2015春人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3檢測(cè)試題 2.4正態(tài)分布

1、課時(shí)訓(xùn)練13正態(tài)分布一、選擇題1.設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=,(x)=,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是().A.10與8B.10與2C.8與10D.2與10答案:B解析:由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知,總體的均值=10,方差2=4,即=2.2.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1,)(1>0)和N(2,)(2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有().A.1<2,1<2B.1<2,1>2C.1>2,1<2D.1>2,1>2答案:A解析:根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì):正態(tài)分布密度曲線是一條關(guān)于直線x=對(duì)稱,在x=處取得

2、最大值的連續(xù)鐘形曲線;越大,曲線越“矮胖”;越小,曲線越“瘦高”,結(jié)合圖象可知1<2,1<2.故選A.3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2X4)=0.682 6,則P(X>4)=().- 2 - / 6A.0.158 8B.0.158 7C.0.158 6D.0.158 5答案:B解析:P(X>4)=1-P(2X4)=×(1-0.682 6)=0.158 7.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,4),則E(2+1)與D(2+1)的值分別為().A.13,4B.13,8C.7,8D.7,16答案:D解析:由已知E()=3,D()=4,得E(2+1

3、)=2E()+1=7,D(2+1)=4D()=16.5.(2014河北高陽中學(xué)高三月考)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(<4)=0.8,則P(0<<2)等于().A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案:C解析:P(4)=1-0.8=0.2,P(0)=0.2,P(0<<2)=0.3.6.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>C+1)=P(X<C-1),則C=().A.1B.3C.2D.5答案:C解析:XN(2,9),P(X>C+1)=P(X<3-C).又P(X>C+1)=P(X<C-1),3-C=C-1

4、.C=2.7.某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站,由于交通擁擠,所需時(shí)間(單位:min)服從XN(50,102),則他在時(shí)間段(30,70內(nèi)趕到火車站的概率為().A.0.682 6B.0.997 4C.0.317 4D.0.954 4答案:D解析:XN(50,102),=50,=10,P(30<X70)=P(-2<X+2)=0.954 4.二、填空題8.(2014山東桓臺(tái)一中月考)已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間(-,0.3)的概率為0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線,(x)在x=時(shí)達(dá)到最高點(diǎn). 答案:0.3解析:P(X<0.3)=0.5,P(X0.3)=0.5,即x=0.

5、3是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸,當(dāng)x=0.3時(shí),(x)達(dá)到最高點(diǎn).9.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)服從N(110,202),且知滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人.則這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)的和約為. 答案:54解析:因?yàn)镹(110,202),所以=110,=20,P(110-20<110+20)=0.682 6.所以>130的概率為(1-0.682 6)=0.158 7.所以90的概率為0.682 6+0.158 7=0.841 3.所以及格的人數(shù)為54×0.841 345,130分以上的人數(shù)為54×0.158

6、 79.故所求的和約為45+9=54人.10.某班有50名學(xué)生,一次考試的成績(jī)(N)近似服從正態(tài)分布N(100,102),已知P(90100)=0.3,估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為. 答案:10解析:考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(100,102),考試的成績(jī)關(guān)于=100對(duì)稱.P(90100)=0.3,P(100110)=0.3.P(>110)=0.2.該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為0.2×50=10.三、解答題11.設(shè)XN(1,22),試求:(1)P(-1<X3);(2)P(3<X5);(3)P(X5).解:因?yàn)閄N(1,22),所以=1,=2

7、,如圖.(1)P(-1<X3)=P(1-2<X1+2)=P(-<X+)=0.682 6.(2)因?yàn)镻(3<X5)=P(-3<X-1),所以P(3<X5)=P(-3<X5)-P(-1<X3)=P(1-4<X1+4)-P(1-2<X1+2)=P(-2<X+2)-P(-<x+)=(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.(3)因?yàn)镻(X5)=P(X-3),所以P(X5)=1-P(-3<X5)=1-P(1-4<X1+4)=1-P(-2<X+2)=(1-0.954 4)=0.022 8.12.已知某種零件

8、的尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù),在(80,+)上是減函數(shù),且f(80)= .(1)求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式:(2)估計(jì)尺寸在72 mm88 mm之間的零件大約占總數(shù)的百分之幾.解:(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù),在(80,+)上是減函數(shù),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱,且在x=80處取得最大值.因此得=80,所以=8.故正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是f(x)=.(2)由=80,=8,得-=80-8=72,+=80+8=88,所以零件尺寸X在區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm88 mm間的零件大約占總數(shù)的68.26%.13.正態(tài)總體當(dāng)=0,=1時(shí)的概率密度函數(shù)是,(x)=,xR.(1)證明,(x)是偶函數(shù);(2)求,(x)的最大值;(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明,(x)的增減性.(1)證明:對(duì)于任意的xR,(-x)=,(x),所以,(x)是偶函數(shù).(2)解:令z=,當(dāng)x=0時(shí),z=0,e-z=1;當(dāng)x0時(shí),>0,ez>1,由于y=ez是關(guān)于z的增函數(shù),所以當(dāng)x=0(即z=0)時(shí),=e0取得最大值.這時(shí),(x)的最大值為e0= .(3)任取x1<0,