淺談類比思想的負遷移

1、淺談類比思想的負遷移湖南省祁陽縣一中陳靜所謂類比，是指通過兩個（或兩類）對象的一些相同（或相似）屬性的 比較，從而推出它們的其它某些屬性也相同（或相似）的i種邏輯方法。類比遷移，就是用熟悉問題的解決方法去解決新問題的一種解題策略, 類比遷移過程主要有対個環(huán)節(jié)，一是類比源的選取，即搜索記憶屮可供參考 的解決方法或可資利用的例子，以確定應該利用哪個原理去解決，稱為問題 的類化；二是關系匹配，即把目標問題與源問題的各個部分進行匹配，根據(jù) 匹配產(chǎn)生解決冃標問題的方法，這是原理的運用。類比是從特殊到特殊的一 種推理形式，所推出的結論未必可靠，僅是一種“似真”的結果，帶有猜測 的性質，盡管發(fā)現(xiàn)的結果不一定

2、止確，但它畢竟是一種探索方法，因為類比 聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學知識，可以尋求解決問題的方法和途徑，可以培養(yǎng)學 生的發(fā)散思維、創(chuàng)造思維及合情推理能力。因此在教學中要創(chuàng)造條件培養(yǎng)學 生類比思維能力。但類比的邏輯根據(jù)不充分的，帶有或然性的，或類比屮其 中的任何一個環(huán)節(jié)出了差錯就會產(chǎn)生類比負遷移，解題中的類比負遷移是教 學中經(jīng)常遇到的一個問題，具有隱蔽性、典型性和頑固性，下面就本人在教 學屮遇到的問題作淺耍論述。一、數(shù)列與函數(shù)的類比負遷移在數(shù)列一章的學習中，我們常常把數(shù)列類比自變量是正整數(shù)的函數(shù), 利用函數(shù)思想來解決數(shù)列中的問題。但應用時要注意“共性中的反常性”。例1 已知數(shù)列%遞增，且對任意的nen

3、an =n2-bn恒成立， 求實數(shù)b的取值范圍。錯解 因為數(shù)列込是遞增數(shù)列，所以afl=n2bn在1, +®）上是遞增函數(shù)，故輔助函數(shù)f （x）二在1, +°°）上是遞增函數(shù)，/ （） = 2x + z?>0在1, +8）上怛成立，即b$-2x在1, +°°）上怛成立，又-2x在1, +°° ） 上的最大值為-2,故ba2。評析 由數(shù)列是特殊的函數(shù)，極易選取“類比源”，并將數(shù)列的恒成立 問題（目標問題）類比遷移為相應輔助函數(shù)的恒成立問題（源問題），似乎天 衣無縫，但可惜錯了。如圖1,雖有也23 即數(shù)列g是遞增數(shù)列, 但

4、輔助函數(shù)f（x）的圖象在1, 2上拐了彎，這說明數(shù)列的單調性與相應輔助函數(shù)的單調性并不總是一致的，不可盲冃地直接類比套用，并且題中的任意 n w n"并不是n取1, +8）內的任意實數(shù)。 滿足b-2o正確的解法是由題慧知an+l - an 0對任意n g n*恒成立，易知對稱軸1,即b-2,并不2引導學生進步研究可發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間1,+ -）（或其子區(qū)間）上數(shù)列單結合 =n2 + bn 得 b-（2n+l 人旳二一3。圖 1調是相應輔助函數(shù)單調的必要不充分條件，即凡是輔助函數(shù)在區(qū)間1, +-）（或其子區(qū)間）上不單調時就有可能出現(xiàn)反常情況.二、解方程中的類比負遷移方程思想是指通過分析數(shù)學問

