假設檢驗講義

1、假設檢驗講義第八章假設檢驗內(nèi)容介紹本章主要介紹統(tǒng)計假設檢驗的基本思想和概念以及參數(shù)的假設檢驗，并簡單介紹非參數(shù)的統(tǒng)計假設檢驗的一些方法.內(nèi)容講解§假設檢驗的基本思想和概念 1.引例例題1.p167例81味精廠用一臺包裝機包裝味精，已知袋裝味精的重量（單位：公斤）xn（，），機器正常時，其均值=公斤.某日開工后隨機抽取9袋袋裝味精，其凈重分別為,問這臺包裝機工作是否正常？【答疑編號】分析：從上述數(shù)據(jù)可知，9袋味精沒有一袋與包裝上標明的公斤相同，這是一種普遍現(xiàn)象.造成這種差異不外乎有兩種原因：一是偶然因素造成的差異稱為隨機誤差，屬于正常誤差；二是由于條件因素造成的誤差，稱為條件誤差，屬于

2、不正常的誤差。為了檢驗包裝機是否正常，在數(shù)理統(tǒng)計中給出了假設檢驗的方法。解：已知袋裝味精重xn（，），假設現(xiàn)在包裝機工作正常，提出如下假設：h0：=0=，h1：0，這是兩個對立的假設，讓我們通過抽樣進行檢驗，從中選取其一，作出決策.從總體中抽取容量為n的樣本，其均值為是的一個無偏估計.易知，當很小時，認定h0為真，反之，很大時，我們有理由懷疑h0為真而拒絕h0，接受h1. 如何求出大、小的臨界值？下面討論之.為了確定臨界值，給定一個小數(shù)（0<<1）.由于h0為真時，與區(qū)間估計類似，考慮，查表可得臨界值.顯然，事件是一個小概率事件，在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.我們只需計算的值，與臨界

3、值比較大小，若，說明上述小概率事件沒有發(fā)生，我們接受h0，反之說明，小概率事件居然發(fā)生了，與“小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”相矛盾，于是拒絕h0，接受h1，認為這臺包裝機工作不正常.2.統(tǒng)計假設檢驗中的一些基本概念（1）參數(shù)檢驗與非參數(shù)檢驗如果需要檢驗的量僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)，則稱之為參數(shù)檢驗.這是本章講解的主要內(nèi)容；如果涉及分布函數(shù)形式等時，則稱之為非參數(shù)檢驗.（2）原假設與備擇假設引例中的假設h0，即正常情況下放棄h0是小概率事件，則稱h0為原假設或零假設；與之相對立的是假設h1，稱之為備擇假設.兩個假設有且僅有一個為真.（3）檢驗統(tǒng)計量引例中的，稱為檢驗統(tǒng)計量.對樣本數(shù)據(jù)進

4、行加工并用來判斷是否接受原假設的統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量.檢驗統(tǒng)計量應滿足：必須與統(tǒng)計假設有關；當h0為真時，檢驗統(tǒng)計量的分布是已知的.（4）顯著水平假設檢驗的基本理論根據(jù)是小概率原理，即小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，根據(jù)這一原理，如果小概率事件不發(fā)生，則接受原假設，否則拒絕原假設。那么，確定多大范圍算作小概率呢？選擇一個小數(shù)（0<<1）作為標準，通常取,等，稱之為顯著水平，所以，假設檢驗問題要規(guī)定一個顯著水平.（5）接受域與拒絕域應用檢驗統(tǒng)計量及其分布和顯著水平，可以求出小概率事件發(fā)生和不發(fā)生的臨界值，即引例中的.此數(shù)值將統(tǒng)計量可能取值劃分為兩部分，一部分是原假設成立的取值范

