矩陣求逆課件

1、1/245.3 矩陣求逆矩陣求逆n伴隨矩陣法伴隨矩陣法n解方程組法解方程組法nGauss-Jordan消去法消去法nGaussJordan原地求逆法原地求逆法n分塊分塊矩陣求逆矩陣求逆2/24伴隨矩陣法伴隨矩陣法的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。中中為矩陣為矩陣相應(yīng)地，相應(yīng)地，的伴隨矩陣：的伴隨矩陣：為為其中其中可逆，則可逆，則設(shè)矩陣設(shè)矩陣ijijnnnnnnaAAAAAAAAAAAAAAAAAA 212222111211*1 1 3/24的解。的解。個(gè)方程組個(gè)方程組的的為單位向量為單位向量，右端項(xiàng)分別，右端項(xiàng)分別均為均為問題等價(jià)于求系數(shù)矩陣問題等價(jià)于求系數(shù)矩陣解解存在，求存在，求的逆矩陣的逆矩陣非

2、奇異，則非奇異，則設(shè)矩陣設(shè)矩陣),.,2 , 1()0,.,1,.,0 , 0(11njAnAAAAAjjTjjexe 解方程組法解方程組法4/24。則則）（）（式即為式即為順序消去法知，求解上順序消去法知，求解上由由初等變換初等變換1| AXXIIAJordanGauss個(gè)單元還是很困難的。個(gè)單元還是很困難的。這這很大時(shí)，很大時(shí)，但當(dāng)?shù)?dāng)個(gè)存儲(chǔ)單元即可實(shí)現(xiàn)，個(gè)存儲(chǔ)單元即可實(shí)現(xiàn)，算法上增加了算法上增加了22 nnnGauss-Jordan消去法消去法5/24元，這就是原地求逆。元，這就是原地求逆。個(gè)單個(gè)單則可節(jié)省則可節(jié)省放放的單元，最后仍用來存的單元，最后仍用來存如果將如果將21 nAA Ga

3、ussJordan原地求逆法原地求逆法111)()()()()()()(111.)(1)(1.1.:LLLAkiakiaallllLIALLLJordanGaussnnkkkkkkkikkikknkkkkkkKnn 故故其中其中消去法矩陣形式消去法矩陣形式由由實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)6/24 為使求逆過程不斷提高求解精度，因此增加選主為使求逆過程不斷提高求解精度，因此增加選主元工作，最常用的是元工作，最常用的是利用列主元（或行主元）利用列主元（或行主元）求求逆逆。GaussJordan原地求逆法原地求逆法 例如：對(duì)例如：對(duì)列列主元主元法，我們可以法，我們可以增加一個(gè)數(shù)組增加一個(gè)數(shù)組Z(n)，記錄選主元的交換號(hào)

4、，最后在消元工作完成后，根記錄選主元的交換號(hào)，最后在消元工作完成后，根據(jù)據(jù)Z(n)對(duì)對(duì)A中的元素進(jìn)行相應(yīng)的中的元素進(jìn)行相應(yīng)的列列交換，得到交換，得到A-17/24算法（原地求逆法）算法（原地求逆法）);,.2, 1()3(;,0)2(;)(|max|)1(),.2, 1. 3);,.,2, 1()(. 2),.2, 1,(. 1njaathenklifDifaDilikzaankniiiznjialjkjlkkkiknikkiijk 停停機(jī)機(jī)輸輸入入奇奇異異標(biāo)標(biāo)志志；選選主主元元：做做對(duì)對(duì)；輸輸入入：8/24結(jié)束。結(jié)束。輸出：輸出：；做做對(duì)對(duì)),.2 , 1,(. 5);,.,2 , 1(th

5、enif)(1,.,1. 4);,.,2 , 1()7();,.,2 , 1,()6();,.,2 , 1()5(;1)4(njianiaaktkZtnkkiniacakjkinjiaaaakjnjacaacaijitikikkikkjikijijkjkkjkkkkk 主元變換主元變換主元所在行變換主元所在行變換主元所在列變換主元所在列變換其他行列變換其他行列變換9/24例題例題。求逆矩陣求逆矩陣設(shè)矩陣設(shè)矩陣?yán)?1221112211 . 3 . 3 AA10/24消消去去法法解解法法一一：JordanGauss 120011021100310401例題例題 10001000112211122

6、1 102011001520310221 120351461100010001.1203514611 A所以得所以得11/241)1( k原地求逆法原地求逆法解法二：解法二：JordanGauss 例題例題 221111122 22111121121 25112101211211251212102121121A 122111221A3)1( z211 c12/24，2)2( k例題例題 21021251212112122102125121311A 2512121021211211A，3)2( z12 c 210212512131113/2423)3(3)3(3 czk，例題例題 2012512

7、1311 20125133143201513614A 21021251213112A14/243)1(3)2( zz，由由例題例題 2015136143A 120351461與第三列與第三列交換第一列交換第一列 1203514611A所以所以 021153164與第三列與第三列交換第二列交換第二列15/24.且其逆矩陣可逆, 那么分矩可逆, 定理1 D C ADA =TDCATDA -111110 0 ,陣設(shè)陣.且其逆矩陣可逆, 那么分矩可逆, 定理2 111110 0 ,D BDA A =TDBATDA -陣設(shè)陣分塊分塊矩陣求逆矩陣求逆16/24分塊矩陣求逆.且其逆矩陣可逆, 那么分矩可逆,

8、 定理3 111110 0 ,ACBBC =TCBATCB 陣設(shè)陣.且其逆矩陣可逆, 那么分矩可逆, 定理4 0 0 ,11111BCDBC =TDCBTCB 陣設(shè)陣17/24分塊矩陣求逆 11111111111111111)( )()()()( ADB C A B DB ADBCA + BB ADBC DB A DB C C DA BTT ADB CBC DA BT=- = = = : :的的逆逆矩矩陣陣為為且且方方塊塊矩矩陣陣存存在在, ,那那么么可可逆逆, ,且且其其子子塊塊方方陣陣可可逆逆, , 設(shè)設(shè)分分塊塊矩矩陣陣定定理理5 518/24分塊矩陣求逆 1111111111111111

9、1)( )()()( )(DBD CBD A C D CBDA C DBD CBDA C BD A C DA BTT CBD ADC DA BT=- = = = : :的的逆逆矩矩陣陣為為且且方方塊塊矩矩陣陣存存在在, ,那那么么可可逆逆, ,且且其其子子塊塊方方陣陣可可逆逆, , 設(shè)設(shè)分分塊塊矩矩陣陣定定理理6 619/24分塊矩陣求逆。逆逆矩矩都都可可及及的的充充分分必必要要條條件件是是可可逆逆則則階階可可逆逆方方陣陣分分別別為為其其中中, , 設(shè)設(shè)分分塊塊矩矩陣陣定定理理7 7)()( ,11 BCA D CBD ATnmDAC DA BT= 20/24.3112522100110012 T求求下下面面矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣?yán)?3152 ,1221 ,0000 ,1112 DCBA令令 DCAT0 則則. D C ADA =T11