三角形中考試題解法探討

1、    三角形中考試題解法探討    張德柱近幾年的中考試題中，與三角形有關(guān)的試題除沿襲傳統(tǒng)的題型外，還加大了探索、創(chuàng)新的力度，特別是增加了與三角形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題、三角形全等與相似的綜合等.在解決與三角形有關(guān)的問題時(shí)，除了能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)外，還要注意與其他知識(shí)的聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.下面結(jié)合近幾年中考試題舉例說明與三角形有關(guān)的常見題型與解法探討.一、相似三角形的判定和性質(zhì)例1 如圖1，在abc中，bf平分abc，afbf于點(diǎn)f，d為ab的中點(diǎn)，連接df并延長交ac于點(diǎn)e.若ab=10，bc=16，則線段ef的長為（ ） abcdef圖1a.2 b

2、.3c.4 d.5分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得df=12ab=ad=bd=5且abf=bfd，結(jié)合角平分線的定義，得cbf=bfd，所以debc，進(jìn)而可得de=8，由ef=de-df解得答案.解：afbf，afb=90°.ab=10，d為ab的中點(diǎn)，df=12ab=ad=bd=5.abf=bfd.又bf平分abc，abf=cbf.cbf=bfd.debc.adeabc.debc=adab，即de16=510.解得de=8.ef=de-df=3.故選b.評(píng)注：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì).二、利用相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形的面積比例2

3、 如圖2，d，e分別是abc的邊ab，bc上的點(diǎn)，且deac，若sbdescde=13，則sdoesaoc的值為（ ） abcdeo圖2a.13 b.14c.19 d.116分析：由sbdescde=13，可得beec=13，所以bebc=14.易證bdebac，doecoa，所以deac=bebc=14，sdoesaoc=de2ac2=116.解：sbdescde=13，beec=13.bebc=14.deac，bdebac，doecoa.deac=bebc=14.sdoesaoc=de2ac2=116.故選d.評(píng)注：三角形面積比的處理方法：（1）利用三角形的面積公式.（2）利用相似三角形的

4、面積比等于相似比的平方.三、利用三角形的中位線及相似三角形的性質(zhì)求周長例3 如圖3，在a1b1c1中，已知a1b1=7，b1c1=4，a1c1=5，依次連接a1b1c1的三邊中點(diǎn)，得a2b2c2，再依次連接a2b2c2的三邊中點(diǎn)，得a3b3c3，則a5b5c5的周長為 . a1b1c1a2b2c2a3b3c3圖3分析：利用相似三角形的周長比等于相似比，再根據(jù)中位線圍成的三角形與原三角形相似，且相似比等于12，得出所求結(jié)果.解：a2，b2，c2是a1b1c1的三邊中點(diǎn)，a2b2a1b1=b2c2b1c1=a2c2a1c1=12.a1b1c1a2b2c2.a2b2c2的周長a1b1c1的周長=12

5、，即a2b2c2的周長=12a1b1c1的周長.同理a3b3c3的周長=12a2b2c2的周長=（12）2a1b1c1的周長.以此類推，得a5b5c5的周長=（12）4a1b1c1的周長=（12）4×（7+4+5）=1.評(píng)注：本題考查了三角形的中位線及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的周長比等于相似比.先找出圖形變化的規(guī)律，得出其表達(dá)式，再代入求值.如果圖形相對(duì)簡單，也可以把每種情況的結(jié)果直接計(jì)算出來.四、利用面積法及相似三角形的判定和性質(zhì)探索圖形變化的規(guī)律例4 如圖4，正abc的邊長為2，以bc邊上的高ab1為邊作正ab1c1，abc與ab1c1公共部分的面積記為s1；

