定積分的概念與性質(zhì)

1、1主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例 ；二、定積分定義；三、定積分的性質(zhì) .2矩形矩形三角形三角形梯形梯形曲邊梯形曲邊梯形問題：平面圖形的面積問題：平面圖形的面積一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例3一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例曲邊梯形 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 例1.曲邊梯形的面積 4abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越

2、多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）觀察與思考 5yoxba)(xfy6niiixfA10)(lim. 求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, xixixi1; 小曲邊梯形的面積近似為f(i)xi (xi1ixi); (2)近似代替: (4)取極限: 設(shè)maxx1, x2, xn, 曲邊梯形的面積為 (3)求和: 曲邊梯形的面積近似為 ;niiixfA10)(lim 以直代曲7例2.變速直線運(yùn)動的路程 已知物體直線運(yùn)動的速度vv(t)是時間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(

3、t)0, 計算物體在時間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物體在時間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物體在時間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 (3)求和: (4)取極限: 記maxt1, t2, tn, 物體所經(jīng)過的路程為 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim. 以不變代變8v定積分的定義在小區(qū)間xi1, xi上任取一點(diǎn)i (i1, 2, n), niiixf1)(; 作和maxx1, x2,xn; 記xixixi1 (i1, 2, n),

4、ax0 x1x2 xn1xnb; 在區(qū)間a, b內(nèi)插入分點(diǎn): 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界. 如果當(dāng)0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和i的取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上badxxf)(, 的定積分, 記為niiibaxfdxxf10)(lim)(. 即 二、定積分定義9定積分各部分的名稱 積分符號, f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達(dá)式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積分區(qū)間， niiibaxfdxxf10)(lim)(. 二、定積分定義niiixf1)(積分和. v定積分的定義10二、定積分定義根據(jù)定

5、積分的定義, 曲邊梯形的面積為badxxfA)(. 變速直線運(yùn)動的路程為dttvSTT)(21. bababaduufdttfdxxf)()()(. 說明： 定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無關(guān), 即v定積分的定義niiibaxfdxxf10)(lim)(. 11v函數(shù)的可積性 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. niiibaxf

6、dxxf10)(lim)(. 二、定積分定義v定積分的定義12例例 用定積分表示極限用定積分表示極限.11lim1ninnin解ninnin111limnninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni二、定積分定義v定積分的定義niiibaxfdxxf10)(lim)(. 13 這是因?yàn)閎aniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxx

7、f)()(lim)(lim)(1010. Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值A(chǔ)定積分的幾何意義 14abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和定積分的幾何意義 Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值A(chǔ)15例2xx d1102求解421xyoxy11xx d1102例1 利用定積分的幾何意義，計算利用定積分的幾何意義，計算10 xdxxOy121解xy 110 xdx16 (1)當(dāng) ab 時, 0)(badxxf; v兩點(diǎn)規(guī)定 (2)當(dāng) ab 時, ab

8、badxxfdxxf)()(. 三、定積分的性質(zhì)17三、定積分的性質(zhì)1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性質(zhì)1 性質(zhì)2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性質(zhì)3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 注：值得注意的是不論a, b, c的相對位置如何上式總成立.18利用定積分的幾何意義，可分別求出利用定積分的幾何意義，可分別求出011(1)d2，xx2113( )d1.22 所所以以f xx202110( )d(1)d(1)d2，xf xxxxx解解20(1)d12，xx例3 21)(0,210,1)(dxxfxxxxxf求求已知已知19三

9、、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 20如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則 baabMdxxfabm)()()(ab). badxxf0)(ab). 推論如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 babadxxgdxxf)()(ab). 21 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a,

10、 b上至少存在一個點(diǎn) , 使下式成立: 這是因?yàn)? 由性質(zhì)6 性質(zhì)7(定積分中值定理) baabfdxxf)()(. 積分中值公式. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, 由介值定理, 至少存在一點(diǎn)a, b, 使badxxfabf)(1)(, 兩端乘以ba即得積分中值公式.22)(f注:無論從幾何上, 還是從物理上, 都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.baxxfabfd)(1)()(ba.,)(上的平均值在區(qū)間就是baxf 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個點(diǎn) , 使下式成立: 性質(zhì)7(定積分中值定理) baabfdxxf)()(. 積分中值公式. 23例例3 3 計算從0 秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度. 解 已知自由落體速度為tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01Totgv vTt221TgS 24例例4 4 求求解.arctan1lim2xxxd