目標(biāo)規(guī)劃的圖解法

1、. 由于目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立，并彌由于目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上建立，并彌補(bǔ)了部分不足所以兩種規(guī)劃模型結(jié)構(gòu)沒有本質(zhì)區(qū)別，補(bǔ)了部分不足所以兩種規(guī)劃模型結(jié)構(gòu)沒有本質(zhì)區(qū)別，解法也非常類似解法也非常類似形式上的區(qū)別形式上的區(qū)別主要在于：主要在于：線性規(guī)線性規(guī)劃只能處理一個目標(biāo)，而目標(biāo)規(guī)劃能統(tǒng)籌兼顧地處理劃只能處理一個目標(biāo)，而目標(biāo)規(guī)劃能統(tǒng)籌兼顧地處理關(guān)系，以求得切合實際需求的解；關(guān)系，以求得切合實際需求的解；線性規(guī)線性規(guī)劃是求滿足所有約束條件的最優(yōu)解，而目標(biāo)規(guī)劃是要劃是求滿足所有約束條件的最優(yōu)解，而目標(biāo)規(guī)劃是要在多個目標(biāo)或約束條件下找到在多個目標(biāo)或約束條件下找到；線線性規(guī)劃的約束條件是不分

2、主次地同等對待，而目標(biāo)規(guī)性規(guī)劃的約束條件是不分主次地同等對待，而目標(biāo)規(guī)劃可根據(jù)實際需要劃可根據(jù)實際需要 . 線性規(guī)劃是在可行解域內(nèi)尋找某一點，線性規(guī)劃是在可行解域內(nèi)尋找某一點，使單個目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值（最大值或最小值）而目標(biāo)規(guī)使單個目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值（最大值或最小值）而目標(biāo)規(guī)劃是在可行域內(nèi)，首先劃是在可行域內(nèi)，首先尋找到一個使尋找到一個使P1級目標(biāo)均滿足的級目標(biāo)均滿足的區(qū)域區(qū)域R1，然后，然后R1中中尋找一個使尋找一個使P2級目標(biāo)級目標(biāo)均滿足或均滿足或盡盡最大可能滿足的區(qū)域最大可能滿足的區(qū)域R2（ R1），再在，再在R2中尋找一個滿中尋找一個滿足足P3的各目標(biāo)的區(qū)域的各目標(biāo)的區(qū)域R3（ R2 R1），

3、），,如此下去，直到如此下去，直到尋找到一個區(qū)域?qū)ふ业揭粋€區(qū)域Rk( Rk-1 R1)，滿足，滿足Pk級的各目標(biāo)級的各目標(biāo)，這個這個，如果，如果，它只能滿足，它只能滿足P1,，Pi 級目標(biāo)，而無法進(jìn)一步改進(jìn)，當(dāng)然，此時或許級目標(biāo)，而無法進(jìn)一步改進(jìn)，當(dāng)然，此時或許有低于有低于Pi級目標(biāo)被滿足，這純屬巧合級目標(biāo)被滿足，這純屬巧合 .類似類似 根據(jù)決策變量（當(dāng)然不能多于根據(jù)決策變量（當(dāng)然不能多于2個）繪畫所有（軟、個）繪畫所有（軟、硬）約束條件的直線圖形，偏差變量以移動（平移）直線的硬）約束條件的直線圖形，偏差變量以移動（平移）直線的方法加以考慮方法加以考慮 重復(fù)第重復(fù)第3、4步過程，直到解區(qū)域步過

4、程，直到解區(qū)域Ri 減少到一點或滿減少到一點或滿 足足了所有了所有k個級別的目標(biāo)為止，此時，個級別的目標(biāo)為止，此時，Rk 即為這個目標(biāo)規(guī)劃的最即為這個目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解區(qū)域，其中的任何一點均為目標(biāo)規(guī)劃的滿意解優(yōu)解區(qū)域，其中的任何一點均為目標(biāo)規(guī)劃的滿意解 對對P1級的各目標(biāo)，確定解區(qū)域級的各目標(biāo)，確定解區(qū)域R1對下一個優(yōu)先級別對下一個優(yōu)先級別Pi 級各目標(biāo)，確定它的最優(yōu)解空間級各目標(biāo)，確定它的最優(yōu)解空間Ri ，但必須是，但必須是Ri Ri-1 ( i=2,3,) 在這個過程中，如果某解區(qū)域在這個過程中，如果某解區(qū)域Ri 減小到一點，則減小到一點，則 可結(jié)束這個過程，因為此時沒有進(jìn)一步改進(jìn)的可能可結(jié)