6、再以正ab1c1的邊b1c1上的高ab2為邊作正ab2c2，ab1c1與ab2c2公共部分的面積記為s2；則sn= （用含n的式子表示）. abcb1b2b4c1c2c3c4s1s2s3s4圖4 b3 分析：根據(jù)題意得到圖中的相似三角形，求出其相似比，然后求出s1，s2，s3的值，歸納出一般性的結(jié)論.解：由題意，得ab1b=ab2b1=90°，bab1=b1ab2，a b1b2a bb1.s1sabb1=（ab1ab）2=（32）2=34，即s1=34sabb1.由題意，得ab=2，bb1=1，故ab1 =3.sabb1=12×1×3=32.s1=34×

7、32.同理可得s2=34s1=（34）2×32.s3=34s2=（34）3×32.故sn=32×（34）n . 評(píng)注：解決這類問題，首先要從已知圖形入手，觀察圖形、數(shù)字、式子隨著“序號(hào)”或“編號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上的變化情況或圖形變化情況，找出變化規(guī)律，從而推出一般性結(jié)論，探索圖形面積變化規(guī)律時(shí)，一般需要抓住圖形面積的增減變化特點(diǎn)，進(jìn)行分析、猜想、歸納、驗(yàn)證得出結(jié)果.五、運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的知識(shí)求線段的長例5 如圖5，在abc中，abc=90°，bc=3，d為ac延長線上一點(diǎn)ac=3cd，過點(diǎn)d作dhab，

8、交bc的延長線于點(diǎn)h.（1）求bd· coshbd；（2）若cbd=a，求ab的長. abcdh圖5分析：（1）由題設(shè)易證abcdhc，由相似三角形的性質(zhì)可得ch的長，再求出bh的長，用三角函數(shù)的知識(shí)解決問題.（2）先證abcbhd，可得bchd=abbh，又abcdhc，可得ab=3dh，代入即可求解.解：（1）dhab，bhd=abc=90°.又dch=acb，abcdhc.acdc=bchc.ac=3cd，bc=3，ch=1.bh=bc+ch=4.在rtbhd中，coshbd=bhbd，bd· coshbd=bh=4.（2）a=cbd，abc=bhd，abc

9、bhd.bchd=abbh.abcdhc，abdh=acdc=31.ab=3dh.3dh=3dh4.dh=2.ab=6.評(píng)注：這類問題在中考中屬必考的大題，有關(guān)三角形問題，利用全等或相似，而在本題中無明顯相等的邊，題設(shè)中有線段平行、角相等，這類問題大都先判定三角形相似.當(dāng)結(jié)論中出現(xiàn)三角函數(shù)時(shí)，通過直角三角形中的邊角關(guān)系使問題得到解決.六、相似三角形的判定、性質(zhì)與三角形的面積、一元二次方程的綜合例6 如圖6，在abc中，點(diǎn)e，p在邊ab上，且ae=bp，過點(diǎn)e，p分別作bc的平行線，交ac于點(diǎn)f，q.記aef的面積為s1，四邊形efqp的面積為s2，四邊形pqcb的面積為s3. abcpqef圖

10、6（1） 求證：ef+pq=bc；（2） 若s1+s3=s2，求peae的值；（3） 若s3-s1=s2，直接寫出peae的值.分析：（1）由相似三角形的判定和性質(zhì)，得efbc=aeab，pqbc=apab，再把兩比例式分別相加即可.（2）如圖7，過點(diǎn)a作ahbc于h，分別交ef，pq于m，n ，設(shè)ef=a，pq=b，am=h，則bc=a+b.由相似三角形的性質(zhì)，得aman=efpq，從而得到an=bha，mn=（ba-1）h，再根據(jù)條件中所給面積關(guān)系式列方程求出b與a的關(guān)系式，最后由aefapq得ap與ae的數(shù)量關(guān)系，從而求得peae的值.（3）由（2）知an=bha，mn=（ba-1）h，

