初中函數(shù)概念(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)及其相關(guān)概念 1、變量與常量在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)（1）解析法兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這種表

2、示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。一次函數(shù)和正比例函數(shù) 1、一次函數(shù)的概念：一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為0時(shí)，（k為常數(shù)，k0）。這時(shí)，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像 所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線P(x0 y0)bxyy=kx+bA(x1, y1)B(x2, y2)0da一次函數(shù)

3、ykxb(k0)的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即一次函數(shù)在y軸上的截距)；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的直線。 3、斜率： 直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式: ykxb(k0)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式:由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式：Y設(shè)兩條直線分別為，： ：若A若，則有且。 點(diǎn)P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: XB4、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） 如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的

4、長(zhǎng)度為 5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。6、（1）一次函數(shù)圖象是過(guò) 兩點(diǎn)的一條直線，|k|的值越大，圖象越靠近于y軸。（2）當(dāng)k>0時(shí)，圖象過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；（3）當(dāng)k<0時(shí)，圖象過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。從左至右圖象是下降的（左高右低）；（4）當(dāng)b>0時(shí)，與y軸的交點(diǎn)（0，b）在正半軸；當(dāng)b<0時(shí)，與y軸的交點(diǎn)(0,b)在負(fù)半軸。當(dāng)b0時(shí)，一次函

5、數(shù)就是正比例函數(shù)，圖象是過(guò)原點(diǎn)的一條直線（5）幾條直線互相平行時(shí) ，k值相等而b不相等。反比例函數(shù) 1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)，也可寫成xy=k(k是常數(shù)，k0)反比例函數(shù)中，兩個(gè)變量成反比例關(guān)系：由xy=k，因?yàn)閗為常數(shù)，k0，兩個(gè)變量的積是定值，所以y與x成反比變化，而正比例函數(shù)y=kx(k0)是正比例關(guān)系：由=k (k0)，因?yàn)閗為不等于零的常數(shù)，兩個(gè)變量的商是定值。2、反比例函數(shù)y=(k0)的圖象的畫法畫圖方法：描點(diǎn)法。由于雙曲線的圖象有關(guān)于原點(diǎn)

6、對(duì)稱的性質(zhì)，所以只要描出它在一個(gè)象限內(nèi)的分支，再對(duì)稱地畫出另一分支。一定要注意：k>0，雙曲線兩分支分別在第一、三象限。k<0，雙曲線兩分支分別在第二、四象限。(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)因此，它的增減性與一次函數(shù)相反反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 特點(diǎn)：y=kx-1(k0)中，x0， y0，則有雙曲線不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸永不相交。但無(wú)限靠近x軸、y軸。畫圖時(shí)圖象要體現(xiàn)這種性質(zhì)，千萬(wàn)注意不要將兩個(gè)分支連起來(lái)。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖像 y O x y O x性質(zhì)x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k>0時(shí)，函

7、數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小。x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何的意義如下圖，過(guò)反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=二次函數(shù) 1、二次函數(shù)的概念：一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的

8、一般式。2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。3、二次函數(shù)圖像的畫法 五點(diǎn)法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的

9、圖像4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線 （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋物線上兩點(diǎn)（及y值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：5.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下；頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 越大，圖像開口越小，越小，圖像開口越大。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. （2）和共同決定拋物線對(duì)

10、稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸； （即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .6、二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：（3）交點(diǎn)式：當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ

11、軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()7、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。8、二次函數(shù)的圖象 函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0 y 0 x y0 x 1性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）

12、在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，9. 拋物線的交點(diǎn)（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）拋物線與軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn) ()拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）()拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn) ()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（2）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)