5、束這個過程，因為此時沒有進(jìn)一步改進(jìn)的可能. 求解下面目標(biāo)規(guī)劃求解下面目標(biāo)規(guī)劃: 112233121121121222Min 51060 ( )2 0 ( )s.t4 4 36 ZPdP dPdxxlxxddlxxdd31233412 ( )68 48 ( ),0,0,(1, 2, 3)iilxxddlx xddi將約束方程以直線形式畫在圖上，這里只使用決策變將約束方程以直線形式畫在圖上，這里只使用決策變量（即量（即 ），偏差變量在畫直線時被去掉，直線畫好后，），偏差變量在畫直線時被去掉，直線畫好后，在該直線上標(biāo)出目標(biāo)函數(shù)中與該直線相關(guān)的偏差變量增大時在該直線上標(biāo)出目標(biāo)函數(shù)中與該直線相關(guān)的偏差變

6、量增大時直線的平移方向（用垂直于直線的箭頭來反映）如圖直線的平移方向（用垂直于直線的箭頭來反映）如圖3-2 xx ,.1d2d3dl1l2l3l4oABCDEFx1x2圖圖3-2 圖解法示意圖圖解法示意圖112233121121121222Min 51060 ( )2 0 ( )s.t4 4 36 ZPdP dPdxxlxxddlxxdd31233412 ( )68 48 ( ),0,0,(1, 2, 3)iilxxddlx xddi. 這個區(qū)域內(nèi)的任一點均是該問題的滿意解，這個區(qū)域內(nèi)的任一點均是該問題的滿意解，可使目標(biāo)函數(shù)可使目標(biāo)函數(shù) zmin 由于由于C、D、E、F 坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為(

7、6, 3)、(9, 0)、(8，0)、(4.8 , 2.4)， 故滿意解可表示為：故滿意解可表示為：).,.( ).,.(),(),(),(),(xx其中：其中：),(,ii 這種滿足所有目標(biāo)要求的情況，即：這種滿足所有目標(biāo)要求的情況，即： ，在實際中并不多見，很多目標(biāo)規(guī)劃問題只能滿足前在實際中并不多見，很多目標(biāo)規(guī)劃問題只能滿足前面幾級目標(biāo)要求面幾級目標(biāo)要求 0minz. 用圖解法求解下面目標(biāo)規(guī)劃問題：用圖解法求解下面目標(biāo)規(guī)劃問題：11223312111122221233Min 10 ( )2 26 ( ) 2 6 ZPdPdPdxxddlxxddlxxdd312 ( ),0,0,(1,2,3

8、)iilx xddi作圖作圖3-3： .l1x1x2o1d2d3dl2l3(10, 0) 圖圖3-3 圖解法示意圖圖解法示意圖AB考慮考慮P2 級目標(biāo)，由于直線級目標(biāo)，由于直線 l2 與與R1不相不相交，所以在交，所以在R1 內(nèi)無法使內(nèi)無法使 因此因此在不退化在不退化P1 級目標(biāo)時，不可能使級目標(biāo)時，不可能使P2 級級目標(biāo)完全滿足這樣目標(biāo)完全滿足這樣R2 就縮為一點，就縮為一點，因為在因為在R1中，使中，使 達(dá)到最小的為達(dá)到最小的為A點，點，所以：所以：x* = (10 ,0), 02ddd11223312111122221233Min 10 ( )2 26 ( ) 2 6 ZPdPdPdxx

9、ddlxxddlxxdd312 ( ),0,0,(1,2,3)iilx xddi.由于由于R2僅含有一個點，所以對僅含有一個點，所以對P3級目標(biāo)，我們已級目標(biāo)，我們已經(jīng)無法進(jìn)一步的選擇與考慮，可求得經(jīng)無法進(jìn)一步的選擇與考慮，可求得 ，即目標(biāo)函數(shù)為：即目標(biāo)函數(shù)為：dPPzmin 此例中，之所以產(chǎn)生解域此例中，之所以產(chǎn)生解域R2退縮為一個點，退縮為一個點，從而無法使從而無法使P2，P3級目標(biāo)達(dá)成，是因為級目標(biāo)達(dá)成，是因為P2級目標(biāo)級目標(biāo)的期望值定得過高如果將它的目標(biāo)值從的期望值定得過高如果將它的目標(biāo)值從26降到降到14，則可考慮到，則可考慮到P3級目標(biāo)，見圖級目標(biāo)，見圖3-4. 滿足滿足P1、P2