5、題中變量間的等量關系，布列或構造方程 （組），進而解方程（組）或利用其性質使問題獲解。這種思想在代數(shù)、兒何及 生活實際中有著廣泛的應用。但應用時要謹防“形而上學”式的類比負遷移。我們知道，求函數(shù)y二/與其反函數(shù)的圖象的公共點，只需求曲線y二兀3與直線y=x的公共點,故可列方程組一1解得%! =02=1兒=一1所以函數(shù)y二疋與其反函數(shù)的圖象的公共點為(0, 0), (1, 1), (-1, -l)o例2 求函數(shù)y二-f與其反函數(shù)圖象的公共點。錯解 欲求函數(shù)y二-疋與其反函數(shù)圖象的公共點，只需求曲線y二-/與c y xc x = 0直線y二x的公共點，故可列方程組<3 解得 < 八所以

6、函數(shù)i y 二-才ly = 0y二-兀3與其反函數(shù)圖象的公共點為(0, 0)o評析 兩題僅僅是一個符號的不同，因而選取剛研究的例2為“可資利 用的例子”和“可供參考的解決方法”，似乎順理成章，但可惜是類比負遷移。 原因是対題有著質的不同：函數(shù)y二疋與y二_兀3的增減性不同，若函數(shù)y=f(x) 是增函數(shù)，則原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象如果有公共點，那么公共點一定在直 線y二x上，即原函數(shù)與其反函數(shù)圖彖的公共點就是原函數(shù)與直線y二x的公共 點。若函數(shù)y二f(x)是減函數(shù)，則原暢數(shù)與其反兩數(shù)的圖象如果有公共點，那 么公共點中最多有一個在直線y=x上，且不在直線y二x上的公共點一定成對 出現(xiàn)，即原函數(shù)與其反

7、函數(shù)圖象的公共點不一定就是原函數(shù)與直線y二x的公 共點。因此解法不可簡單地類比。正確的解法是，函數(shù)y二-，的反西數(shù)為 尸-貞。故可列方程組，"手解得卩"p2=1 卜“ oy = -vx 卜=0y2 =-1= 1所以函數(shù)y二f與其反函數(shù)圖象的公共點為(0, 0), (1, -1), (-1, l)o三、三角函數(shù)中的類比負遷移在三角函數(shù)一章的教學屮，特別是求三角函數(shù)屮的單調區(qū)間問題 學生往往容易產(chǎn)生類比負遷移。例4 求函數(shù)v=sin( x+ ) x e r的單調遞增區(qū)間2 3“分析：我們可以利用正弦函數(shù)的單調性來求所給函數(shù)的單調區(qū)間。解 令z=-x+-.函數(shù)y二sinz的單調增

8、區(qū)間是-仝+2k蘭+2kn,2322kezo 由-蘭+2knw 丄得-丸 +4kn wxw 蘭+4kn , kezo223233所以函數(shù)y=sin(-x+ ) xe r的單調遞增區(qū)間是-+ 4, + 4k/r3 33即時練 求函數(shù)y二sin(-丄x+蘭)的單調遞減區(qū)間。23解 令z=-x+ .函數(shù)y二sinz的單調減區(qū)間是+2k兀,+2k兀,2322kezo由+2k 兀 w-丄 x+仝 w +2k n ,得一?一4£兀 < x < -4k7r , k wz。223233所以函數(shù)y=sin (-丄x+蘭)的單調減區(qū)間是-akzr- -k7c k wz。333評注 “例題”與

9、習題十分相似，口然想到選取“例題”解法為“類比 源”。但檢驗知習題解法是錯誤，例題與習題都是復合函數(shù)求單調區(qū)間，例題 是應用了復合函數(shù)“同增異減”求單調區(qū)間，而習題的解法是取例題的“形” 沒有理解其“質”。正確解法是：函數(shù) y=sin(-x+ )可化為 y=-sin( x)求函數(shù) y=sin(-x+)的2 32323單調遞減區(qū)間，就是求函數(shù)y=sin(lx-)單調遞增區(qū)間，類比例題的解法23可求，具結果為+ 4k7r, + k7r3 3總之，對學習中的類比負遷移問題，教師要引起足夠的重視，并且要有 預見性。要根據(jù)類比負遷移發(fā)生的規(guī)律，采取靈活的方式方法，積極地從多 方面多途徑(包括學法指導)去防止負遷移