連續(xù)零點存在定理課件

1、圖13-24 函數(shù)連續(xù)性與間斷點( )( )b yxyx0MM0 x0 xx xyO( )yx( )( )a yf xOyxxMNy0 xx 0 x( )yf x那么，上述函數(shù)的連續(xù)與間斷如何用數(shù)學語言來定義呢？0000( ),0,.( ),0,0.yxxxxxxxxyyxNMMyyf xxNMy時 在處是間斷的,當 經過函數(shù)值發(fā)生跳躍式變化,即當 由 有一個增量時 函數(shù) 得到相應的增量且當曲線上的點就沿著曲線趨近于并未趨近于顯然有不趨近于零便在函數(shù)的圖中 沒有這種現(xiàn)象,而是當時,曲線上點就沿著曲線趨近于點即0000,( )00,lim0;lim0,( ).xxyfxxxyyyyxx 可 見

2、函 數(shù)在處 連 續(xù) 的 特 征 是 當時 ,即當則 函 數(shù)在處 一 定 間 斷0000000000( )( )()( ).limlim()( )0( ).xxyf xxxxxyf xyf xxf xyf xxf xyf xxx 義： 設函數(shù)在點 及其左右近旁有定義,如果當自變量 在 處的增量趨近于零時,函數(shù)相應的增量也趨近于零即 那么,就稱函數(shù)在點 處連續(xù) 叫作函數(shù)的連續(xù)點定 這一定義說明了連續(xù)的本質：當自變量變化微小，函數(shù)值相應變化也很微小.0000000( ),( ),( ),lim ( )( )( ).xxyf xxf xxxxf xf xf xf xx 定義; 設函數(shù)在點 及其鄰域有定

3、義 如果函數(shù)當時極限存在 且等于它在點 處的函數(shù)值即那么,就稱函數(shù)在點 處連續(xù)0,( )yf xx這個定義指出函數(shù)在點 連續(xù)要滿足以下三個條件:0(1)( )f xx函數(shù)在點 及其左右近旁有定義;0(2)lim( );xxf x存在00(3)lim ( )( ).xxf xf x數(shù)區(qū)間內連續(xù)2.函在(a, b)的性下面先介紹函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)的概念.00( )( , ,lim( )( ),(0)lim( )( ),( ).xbxbf xa bf xf bf bf xf bf xb 義 設函數(shù)在區(qū)間內有定義如果左極限存在且等于即若則稱函數(shù)在點左連續(xù)定400( ), ),lim( )( ),(0

4、)lim( )( ),( ).xaxaf xa bf xf af af xf af xa 設函數(shù)在區(qū)間內有定義如果右極限存在且等于即若則稱函數(shù)在點 右連續(xù)000000000( )( ).lim ( )( )lim( )lim( )( )xxxxxxf xxf xxf xf xf xf xf x在點 處連續(xù)的充要條件在點 處右連續(xù)且同時左連續(xù)即1,1( )( )1,11.xf xf xxxxx 作出函數(shù)的圖形,并討論函數(shù)點-1 及點的連續(xù)性 例4解( )(,1,f x分段函數(shù)在區(qū)間內有定義函數(shù)圖形如圖13-25所示.1 01 0lim ( ) lim1,(1) 1,1.xxf xxfx 因為而所

5、以函數(shù)在點左連續(xù)1 01 01 01 01lim( )lim1,lim( )lim1 1lim( )( )1.xxxxxf xxf xf xf xx 因為左極限不等于右極限,所以不存在,即函數(shù)在處不連續(xù)( 1 0)1( 1),( )1.fff xx 但由于所以函數(shù)在點右連續(xù)13 25圖 例4示意圖 121121yxO1.間斷點下面三個函數(shù)在x =1的連續(xù)性.21(1)( )1xf xx函數(shù),(1)(2)( )1,(1)xxf xxx 函數(shù)11,1(3)( )20,1xxf xx函數(shù) 二、函數(shù)的間斷點13 27(2)圖示意圖11( )yf xxyO1328(3)圖示 意 圖1211.5212xy

6、O( )yfx13 26(1)圖示意圖12121211xyxxy( )1,( ):f xxf x 以上三個函數(shù)在都有不連續(xù)但產生不連續(xù)的原因卻各不相同.一般來說,如果函數(shù)有下列三種情形之一00(1),x xx x在點的近旁有定義但點處無定義;00(2),lim( )xxxxf x雖在點有定義 但不存在;000000(3),lim ( ),lim ( )( );( ),( )xxxxxxf xf xf xf xxxf x 雖在點有定義且存在但則函數(shù)在點 不連續(xù)我們把點 稱作函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點.2.間斷點的分類00000( ), ( )( );,( ),( ).xyf xxxf xxf xxx