10、級目標(biāo)的可行解域為級目標(biāo)的可行解域為R2，l1x1x2o1d2d3dl2l3(10, 0)使使P1,P2,P3級目標(biāo)完全滿足，這時問題的滿意解不唯一一級目標(biāo)完全滿足，這時問題的滿意解不唯一一般地，目標(biāo)要求確定得越低，可供選擇的解越多，目標(biāo)定般地，目標(biāo)要求確定得越低，可供選擇的解越多，目標(biāo)定得太高，滿意解的選擇余地也越小，甚至一些低級別的目得太高，滿意解的選擇余地也越小，甚至一些低級別的目標(biāo)無法實現(xiàn)標(biāo)無法實現(xiàn)進(jìn)一步考察進(jìn)一步考察P3級目級目 標(biāo)可得最優(yōu)解區(qū)域標(biāo)可得最優(yōu)解區(qū)域R3，對該區(qū)域中任意一點，均同時能對該區(qū)域中任意一點，均同時能圖圖3-4.4 , 3 , 2 , 1, 0,30245040

11、)2(min21442331222111214332211iddxxddxddxddxxddxxddPdPdPzii滿足約束條件：目標(biāo)函數(shù)： 求解下面目標(biāo)規(guī)劃求解下面目標(biāo)規(guī)劃: .用圖解法求解，見圖4.2。4 , 3 , 2 , 1, 0,30245040)2(min21442331222111214332211iddxxddxddxddxxddxxddPdPdPzii.從圖4.2中看到 在考慮具有P1、P2的目標(biāo)實現(xiàn)后，x1、x2的取值范圍為ABCD?？紤]P3的目標(biāo)要求時，因d3的權(quán)系數(shù)大于d4，故先考慮min d3；這時x1、x2的取值范圍縮小為ABEF區(qū)域。然后考慮d4。在ABEF中無法

12、滿足d4=0，因此只能在ABEF中取一點，使d4盡可能小，這就是E點。故E點為滿意解。其坐標(biāo)為(24，26)，.在目標(biāo)規(guī)劃中，考慮低級別目標(biāo)時，不能在目標(biāo)規(guī)劃中，考慮低級別目標(biāo)時，不能破壞已經(jīng)滿足的高級別目標(biāo)，這是基本原則但它并不破壞已經(jīng)滿足的高級別目標(biāo)，這是基本原則但它并不是說，當(dāng)某一高級別目標(biāo)不可能滿足時，其后的低級別是說，當(dāng)某一高級別目標(biāo)不可能滿足時，其后的低級別目標(biāo)就一定不能滿足而是在有些目標(biāo)規(guī)劃中，當(dāng)某一目標(biāo)就一定不能滿足而是在有些目標(biāo)規(guī)劃中，當(dāng)某一優(yōu)先級的目標(biāo)不能優(yōu)先級的目標(biāo)不能滿足時，其后的某滿足時，其后的某些低級別目標(biāo)仍可些低級別目標(biāo)仍可能被滿足能被滿足#.例例3.5 用圖解法

13、求解目標(biāo)規(guī)劃用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃)3()()(min323322111ddpddpddpf)3 , 2 , 1(0,40603750251521332122211121iddxxddxxddxxddxxii S , t(利潤利潤)(裝配裝配)(檢驗檢驗).X2X1102030400102030405060750251521xxAB1d1dFE2d2d60321xxCG3d3d4021 xxHIDP1級目標(biāo)：級目標(biāo)： 線段線段AB：P1P2級目標(biāo)：級目標(biāo)： 線段線段 HI：故故I點為最優(yōu)解。點為最優(yōu)解。P1P2+P3級目標(biāo)：級目標(biāo)：H點：點：(25,15)3230min.10pfdI點：點：(37.5,7.5)335min. 5pfdI)3 ()()(min323322111ddpddpddpf) 3 , 2 , 1( 0,40603750251521332122211121iddxxddxxddxxddxxii.210100012100180512 30032 )(min 21422213112