高等數(shù)學(xué)：3-2 洛必達法則

1、1小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè)型未定式型未定式 ,0型未定式型未定式00,1 ,0 第二節(jié)第二節(jié) 洛必達法則洛必達法則第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用洛必達洛必達 (LHospital) 法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家(1661-1705)型型未未定定式式型型 ,002,)(時時或或如果當(dāng)如果當(dāng) xax其極限都不能直接利用極限運算其極限都不能直接利用極限運算在第一章中看到在第一章中看到,無窮大之商無窮大之商,法則來求法則來求.稱為稱為)()(lim)(xFxfxax 那末極限那末極限定義定義00 型未定式型未定式.或或如如, ,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim

2、0)00()( 意味著關(guān)于它的極限不能確定出一般的意味著關(guān)于它的極限不能確定出一般的 未定未定 結(jié)論結(jié)論.兩個無窮小之商或兩個兩個無窮小之商或兩個兩個函數(shù)兩個函數(shù) f (x)與與F(x)都趨于零或趨于無窮大都趨于零或趨于無窮大,3 這一節(jié)介紹一個求未定式極限的有效方法這一節(jié)介紹一個求未定式極限的有效方法, 此方法的關(guān)鍵是將此方法的關(guān)鍵是將)()(lim)(xFxfxax 的計算問題轉(zhuǎn)化為的計算問題轉(zhuǎn)化為)()(lim)(xFxfxax 的計算的計算. 其基本思想是由微積分著名其基本思想是由微積分著名先驅(qū)先驅(qū), 從而產(chǎn)生了簡從而產(chǎn)生了簡洛必達法則洛必達法則. .后人對他的思想作了推廣后人對他的思

3、想作了推廣,提出的提出的,17世紀的法國數(shù)學(xué)家世紀的法國數(shù)學(xué)家洛必達洛必達 (LHospital) 便而重要的便而重要的4滿足條件滿足條件及及設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()(xFxf定理定理1型型未未定定式式型型一一、 ,00);()()(lim)3( 或或AxFxfax處處點點的鄰域內(nèi)可導(dǎo)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)在點在點aaxFxf( ,)(),()2(),(0)(lim)1( 或或xfax);(0)(lim 或或xFax; 0)( xF且且)可除外可除外 )()(limxFxfax則則).()()(lim 或或AxFxfax5證證( )lim( ),( )( )與與無無關(guān)關(guān)xaf xf a F aF x. 0)(

4、)( aFaf, 0)(lim)1( xfax; 0)(lim xFax假定假定.)(),(點點連連續(xù)續(xù)在在使使axxFxf ,x任任取取點點).(axaxa 不不妨妨設(shè)設(shè) )00(型給出證明型給出證明僅對僅對滿滿足足)(),(xFxf. 0)(,),()2 xFxa且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在; 0)( xF且且( )( ),( )(),在點的鄰域內(nèi)可導(dǎo) 點 處除外在點的鄰域內(nèi)可導(dǎo) 點 處除外f x F xaa2) , ;在上連續(xù)在上連續(xù)a x16 )()(xFxf)()( Ff )(之間之間與與在在ax ,時時當(dāng)當(dāng)ax AxFxfax )()(lim)3( )()(limxFxfax 柯西定理柯西

5、定理使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在點點在在,),( xa )()(limxFxfax)()(xFxf, a )()(lim Ffa .A)(aF )(af 7注注 00)()(lim)1(xFxfax(多次用法則多次用法則), 0, 0)2( axax 00)()(limxFxfax.法法則則成成立立 00)()(limxFxfax再求極限來確定未定式的值的方法稱為再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達洛必達法則法則. .這種在一定條件下這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)通過分子分母分別求導(dǎo)8定理定理2);(0)(lim),(0)(lim)1( 或或或或設(shè)設(shè)xFxfxx).()()(lim)()

6、(lim 或為或為AxFxfxFxfxx; 0)(,)()(,)2( xFxFxfNx且且可導(dǎo)可導(dǎo)和和時時當(dāng)當(dāng));()()(lim)3( 或為或為AxFxfx則則),( x對對注注定理定理2成立成立;9P128P128例例2 2解解.1sinarctan2limxxx 求求xxxx1cos111lim22 原式原式)00(1 10例例解解.1coslim30 xxxx 求求203121sinlimxxxx 原式原式)00(. 11用洛必達法則應(yīng)注意的事項用洛必達法則應(yīng)注意的事項,00)1(才可能用法則才可能用法則的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或只要是只要是則可一直用下去則可一直用下去

