定積分的簡單應用求體積(共5頁)

1、4.2定積分的簡單應用(二)復習：（1） 求曲邊梯形面積的方法是什么？（2） 定積分的幾何意義是什么？（3） 微積分基本定理是什么？引入：我們前面學習了定積分的簡單應用求面積。求體積問題也是定積分的一個重要應用。下面我們介紹一些簡單旋轉幾何體體積的求法。1. 簡單幾何體的體積計算問題：設由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的平面圖形（如圖甲）繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，如何求？分析：在區(qū)間內插入個分點，使，把曲線（）分割成個垂直于軸的“小長條”，如圖甲所示。設第個“小長條”的寬是，。這個“小長條”繞軸旋轉一周就得到一個厚度是的小圓片，如圖乙所示。當很小時，第個小圓片近似于底面半徑為的小圓柱。因此，第

2、個小圓臺的體積近似為該幾何體的體積等于所有小圓柱的體積和：這個問題就是積分問題，則有：歸納：設旋轉體是由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉而成，則所得到的幾何體的體積為2. 利用定積分求旋轉體的體積（1） 找準被旋轉的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2） 分清端點（3） 確定幾何體的構造（4） 利用定積分進行體積計算3. 一個以軸為中心軸的旋轉體的體積若求繞軸旋轉得到的旋轉體的體積，則積分變量變?yōu)?，其公式為類型一：求簡單幾何體的體積例1：給定一個邊長為的正方形，繞其一邊旋轉一周，得到一個幾何體，求它的體積思路：由旋轉體體積的求法知，先建立平面直角坐標系，寫出正方形旋轉軸對邊的方

3、程，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個頂點為原點，兩邊所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，如圖。則該旋轉體即為圓柱的體積為：規(guī)律方法：求旋轉體的體積，應先建立平面直角坐標系，設旋轉曲線函數(shù)為。確定積分上、下限，則體積練習1：如圖所示，給定直角邊為的等腰直角三角形，繞軸旋轉一周，求形成的幾何體的體積。解：形成的幾何體的體積為一圓柱的體積減去一圓錐的體積。 類型二：求組合型幾何體的體積例2：如圖，求由拋物線與直線及所圍成的圖形繞軸旋轉一周所得幾何體的體積。思路：解答本題可先由解析式求出交點坐標。再把組合體分開來求體積。解：解方程組 得：與直線的交點坐標為所求幾何

4、體的體積為：規(guī)律方法：解決組合體的體積問題，關鍵是對其構造進行剖析，分解成幾個簡單幾何體體積的和或差，然后，分別利用定積分求其體積。練習2：求由直線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。解：旋轉體的體積：類型三：有關體積的綜合問題：例3：求由曲線與所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。思路：解題的關鍵是把所求旋轉體體積看作兩個旋轉體體積之差。畫出草圖確定被積函數(shù)的邊界確定積分上、下限用定積分表示體積求定積分解：曲線與所圍成的平面圖形如圖所示：設所求旋轉體的體積為根據(jù)圖像可以看出等于曲線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積（設為）減去曲線直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積（設為）反思：結合圖形正確地把求旋轉體體積問題轉化為求定積分問題是解決此類問題的一般方法。練習3：求由，以及軸圍成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。解：由 得：誤區(qū)警示：忽略了對變量的討論而致錯例：已知曲線，和直線，。試用表示該四條曲線圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所形成的幾何體的體積。思路：掌握對定積分的幾何意義，不要忽視了對變量的討論。解：由 得 由示意圖可知：要對與1的關系進行討論： 當時， 當時，所得旋轉體的體積為追本溯源：利用定積分求旋轉體