5、圍，稱為接受域；另一部分是使小概率事件發(fā)生的統(tǒng)計量取值范圍，即拒絕原假設的范圍，稱為拒絕域，本書用w表示.3.假設檢驗中的兩類錯誤（1）數(shù)理統(tǒng)計的任務本來是用樣本來推斷總體，即用局部來推斷整體，當然有可能犯錯誤.假設檢驗是在一定的概率（顯著水平）下確定拒絕域的，同樣會犯錯誤.可能犯的錯誤可分為兩類：第一類錯誤是：在h0為真的情況下，樣本值落入拒絕域w，因而拒絕h0.這種錯誤也稱為“拒真”錯誤，犯這類錯誤的概率是.第二類錯誤是：在h0為不真的情況下，樣本值落入接受域，因而接受h0.這種錯誤也稱為“取偽”錯誤，犯這類錯誤的概率是.（2）如何減小犯錯誤的可能？犯兩類錯誤的概率是相互關聯(lián)的.當樣本容量

6、n固定時，犯一類錯誤的概率的減小將導致犯另一類錯誤的概率增加.要同時降低犯兩類錯誤的概率，只有增大樣本容量n.在實際使用中，只能采取折中方案.一般地，先控制值，再盡可能減少值，并把這一檢驗方法稱為顯著性水平為的顯著性檢驗，簡稱水平為的檢驗.4.假設檢驗的基本步驟（1）提出假設：根據(jù)實際問題提出原假設h0和備擇假設h1，要求h0與h1有且僅有一個為真.（2）選統(tǒng)計量：選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并在原假設h0成立的條件下確定該檢驗統(tǒng)計量的分布.（3）求拒絕域：根據(jù)給定的顯著水平，查檢驗統(tǒng)計量的分布表，求出對應于的臨界值，從而得到對原假設h0的拒絕域w.（4）作出決策：計算樣本的統(tǒng)計量的值，若落入拒絕域

7、w，則認為h0不真，拒絕h0，接受備擇假設h1；否則，接受h0.§總體均值的假設檢驗 檢驗（在其他書上也稱z檢驗）（1）單正態(tài)總體，方差已知，均值的檢驗設x1，x2，xn為正態(tài)總體n（，2）的一個樣本，2已知，欲檢驗假設h0：=0，h1：0，其中，0為已知數(shù).由引例，可選擇統(tǒng)計量，并且，在h0成立的條件下，un（0，1）.當給定的顯著水平為時，查標準正態(tài)分布表求得臨界值，從而得到拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量u的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕h0的決策，否則，接受h0.（2）雙正態(tài)總體，方差已知，均值差的檢驗設總體x，y，其中，已知，又x1，x2，xm和y1，y2，yn分

8、別為x和y的樣本，且相互獨立.欲檢驗h0：1=2，h1：12.檢驗h0：1=2等價于h0：1-2=0，而是1-2的無偏估計量，且當h0已知時，有.當給定的顯著水平為時，查標準正態(tài)分布表求得臨界值，從而得到拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量u的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕h0的決策，否則，接受h0.檢驗（1）單正態(tài)總體，方差未知，均值的檢驗設x1，x2，xn為正態(tài)總體n（，2）的一個樣本，2未知，欲檢驗假設h0：=0，h1：0.其中，0為已知數(shù).由于2未知，不能應用u檢驗.但是，由點估計知，s2是2的無偏估計，考慮用s2代替2，構造新的檢驗統(tǒng)計量.由§定理可知，當h0為真時，

9、tt（n-1）.當給定的顯著水平為時，查t分布表求得臨界值，從而得到拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕h0的決策，否則，接受h0.例題2.p172【例82】車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑服從正態(tài)分布n（，2），現(xiàn)從抽取5枝，測得直徑（單位：毫米）為：,.如果2未知，試問直徑均值=21是否成立（=）【答疑編號】（2）雙正態(tài)總體，方差未知，均值差的檢驗設總體x，y，x1，x2，xm和y1，y1，yn分別為x和y的樣本，且相互獨立.方差未知，但.欲檢驗h0：1=2，h1：12.由§定理的討論可知，當h0為真時，構造如下檢驗統(tǒng)計量.當給定的顯著水平為時，查t分

