幾何概型（第一課時）

1、問題問題2 2：若：若A=(0,9, ,則從則從A中任意取出一個數中任意取出一個數, ,這這個數不大于個數不大于3的概率是多少？的概率是多少？ 它們的相同點它們的相同點和不同點分別和不同點分別是什么？是什么？怎樣求問題怎樣求問題2 2的概率？的概率？一、自主探究一、自主探究問題問題1：若若A=1,2,3,4,5,6,7,8,9, ,則從則從A中任取出中任取出一個數一個數, ,這個數不大于這個數不大于3的概率是多少？的概率是多少？問題問題3 3：取一根長度為：取一根長度為3m的繩子，如果拉直后在的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1 1

2、m的的概率有多大概率有多大? ?解：記解：記“剪得兩段的長都不小于剪得兩段的長都不小于1m”為事件為事件A. .把繩子三等分把繩子三等分, ,于是當剪斷位置處在中于是當剪斷位置處在中間一段上時間一段上時, ,事件事件A發(fā)生發(fā)生. .由于繩子上各由于繩子上各點被剪斷是等可能的，且中間一段點被剪斷是等可能的，且中間一段的長等于繩子的的長等于繩子的 ，即，即 . .31)( AP31的的區(qū)區(qū)域域長長度度實實驗驗的的全全部部結結果果所所構構成成的的區(qū)區(qū)域域長長度度構構成成事事件件 AAP )(二、合作探究二、合作探究答：剪得兩段的長都不小于答：剪得兩段的長都不小于1m的概率為的概率為 .31問題問題4

3、 4：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)。從外向：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)。從外向內為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色。金色靶內為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色。金色靶心叫心叫“黃心黃心”. .奧運會射箭比賽的靶面直徑為奧運會射箭比賽的靶面直徑為122cm，靶心直徑為靶心直徑為12.2cm. .運動員在運動員在70m外射箭外射箭. .假設射箭都假設射箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？中黃心的概率為多少？解：記解：記“射中黃心射中黃心”為事件為事件A，則，則答：射中黃心的概率為答：射中黃心的概率為0.0

4、1. . 的的區(qū)區(qū)域域面面積積試試驗驗的的全全部部結結果果所所構構成成的的區(qū)區(qū)域域面面積積構構成成事事件件 AAP 01. 0122412 .1241)(22 AP問題問題5 5：有一杯：有一杯1 1升的水升的水, , 其中含有其中含有1 1個細菌個細菌, , 用用一個小杯從這杯水中取出一個小杯從這杯水中取出0.10.1升升, , 求小杯水中含求小杯水中含有這個細菌的概率有這個細菌的概率. .解：記解：記“小杯水中含有這小杯水中含有這個細菌個細菌”為事件為事件A, ,事件事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率 1 . 011 . 0)( 杯杯中中所所有有水水的的體體積積取取出出水水的的體體積積AP 的的區(qū)

5、區(qū)域域體體積積試試驗驗的的全全部部結結果果所所構構成成的的區(qū)區(qū)域域體體積積構構成成事事件件AAP 答：小杯水中含有這個細菌的概率為答：小杯水中含有這個細菌的概率為0.1. .（2 2）試驗的概率是如何求得的？）試驗的概率是如何求得的？（1 1）類比古典概型）類比古典概型, ,談談三個試驗有什么共同點？談談三個試驗有什么共同點？探究：探究： 借助幾何圖形的借助幾何圖形的長度、面積、體積的比值長度、面積、體積的比值分分 析事件析事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率. .1.1.試驗中所有可能出現的試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個；基本事件有無限多個；2.2.每個基本事件的發(fā)生都是每個基本事件的發(fā)生都是

6、等可能的等可能的. . 設設D是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、是一個可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等）。每個基本事件可以視為從區(qū)域立體圖形等）。每個基本事件可以視為從區(qū)域D內隨內隨機地取一點，區(qū)域機地取一點，區(qū)域D內的每一點被取到的機會都一樣；內的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內的某個內的某個指定區(qū)域指定區(qū)域d中的點。中的點。 這時，事件這時，事件A發(fā)生的概率與發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、的測度（長度、面積、體積等）成正比，與體積等）成正比，與d的形狀和位置無關的形狀和位置無關. .我們把滿足我們把滿

