經(jīng)濟數(shù)學-函數(shù)的微分

1、一、一、微分的定義微分的定義二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分公式三、基本初等函數(shù)的微分公式 與微分運算法則與微分運算法則五、小結五、小結 思考題思考題第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分四、微分在近似計算中的應用四、微分在近似計算中的應用一、微分的定義(differential)1.1.實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)A

2、x .,很小時可忽略很小時可忽略當當?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數(shù)設函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?

3、2 2. 定義定義.d),(dd,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記記作作的的微微分分相相應應于于自自變變量量增增量量在在點點為為函函數(shù)數(shù)并并且且稱稱可可微微在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)無無關關的的常常數(shù)數(shù)是是與與其其中中成成立立如如果果在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)及及在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義設設函函數(shù)數(shù).d的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分yy ( (微分的實質微分的實質) )由定義知由定義知: :;d)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xy ;)

4、(d)2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxoyy ;d,0)3(是等價無窮小是等價無窮小與與時時當當yyA yyd xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有關關和和但但與與無無關關的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(d,)5(線線性性主主部部很很小小時時當當yyx 3. 可微(differentiable)的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A

5、 ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導導.)(d),(,)(xxfyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點在任意點函數(shù)函數(shù)例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxy )(d3.32xx 02. 02202. 0

6、23d xxxxxxy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.d)(dxxfy ).(ddxfxy .dd微商微商導數(shù)也叫導數(shù)也叫該函數(shù)的導數(shù)該函數(shù)的導數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分xy二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附

7、近在點在點很小時很小時當當 ( geometrical meaning of the differential )三、基本初等函數(shù)的微分公式 與微分運算法則xxfyd)(d 求法求法: : 計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cot(dd11)(a

8、rctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2dd)(ddd)(dd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvuCCuvuvu arc例例2 2解解.d),ln(2yexyx求求設設 ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例3解解求函數(shù)求函數(shù)的微分的微分. .xexy23 因為因為23)(xexy xxexex232223 )23(22xexx 所以所以dxxexdxydyx)23(22 例例4解解求函數(shù)求函數(shù)的微分的微分. .xx

9、ysin 因為因為sin xxy2sincosxxxx 所以所以dxydy .sincos2dxxxxx )d)(d,),(uufyuufy 是是自自變變量量時時當當對對于于函函數(shù)數(shù):)(,)()(的的微微分分為為則則復復合合函函數(shù)數(shù)都都可可導導及及設設函函數(shù)數(shù)xgfyxguufy xxgufxyyxd)()(dd ,dd)(uxxg 又又因因為為的的微微分分公公式式也也可可寫寫成成所所以以復復合合函函數(shù)數(shù))(xgfy 結論結論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,ufyu 微分形式的不變性微分形式的不變性uufyd)(d 3. 復合函數(shù)的

10、微分法則復合函數(shù)的微分法則;ddd)(duyyuufyu 或或例例5解解設設),12sin( xy求求.dy設設,sinuy , 12 xu則則)(sinuddy uducos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 注注: :與復合函數(shù)求導類似與復合函數(shù)求導類似, ,可不寫出中間變量可不寫出中間變量, ,這樣更加直接和方便這樣更加直接和方便. .求復合函數(shù)的微分也求復合函數(shù)的微分也例例6解解設設),1ln(2xey 求求.dy)1ln(2xeddy )1(1122xxede )(11222xdeexx xdxeexx2122 .1222dxexexx

11、例例7解解設設,2sin xey 求求.dy應用微分形式不變性有應用微分形式不變性有xdedyx2sinsin2 dxxexcossin22sin .2sin2sindxxex xxdexsinsin22sin 例例8 8解解在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)co

12、s4()(sind22xxxxx 例例9解解求由方程求由方程32yxexy 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù))(xfy 的微分的微分.dy對方程兩邊求微分對方程兩邊求微分, ,得得),2()(3yxdedxy ),()2()(3ydxdxydexy ,32)(2dyydxxdyydxexy 于是于是.322dxyxeyedyxyxy 四、微分在近似計算中的應用, 0)()(00很小時很小時且且處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點若若xxfxxfy .)(0 xxf 00dxxxxyy ;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點在點求求xxxf 000()()().yf xxf xf xx .)()()(000

13、 xxfxfxxf )(很小時很小時x ;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在點點求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令例例1010.0360coso的近似值的近似值計算計算 .23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 解解,cos)(xxf 設設)( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx解解?,05. 0,10問面積增大了多少厘米半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后半徑,2rA 設設.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrAA

14、 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 例例1111常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設設,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例1212.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .

15、995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 五、小結 思考題微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導數(shù)的概念導數(shù)的概念求導數(shù)與微分的方法求導數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學,叫做叫做微分學微分學.導數(shù)與微分的聯(lián)系導數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導可導 導數(shù)與微分的區(qū)別導數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(d),()(. 100000它是無窮小它是無窮小實際上實際上的定義域是的定義域是它它的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導

16、數(shù)是一個定數(shù)處的導數(shù)是一個定數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)Rxxxxxfyxfxxf )(limdlim0000 xxxfyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的縱坐標增量的縱坐標增量線方程在點線方程在點處的切處的切在點在點是曲線是曲線而微分而微分處切線的斜率處切線的斜率點點在在是曲線是曲線從幾何意義上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似計算的基本公式近似計算的基本公式.)0()0()(xffxf 00dxxxxyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小時時當當 x ,0時時當當 x思考題思考

17、題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導導數(shù)數(shù)，導導數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 思考題思考題 某家有一機械掛鐘, 鐘擺的周期為1秒. 在冬季, 擺長縮短了0.01厘米, 這只

18、鐘每天大約快多少?,(2為擺長為擺長單擺的周期公式為：單擺的周期公式為：lglT )980,:2scmgcm取單位gllTglTdd,2 可得可得由由解：lglTTll d,時時當當據(jù)題設, 擺的周期是1秒, 由此可知擺的原長為于是周期于是周期現(xiàn)擺長的改變量現(xiàn)擺長的改變量,01. 0).()2(2cmlcmg 的改變量為)(0002. 0)01. 0(2)01. 0()2(d22sgggTT 也就是說, 由于擺長縮短了0.01cm, 鐘擺的周期便相應縮短了大約0.0002秒, 即每秒約快0.0002秒, 從而每天約快. )(289.176060240002. 0s練練 習習 題題 一一練習題一答案練習題一答案二二、 利利用用微微分分計