第二節(jié)+凸函數(shù)和凸規(guī)劃

1、 凸函數(shù)及其性質凸函數(shù)及其性質 凸規(guī)劃及其性質凸規(guī)劃及其性質 對于定義在凸集上的凸函數(shù)，其極小點就是最小點，對于定義在凸集上的凸函數(shù)，其極小點就是最小點，極小值就是最小值。極小值就是最小值。集合集合 S 稱為凸集，如果稱為凸集，如果 S 中任兩點的連線內的中任兩點的連線內的點都在集合點都在集合 S 內。內。 證明一集合是否為凸集的方法為，假設證明一集合是否為凸集的方法為，假設X1,X2在此集在此集合中，則有任意合中，則有任意a(0a0,使使( *)( )( *)1f xf xxXNx ，（）如果如果x*不是整體最優(yōu)解，則不是整體最優(yōu)解，則又因為又因為f是凸函數(shù)，所以是凸函數(shù)，所以(1) *)(

2、1) ( *)( *)(1) ( *)( *)2fxxf xf xf xf xf x( (（）xX ，使使( *)( )f xf x，p p112112例例 4.2.3 4.2.3 驗證下列（驗證下列（MPMP）是凸規(guī)劃）是凸規(guī)劃2221231231 31 21222112321233123min( ,)222. .( )0( )216( )0f x x xxxxx xx xxxstg xxxxg xxxxg xxxx取取0充分小，有充分小，有1(1) *( *),(1) *( *)()fxxfxxXNxxx（），與與（2）2）矛矛盾盾例 如下非線性規(guī)劃是否為凸規(guī)劃：2212111222121

3、2min()44()20()10,0f Xxxxg XxxgXxxx x 2221212222212()() 2 0 ,0 2 f Xffx xxf Xffxxx 解解的的正定，正定，凸函數(shù)凸函數(shù)221121212122112212222221212222222212()(). 0 0 , 0 0 2 0 0 0 ggx xxg Xggxxxggx xxgXggxxx )( , )(21XgXg所以，該問題為凸規(guī)劃。半正定，半正定，凸函數(shù)凸函數(shù)半正定，半正定，凸函數(shù)凸函數(shù) 如圖所示，該問題最優(yōu)解（最小點）在如圖所示，該問題最優(yōu)解（最小點）在x*點取得點取得。8 . 3)()34. 1 58. 0( ) (*2*1*XfxxXTT1x2xo11224*(0.58, 1.34) x0)(1Xg0)(2Xg2( *)3.8f X222212112112221212min()44(2)()20()10,0f Xxxxxxg XxxgXxxx x 1建立建立M文件文件mycon1.m定義非線性約束：定義非線性約束： function g,ceq=mycon1(x) g=-x(1)+x(2)-2;x(1)2-x(2)+1; ceq=;22121112221212min()44()20()10,0f Xxxxg XxxgXxxx x 2輸入輸入:clea