10、布表求得臨界值，從而得到拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕h0的決策，否則，接受h0.例題3.p172【例83】在漂白工藝中考察溫度對針織品斷裂強度的影響，現(xiàn)在700c與800c下分別作8次和6次試驗，測得各自的斷裂強度x和y的觀測值。經(jīng)計算得，。根據(jù)以往的經(jīng)驗，可認為x和y均服從正態(tài)分布，且方差相等，在給定=時，問700c與800c對斷斷裂強度有無顯著差異。【答疑編號】解：由題設，可假定xn（1，2），yn（2，2）。于是若作統(tǒng)計假設為兩個溫度下的斷裂強度無顯著性差異，即相當于作假設h0：1=2，h1：12.取（）式定義的檢驗統(tǒng)計量t，由=，查t分布

11、臨界值表得，?。ǎ┦剿愠鰐的觀測值t=。由于，（2）方差未知，但m=n（配對問題）.欲檢驗h0：1=2，h1：12.令zi=xi-yi，i1，2，n，由正態(tài)分布的可加性，zi也服從正態(tài)分布總體的樣本，則有e（zi）=e（xi-yi）=1-2=d，上式中所設的d，2均未知，但所設的假設等價于下述假設：h0：d=0，h1：d0.可構造檢驗統(tǒng)計量，其中，.在h0為真時，tt（n-1）.當給定的顯著水平為時，查t分布表求得臨界值，從而得到拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕h0的決策，否則，接受h0.例題4.p173【例84】有兩臺儀器a，b，用來測量某礦石的含

12、鐵量，為鑒定它們的測量結果有無顯著的差異，挑選了8件試塊（它們的成分、含勿量、均勻性等均各不相同），現(xiàn)在分別用這兩臺儀器對每一試塊測量一次，得到8對觀測值如表8-2所示?！敬鹨删幪枴勘?-2a4955b4957問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著性差異（=，假定a，b兩種儀器的測量結果x，y分別服從同方差的正態(tài)分布）解：由題意xn（1，2），yn（2，2），要檢驗假設：h0：1=2，h1：12.下面有兩種解法：解法1：作配對情況處理結論。視兩種測量結果之差為來自一個正態(tài)總體，記z=x-y，得8對數(shù)據(jù)之差如表8-3所示。表8-3z原檢驗問題化為：h0：d=0，h1：d0。由表8-3可求得：，。由

13、于>，因而否定h0，即認為這兩種儀器的測量結果有顯著差異。解法2：作不配對處理結論。視表8-2的兩行結果分別來自兩個正態(tài)總體，類似例8-3的解法，算得，。這時，可算得檢驗統(tǒng)計量觀測值t為由=，查表可得臨界值。由于<，因而不否定h0，即認為這兩臺儀器的測量結果差異不顯著。兩種解法結論各不相同，究竟哪一種正確？仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，配對解法消除了試塊不同對數(shù)據(jù)分析的干擾，因為一對數(shù)據(jù)與另一對之間的差異是各種因素，如材料成分、鐵的含量、均勻性等因素引起的，而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能差異所引起的。因而這也表明不能將儀器a對8個試塊的測量結果（表8-2中第一行）看成一個

14、樣本，也不能將第二行看成另一個樣本，即不配對解法是錯誤的。 §正態(tài)總體方差的假設檢驗 1.檢驗單正態(tài)總體，均值未知，方差的檢驗設x1，x2，xn為正態(tài)總體n（，2）的一個樣本，未知，欲檢驗假設ho：，h1：，其中，為已知數(shù).由點估計知，s2是2的無偏估計，即當ho為真時，s2應該在2附近波動，則應該在1附近波動；如果的值與1相比過大或過小，都應否定ho，因此構造檢驗統(tǒng)計量.由§定理可知，當ho為真時，.當給定的顯著水平為時，查分布表求得臨界值與，從而得拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕ho的決策，否則，接受ho.檢驗雙正態(tài)總體，均值未