7、足這種條件的概率模型稱為這種條件的概率模型稱為幾何概型幾何概型. .在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率計算公式為的概率計算公式為三、建構數學三、建構數學()dP AD 的的測測度度的的測測度度(2(2)“)“測度測度”的意義依的意義依D確定；確定；說明說明：(1(1) ) D的測度不能為的測度不能為0；(3) (3) 事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率與d的形狀和位置無關的形狀和位置無關. .例例1.1.取一個長為取一個長為2a的正方形及其內切圓，隨機的正方形及其內切圓，隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率率. .四、數學運用四、數學運用

8、(1)(1)豆子落在正方形內的每一點都是一豆子落在正方形內的每一點都是一個基本事件個基本事件；分析分析: :(2)(2)由于是隨機地丟豆子，所以基本事由于是隨機地丟豆子，所以基本事件有無限個，且每個基本事件的發(fā)生件有無限個，且每個基本事件的發(fā)生都是等可能的；都是等可能的；(3)(3)正方形區(qū)域可視為區(qū)域正方形區(qū)域可視為區(qū)域D，圓形區(qū)，圓形區(qū)域可視為區(qū)域域可視為區(qū)域d. .例例2.2.在在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中取出的種子，從中取出10mL，含有麥銹病種子的概，含有麥銹病種子的概率是多少？率是多少？解：記解：記“取出取出10mL麥種，其中含

9、有病種子麥種，其中含有病種子”為事件為事件A，麥銹病種子在這麥銹病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機的，種子中的分布可以看做是隨機的，取得的取得的10mL種子可視為區(qū)域種子可視為區(qū)域d，所有種子可視為區(qū)域，所有種子可視為區(qū)域D. . 則有則有1001100010)( 所有種子的體積所有種子的體積取出種子的體積取出種子的體積AP答：含有麥銹病種子的概率是答：含有麥銹病種子的概率是 . .1001例例3.3.在直角三角形在直角三角形ABC中，中，CAB=60，在斜邊在斜邊AB上任取一點上任取一點M, ,求求AM小于小于AC的概率的概率. . ABCC在在AB上截取上截取AC=AC. .當點當點

10、M位于線段位于線段AC內，內，AMAC，故線段故線段AC即為區(qū)域即為區(qū)域d，于是，于是 由于點由于點M隨機地落在線段隨機地落在線段AB上，故可以認為點上，故可以認為點M落在落在線段線段AB上任一點是等可能的，可將線段上任一點是等可能的，可將線段AB 看做區(qū)域看做區(qū)域D. .解：記解：記“在斜邊在斜邊AB上任取一點上任取一點M，AMAC”為事件為事件A, , 21)( ABACABCAAP答：答：AM小于小于AC的概率為的概率為 . .21確定區(qū)域確定區(qū)域d的關鍵是的關鍵是確定臨界位置！確定臨界位置！M變式：在上一題構造的直角三角形變式：在上一題構造的直角三角形ABC的基礎上的基礎上, ,過直過直角頂點角頂點C在在ACB內部任作一條射線內部任作一條射線CM, ,與線段與線段AB交交于點于點M, ,求求AMAC的概率的概率. M在在AB上截取上截取AC=AC,則則ACC=60. 由于射線由于射線CM隨機地落在隨機地落在ACB內內部部, ,故可以認為射線故可以認為射線CM落在落在ACB內部任一位置都是等可能的內部任一位置都是等可能的. .解：記解：記“在在ACB內部任作一內部任作一條射線條射線CM, ,與線段與線段AB交于點交于點M ，AMAC”為事件為事件A, , ABCC329060)( ACBCACAP答：這時答：這時AM小于小于AC的概率為的概率為 . 321. 1.