11、s1=12ah，s2=12（a+b）（ba-1）h，s3=12（b+a+b）h.根據(jù)條件所給面積關(guān)系式s3-s1=s2，得12（b+a+b）h?12ah=12（a+b）（ba-1）h，整理，得a2+2ab-b2=0.解得a=（2-1）b，a=（-2-1）b（舍去）.由efpq，得aefapq .所以aeap=efpq=ab=2-1.所以ap= （1+2） ae，pe=2ae.因此peae=2 .解：（1）證明：efbc，aefabc.efbc=aeab.同理pqbc=apab.ef+pqbc=ae+apab.ae=bp，ef+pqbc=bp+apab=1.ef+pq=bc.（2）如圖7，過點(diǎn)a

12、作ahbc于h，分別交ef，pq于m，n. abcpqef圖7 mnh設(shè)ef=a，pq=b，am=h，則bc=a+b.aefabc，aman=efpq.an=bha，mn=（ba-1）h.s1=12ah，s2=12（a+b）（ba-1）h，s3=12（b+a+b）h.s1+s3=s2，12ah+12（b+a+b）h=12（a+b）（ba-1）h.b=3a.efpq，aefapq.efpq=aeap=13.ap=3ae.peae=2.（3）peae=2 .評(píng)注：已知三角形的面積關(guān)系求線段的比，作高是常見的添加輔助線的方法， 借助“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”得到所求線段的比，利用面積關(guān)系式列

13、方程是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn). 七、與三角形相關(guān)的折疊問題例7 如圖8，一張三角形紙片abc，ab=ac=5，折疊該紙片使點(diǎn)a落在邊bc的中點(diǎn)上，折痕經(jīng)過ac上的點(diǎn)e，則線段ae的長為 . abce·圖8分析：如圖9，d為bc的中點(diǎn)，ef為折痕，連接ad，則adbc.由折疊的性質(zhì)，得ef是ad的垂直平分線，得出ef是abc的中位線，即可求出ae的長.解：如圖9，d為bc的中點(diǎn)，ef為折痕，連接ad，de，df. abce·圖9 df由折疊的性質(zhì)，得ef是ad的垂直平分線.adef. ef bc.afeabc，相似比是12.aeac=12.ac=5，ae=52.評(píng)注

14、：與折疊有關(guān)的計(jì)算題，通常利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，把各種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.八、利用相似、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想解決問題例8 如圖10，在rtabc中，b=90°，bc=2ab=8，點(diǎn)d，e分別是邊bc，ac的中點(diǎn)，連接de.將edc繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為.（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)=0°時(shí)，aebd= ；當(dāng)=180°時(shí)，aebd= .（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°<360°時(shí)，aebd的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖11的情況給出證明. abcde abcde圖10 圖11（3）問題解決當(dāng)edc旋轉(zhuǎn)至a，d，e三點(diǎn)共線時(shí)，

15、直接寫出線段bd的長.分析：（1）可以轉(zhuǎn)化成ce與cd的比值解決問題.（2）根據(jù)條件由兩角相等或兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定ceacdb，將aebd轉(zhuǎn)化成acbc=52.（3）畫出a，d，e三點(diǎn)共線時(shí)的所有情況，求出bd的長度.如圖12，當(dāng)edc在bc的上方且a，d，e三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形abcd是矩形，bd=ac=45. fabcdeabcde圖12 圖13如圖13，當(dāng)edc在bc的下方且a，d，e三點(diǎn)共線時(shí)，adc是直角三角形，由de=12ab=2，ad=8，ae=6.aebd=52，bd=1255.解：（1）52；52.【解析】當(dāng)=0°時(shí)，如圖10，在rtabc中，b=90°，bc=2ab=8，點(diǎn)d，e分別是邊bc，ac的中點(diǎn)，de為rtabc的中位線.ab=bd=cd=4.de=2.ac=45.ae=ce=25.aebd=52.當(dāng)=180°時(shí)，如圖14，由，得ae=65，bd=12，aebd=52. abcde圖14（2）當(dāng)0°<360°時(shí)，aebd的大小無變化.理由如下：如圖10，d，e分別是邊bc，ac的中點(diǎn)， de是abc的中位線.deab.ceca=cdcb.如圖11，