7、f xxf x義設 為函數(shù)的一個間斷點若當時左右極限均存在,則稱 為函數(shù)的第一類間斷點否則即當時,的左右極限中至少有一個不存在 則稱 為函數(shù)的第二類間斷點 定7 00000000,(0)(0),lim( )(0)(0),.xxf xf xf xxf xxf xf xx 特別 在第一類間斷點中 若即存在,則稱 為可去間斷點(此時, ( )在 處可能有定義,也可能無定義);若稱 為跳躍間斷點,(1)(3)1,1xx 例如上述例和例中,是可去間斷點而在例(2)中是跳躍間斷點.例5 求下列函數(shù)的間斷點，并說明其類型.sin,0(1) ( )tan ;0,0 xxxf xyxx ; (2) ,01,0(

8、3) ( )( )1,01,0 x xxxf xf xxxx ; (4) 解000(1)( )(,),sinlim( )lim1,(0)0,lim( )(0).xxxf xxf xff xfx 函數(shù)在內定義 且由重要極限知而即00( )lim ( ),0 xxf xf xx 所以是函數(shù)的間斷點,又因為存在即左右極限都存在且相等所以是此函數(shù)的可去間斷點;(2)tan,()2,(),()tan,22yxx kk Zx kk Zx kk Zyx 函數(shù)在的近旁有定義,但在沒定義,所以點是函數(shù)的間斷點0022limta n, limta n,xxxx 又tan2,.2yxx kx k 根據(jù)函數(shù)周期性,函

9、數(shù)在處的左右極限均不存在即為第二類間斷點,0(3)( )0,1,0 x xf xxxx函數(shù)在有定義0 00 00 00 01lim( )lim0,lim( )lim,xxxxf xxf xx 但0lim ( ),0( ),(0 0),0;xf xxf xfx即不存在所以是函數(shù)的間斷點又不存在所在為第二類間斷點0 00 00 00 01,0(4)( )01,0lim( )lim(1) 1,lim( )lim( 1)1(0 0)(0 0),0( ).xxxxxxf xxxf xxf xffxf x 函數(shù)在有定義,但 即所以是函數(shù)的跳躍間斷點思考題 0y= f xxx1.函數(shù)在點處連續(xù)的三要素是什么

10、?.2、請用簡圖表示出間斷點的所有類型課堂練習題 20,30 xexaf xax x 1.求出數(shù) ,使函數(shù)在 是連續(xù)函數(shù). 32ln00 xxf xxx 2.求函數(shù)的間斷點并判斷是哪種類型? 1.基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)的.2.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性00( ), ( ),f x g xxx 若函數(shù)在點 處皆連續(xù)則它們的和差積,商(分母不為零)也都在點 連續(xù). 一、初等函數(shù)的連續(xù)性3.反函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連續(xù)反函數(shù)且單調性不變.4.復合函數(shù)的連續(xù)性0000( ),( )( ), ( ).yf uuuxxuxyfxx設函數(shù)在

11、處連續(xù)函數(shù)在 處連續(xù),且則復合函數(shù)在 處也連續(xù) 定理3 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù) 在求復合函數(shù)極限時，若內外層函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，則極限符號與函數(shù)符號可層層交換次序，即0000lim( )lim ( )(lim)()xxxxxxfxfxfxfx上式也可寫成0000000lim( )lim ( )( )( ) lim( )lim( )lim( )xxxxuuxxuufxfxfxf uf ufxf u 1lim sin 1.nnn 求例 1 解1lim 1,sin11lim sin 1sin lim 1sinnnnneuuennnenn 因 為而在時 連 續(xù) ,所 以110 0lim 1xxx

12、ee 求例2 解11110 00,0 0,0,lim 1lim(1)xxxtxtetextete 設當時所以5.初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內都是連續(xù)的.0limlncos .xx求例4 解0( ) lncos ,02limlncoslncos0 0 xf xxxx 設函數(shù)它的一個定義區(qū)間為 -而在該2區(qū)間內,所以453lim.4xxx求例 5 解445 35 353limlim4(4)5 3xxxxxxxx 4111lim.5 34 5 36xx 2ln(1 cos )lim.sinxxx求例7 解2ln(1 cos )( ),sin2ln(1 cos )ln(1 0)ln(1 cos )2,lim0sin1sin2xxf xxxxx 因為函數(shù)是初等函數(shù)且屬于其定義區(qū)間所以1.最大值與最小值性質定理4 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上至少取得它的最大值和最小值各一次.112213 29,(),( ),( )( ),();1,(),( ),( )( ),().f(x)a babfff xa x babfff xax b 122 如圖所示設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)即么至少有一點使得函數(shù)為最大即又至少有一點使得函數(shù)值為最小即二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 此定理中有兩點需要注意：閉區(qū)間