7、;(3) 每用完一次法則每用完一次法則,要將式子整理化簡要將式子整理化簡;(4) 為簡化運算經(jīng)常將法則與等價無窮小及極限為簡化運算經(jīng)常將法則與等價無窮小及極限的其它性質(zhì)結(jié)合使用的其它性質(zhì)結(jié)合使用.(2) 在用法則之前在用法則之前,式子是否能先化簡式子是否能先化簡;12例例.)(arcsin1sinlim20 xxexx 求求)00(解解)0(arcsinxxx201sinlimxxexx 原式原式xxexx2coslim0 )00()00(2sinlim0 xexx .21 注意：使用洛比達法則前，先注意等價無窮小因子替換。注意：使用洛比達法則前，先注意等價無窮小因子替換。13例例解解.3ta

8、ntanlim2xxx 求求xxxxx3sincos3cossinlim2 原式原式xxxsin3sin3lim2 . 3 )( )00( xxxcos3coslim2 注意：非零極限因子先提出來計算。注意：非零極限因子先提出來計算。14例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達法則失效洛必達法則失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件.注注注：注：當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限不存在時當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限不存在時,不能斷定函數(shù)比的極不能斷定函數(shù)比的極限不存在限不存在, 這時不能使用洛必達法則

9、這時不能使用洛必達法則.)( 15P131P131例例1010):(lnlim正正整整數(shù)數(shù)nxxnx 解解)( 11lim nxnxx原式原式nxnx1lim 0 注注., 0 極極限限式式子子仍仍成成立立換換成成 nP131P131例例1010)0,:(lim 正整數(shù)正整數(shù)nexxnx)( 解解xnxenx 1lim 原式原式xnxexnn 22)1(lim )( )( 0!lim xnxen n次次.ln,xxexnx :ln .有有xnexx16型未定式型未定式二、二、 ,0例例解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . ,00. 型型 0. 1步驟步驟:

10、0010 2limxexx 原式原式)( )( 關(guān)鍵關(guān)鍵 1或或 000 將其它類型未定式化為洛必達法則可將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型解決的類型 注意：隨時檢查運用洛比達法則后極限變簡還是變繁。注意：隨時檢查運用洛比達法則后極限變簡還是變繁。17例例).arctan2(limxxx 求求)0( 解解xxx1arctan2lim 原式原式)00(22111limxxx 221limxxx 1 18例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式20sinlimxxxx . 0 型型 . 2步驟步驟:)00(01coslim2xx

11、x 0101 002012lim2xxx 注意：盡可能把分子和分母因式分解。注意：盡可能把分子和分母因式分解。19步驟步驟: 0例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e . 1 e 00 1 00 0exxlnxxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0ln0 e1ln e ln0e)0( )( 0limx00,1 ,0 三、三、型未定式型未定式第一章第一章第九節(jié)第九節(jié)定理定理320例例解解)(cotlim0 xx 求求)(0 xxxx1sin1cot1lim20 .1 exln1 原式原式 0limxxxxln)ln(cotlim0 e )( e

12、)ln(cotln1xx e21例例解解)1( 原式原式 xxx1cos2sinlim求求x xxx1cos2sinlne xlim)0( xlime xxx1cos2sinlnxt1 令令e limttt)cos2ln(sin )00(0te 0limtttttcos2sinsin2cos2 2e 考研數(shù)學(xué)一考研數(shù)學(xué)一, 5分分還有別的方法嗎還有別的方法嗎?exxx 11lim22四、小結(jié)四、小結(jié)型型00,1 ,0 ,型型 型型 0,00型型型型 一、一、二、二、三、三、注意注意但求某些未定式極限不要單一使用洛必達但求某些未定式極限不要單一使用洛必達應(yīng)將所學(xué)方法綜合運用應(yīng)將所學(xué)方法綜合運用.尤其是下述兩種方法尤其是下述兩種方法, 可使問題大大簡化可使問題大大簡化.各類未定式極限問題各類未定式極限問題,洛必達法則是最常用洛必達法則是最常用的工具的工具,法則法則, 三大類未定式三大類未定式23 (1) 存在極限為存在極限為非零的因子非零