15、知，方差是否相等的檢驗設總體x，y，x1，x2，xm和y，y2，yn分別為x和y的樣本，且相互獨立.欲檢驗假設：，：.由于和分別為和的無偏估計，當ho為真時，由§定理的推論64可得到檢驗統(tǒng)計量，當ho為真時.當給定的顯著水平為時，查f分布表求得臨界值與，從而得拒絕域.由樣本觀察值計算統(tǒng)計量f的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域w內(nèi)，則作出拒絕ho的決策，否則，接受ho.【例87】設甲、乙兩臺機床加工同一種軸，從這兩臺機床加工的軸中分別的取若干根，測得數(shù)據(jù)如下m=8，,;n=7，.假定各臺機床加工軸的直徑x，y分別服從正態(tài)分布，試比較甲、乙兩臺機床加工軸的精度有無顯著差異（取=）?！敬鹨删幪枴?/p>

16、解：按題意，本題是要檢驗兩正態(tài)總體的方差，是否相等，即要檢驗統(tǒng)計假設h0：，h1：。對給定的=，查附表5可得，于是，而因而，故認為兩正態(tài)總體之方差無顯著差異。3.參數(shù)的區(qū)間估計與假設檢驗（雙邊）的關系以單正態(tài)總體，方差已知，均值的區(qū)間估計為例加以說明：從總體xn（，2）抽取容量為n的樣本x1，x2，xn，2已知.對假設檢驗問題ho：=0的水平為的假設檢驗的拒絕域為，或改寫為，其中.由此可知，這個檢驗的非拒絕域為，即.如果把上式中的0改為，即得單正態(tài)總體，方差已知，均值的置信度為1的置信區(qū)間.反之，若是的置信水平為1的置信區(qū)間，則當時，自然認為0，這恰好與假設檢驗問題中ho：=0的顯著水平為的完

17、全一致.但是，應該指出，區(qū)間估計與假設檢驗在概念上是不同的.§單邊檢驗 上節(jié)所講的假設檢驗只是一種檢驗，稱之為雙邊檢驗.在實際問題中，還有另一類檢驗問題，比如，汽車輪胎的壽命，燈泡的壽命等，總體的均值越大越好，此時，需要的假設檢驗是ho：0，h1：>0，其中0是已知數(shù).類似地，如果只關心總體的均值是否變小，就需要檢驗假設ho：o，h1：<o。這些，不同于上節(jié)的雙邊檢驗，稱為單邊檢驗.下面，討論單邊檢驗問題.（1）單正態(tài)總體，方差已知，均值的單邊檢驗設x1，x2，xn為正態(tài)總體xn（，2）的一個樣本，2已知，欲檢驗假設ho：o，h1：>o，其中，o為已知數(shù).由于是的無

18、偏估計，故當ho為真時，不應過大，若u過大，應拒絕ho，即，u待定.根據(jù)前面講過的內(nèi)容知，故待定數(shù)值，即臨界值u應滿足，其中，為顯著水平，o<<1.顯然，u是標準正態(tài)分布的上分位點，通過查標準正態(tài)分布表求得，從而得到拒絕域w=（，+）.類似地，對于單邊假設檢驗問題：h0：0，h1：>0，仍取為檢驗統(tǒng)計量，得到拒絕域為w=（-，）.（2）對于單正態(tài)總體，方差未知的情況。設x1，x2，xn為正態(tài)總體xn（，2）的一個樣本，2未知，欲檢驗假設h0：，h1：及h0：，h1：，其中，為已知數(shù).仍選擇檢驗統(tǒng)計量，分別得到拒絕域及.（3）兩個正態(tài)總體方差未知的情況。顯著水平下的各種假設檢驗見表84.【例88】用某種農(nóng)藥施入農(nóng)田中防治病蟲害，經(jīng)三個月后土壤中如有5ppm以上的濃度時，認為仍有殘效?，F(xiàn)在一大田施藥區(qū)隨機取10個土樣進行分析，其濃度為:，（單位：ppm）。問該農(nóng)藥經(jīng)三個月后是否仍有殘效（土壤殘余農(nóng)藥濃度服從正態(tài)分布，=）【答疑編號】解：【例89】某類鋼板每塊的重量x服從正態(tài)分布，其一項質(zhì)量指標是鋼板重量的方差不得超過?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的鋼板中隨機抽取25塊，得其樣本方差s2=，問