn)動狀態(tài)嗎？答4.9x3.33.300 049，說明當(dāng)時間間隔非常小的時候平均速度約等于一個常數(shù)，這個常數(shù)就是x1這一時刻的速度思考3什么叫做瞬時速度？它與平均速度的區(qū)別與聯(lián)系是什么？平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系如何？答可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)如求t2時的瞬時速度，可考察在t2附近的一個間隔t，當(dāng)t趨近于0時，平均速度v

9、趨近于 ，這就是物體在t2時的瞬時速度類似可以得出平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，我們把函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率 叫做函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)思考4導(dǎo)數(shù)或瞬時變化率反映函數(shù)變化的什么特征？答導(dǎo)數(shù)或瞬時變化率可以反映函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢程度小結(jié)1.函數(shù)的瞬時變化率：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是 .2函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：我們稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .例2利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x23x在x2處的導(dǎo)數(shù)解由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x2處的導(dǎo)數(shù)f(2) ，而f(2x)f(2)(2x)23

10、(2x)(223×2)(x)2x，于是f(2) (x1)1.反思與感悟求一個函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的變化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0) .跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)f(x)3x22x在x1處的導(dǎo)數(shù)解y3(1x)22(1x)(3×122×1)3(x)24x，3x4，y|x1 (3x4)4.例3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱如果在第x h時，原油的溫度(單位：)為yf(x)x27x15(0x8)計算第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義解

11、在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率就是f(2)和f(6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率分別為3與5.它說明在第2 h附近，原油溫度大約以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 /h的速率上升反思與感悟(1)本題中，f(x0)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況(2)函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系：平均變化率，當(dāng)x趨于0時，它所趨于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時變化率，即求函數(shù)的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解另外，它們都是用來刻畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對值越大

12、，函數(shù)變化得越快跟蹤訓(xùn)練3高臺跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)之間的關(guān)系式為h(t)4.9t26.5t10，求運(yùn)動員在t s時的瞬時速度，并解釋此時的運(yùn)動狀況解令t0，t為增量則4.96.5， 4.96.50，即運(yùn)動員在t0 s時的瞬時速度為0 m/s.說明此時運(yùn)動員處于跳水運(yùn)動中離水面最高的點(diǎn)處1如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s3t2運(yùn)動，則在一小段時間2，2.1中相應(yīng)的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D3答案B解析4.1.2函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 ()A與x0、h都有關(guān)B僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)C僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)D與x0、h均無關(guān)答案B

13、3已知函數(shù)f(x)2x21的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1x,1y)，則等于()A4 B4x C42x D42(x)2答案C解析yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4.4已知函數(shù)f(x)，則f(1)_.答案解析f(1) .呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)三步曲：(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0) .簡記為一差，二比，三趨近特別提醒取極限前，要注意化簡，保證使x0時分母不為0.函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)只與x0有關(guān)，與x無關(guān)導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，應(yīng)用非常廣泛.一、基礎(chǔ)過關(guān)1函數(shù)yx22x1在x2附近

14、的平均變化率為()A6 Bx6C2 Dx2答案B解析設(shè)yf(x)x22x1(x1)2，yf(2x)f(2)(2x1)2(21)2(3x)29(x)26x，所以x6，所以函數(shù)yx22x1在x2附近的平均變化率為x6.2函數(shù)y1在2,2x上的平均變化率是()A0 B1 C2 Dx答案A解析0.3如果某物體的運(yùn)動方程為s2(1t2)(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2 s末的瞬時速度為()A4.8 m/s B0.88 m/sC0.88 m/s D4.8 m/s答案A解析物體運(yùn)動在1.2 s末的瞬時速度即為s在1.2處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求得4一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)2t3運(yùn)動，則t1時的

15、瞬時速度為()A4 B6 C24 D48答案B解析s(1) 2(t2t1)6.5已知函數(shù)y2，當(dāng)x由1變到2時，函數(shù)的增量y_.答案解析y(21).6.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示，治污效果較好的是()A甲 B乙C相同 D不確定答案B解析在t0處，雖然W1(t0)W2(t0)，但是，在t0t處，W1(t0t)<W2(t0t)，即<，所以，在相同時間t內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小所以乙廠治污效果較好7利用定義求函數(shù)y2x25在x2處的瞬時變化率解因為在x2附近，y2(2x)25(2×225)8x2(x)2，所以函數(shù)在區(qū)間2,2x內(nèi)的平均變化率為82x.故函

16、數(shù)y2x25在x2處的瞬時變化率為 (82x)8.二、能力提升8過曲線yx21上兩點(diǎn)P(1,2)和Q(1x,2y)作曲線的割線，當(dāng)x0.1時，割線的斜率k_，當(dāng)x0.001時，割線的斜率k_.答案2.12.001解析y(1x)21(121)2x(x)2，2x，割線斜率為2x，當(dāng)x0.1時，割線PQ的斜率k20.12.1.當(dāng)x0.001時，割線PQ的斜率k20.0012.001.9一做直線運(yùn)動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s3tt2，則物體的初速度是_答案3解析v初s|t0li li (3t)3.10求y在x0到x0x之間的平均變化率解因為y，所以y在x0到x0x之間的平均變化率為.11求函數(shù)yf(x)2x24x在x3處的導(dǎo)數(shù)解y2(3x