初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)最值基本模型

1、初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)最值基本模型動(dòng)點(diǎn)最值基本模型一、最值類型1.飲馬型：即將軍飲馬型，通常為兩條線段之和的最值問題，利用對(duì)稱性質(zhì)將其中一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用兩點(diǎn)之間線段最短（或三角形三邊關(guān)系）得到結(jié)果。2.小垂型：即小垂回家型，通常為一條線段的最值問題，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線，利用垂線段最短的性質(zhì)得到結(jié)果。3.穿心型：即一箭穿心型，通常為一條線段的最值問題，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓或弧，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果。4.轉(zhuǎn)換型：即一加半型，通常為一條線段與另一條線段一半的和的最值問題，即將那半條線段利用三角形中位線或30°的對(duì)邊等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用飲馬或小垂或穿心。5.三邊型：即三角形三邊關(guān)系關(guān)系型

2、，通常利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求其最大（小）值。6.結(jié)合型：即以上類型的綜合運(yùn)用，大多為飲馬+小垂【如包河一模20題】【瑤海一模第10題】、小垂+穿心【如廬陽二模第10題】、飲馬+穿心【如瑤海二模第10題】飲馬+轉(zhuǎn)換【如蜀山二模第10題】等二、分類例析一、飲馬型例1：如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e在cd上，ce=3, de=1, 點(diǎn)p在ac上，則pe+pd的最小值是_ .解析：如圖例2：如圖所示，正方形abcd的面積為12，abe是等邊三角形，點(diǎn)e在正方形abcd內(nèi)，在對(duì)角線ac上有一點(diǎn)p，使pd+pe的和最小，則這個(gè)最小值為_.解析：如下圖二、小垂型例3：如圖，在rtabc

3、中，c90°，ac8，bc6，點(diǎn)p是ab上的任意一點(diǎn)，作pdac于點(diǎn)d，pecb于點(diǎn)e，連接de，則de的最小值為_.解析：如下圖三、穿心型例4：如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形abcd中，abc=120°，m是ad邊的中點(diǎn)，n是ab邊上一動(dòng)點(diǎn)，將amn沿mn翻折得到amn，連接ac，則ac長(zhǎng)度的最小值是_. 解析：如下圖四、轉(zhuǎn)換型例5:如圖，p為菱形abcd內(nèi)一點(diǎn)，且p到a、b兩點(diǎn)的距離相等，若c=60°，cd=4，則的最小值為_解析：因?yàn)閜到a、b兩點(diǎn)的距離相等，所以p 在ab的垂直平分線上，又因菱形abcd中c為60°，所以abd為等邊三角形，ab的垂直平分

4、線經(jīng)過點(diǎn)d,如下圖由adp=30度，可將pd的一半進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即過點(diǎn)p作ad的垂線。如圖，即b、p、f三點(diǎn)共線，且bfad時(shí)最短 五、三邊型例6：如圖，mon=90°，矩形abcd的頂點(diǎn)a、b分別在邊om，on上，當(dāng)b在邊on上運(yùn)動(dòng)時(shí)，a隨之在邊om上運(yùn)動(dòng)，矩形abcd的形狀保持不變，其中ab=2，bc=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)d到點(diǎn)o的最大距離為_解析：如下圖因?yàn)閍b為定長(zhǎng)，所以取其中點(diǎn)e，則oe為定值，在ode中，de為定值，oe為定值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到od的最大值。例7：如圖，已知abc中，acb=90°，bc=4，ac=8，點(diǎn)d在ac上，且ad=6，將線段ad繞點(diǎn)

5、a旋轉(zhuǎn)至ad，f為bd的中點(diǎn)，連結(jié)cf，則線段cf的取值范圍.解析： 解法一：瓜豆原理，點(diǎn)f的軌跡為圓，一箭穿心便可以求出其取值范圍。解法二：如下圖，取ab的中點(diǎn)m，連接fm,cm，由斜邊上的中線等于斜邊的一半得cm為定值，由三角形中位線得fm為定值，所以在cfm中，三邊關(guān)系可得到cf的取值范圍.例8：如圖，ba=1，bc=2，以ac為一邊做正方形aedc，使e，b兩點(diǎn)落在直線ac的兩側(cè)，當(dāng)abc變化時(shí)，求be的最大值.解析：將aeb以點(diǎn)a中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到acb,如下圖所示，連接bb，所以bc=be，在bbc中，bb為定值，bc為定值，三角形三邊關(guān)系即可得到bc的最大值，即

6、be的值.6. 結(jié)合型例9：如圖，正方形abcd中，ab=4, e為cd邊的中點(diǎn)，f、g為ab、ad邊上的點(diǎn)，且af=2gd, 連接e、df相交于點(diǎn)p，當(dāng)ap為最小值時(shí)，dg=_解析：由af=2gd，ad=2de，得afddge.如下圖gedf, 那么線段ap中，a點(diǎn)為定點(diǎn)，p為動(dòng)點(diǎn)，由dpe為直角，所以p的軌跡為一以de中點(diǎn)為圓心的一段弧。如下圖由一箭穿心可得到ap的最小值為a,p,m三點(diǎn)共線，而此時(shí)，由dmpfap可得到ap=af即可得到結(jié)果.三、模考分析【廬陽二模第10題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，a(6,0),b(0,8),點(diǎn)c在y軸正半軸上，點(diǎn)d在x的正半軸上，且cd=6，以cd為直

7、徑在第一象限作半圓，交線段ab于點(diǎn)e、f，則線段ef的最大值為_如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，a(6,0),b(0,8),點(diǎn)c在y軸正半軸上，點(diǎn)d在x的正半軸上，且cd=6，以cd為直徑在第一象限作半圓，交線段ab于點(diǎn)e、f，則線段ef的最大值為_解析：線段ef由于半圓的變化而變化，所以應(yīng)將其作為弦的變化來看，而弦長(zhǎng)又與弦心距存在變量之間的關(guān)系，所以首先作出弦心距.如下動(dòng)圖，所以當(dāng)pq最小時(shí)，ef最大。方法一：穿心小垂（p點(diǎn)為以o點(diǎn)圓心，op為半徑的弧上）求出oq的最值，即pq的最小值，再由勾股定理和垂徑定理可求得ef.方法二：三邊+小垂（三角形opq）求出oq的最值解析：由拋物線解析式可求出點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為，所以oap=30°，如下圖【瑤海二模第10題】如圖，矩形abcd中，ab=2,ad=3,點(diǎn)e,f分別為ad,dc邊上的點(diǎn)，且ef=2,點(diǎn)g為ef的中點(diǎn)，點(diǎn)p為bc上一動(dòng)點(diǎn).則pa+pg的最小值為（ ） 5 解析：因?yàn)間為ef的中點(diǎn)，ef=2，所以點(diǎn)g的軌跡為以d為圓心dg為半徑的弧， 【飲馬+穿心】即a，p，g，d四點(diǎn)共線時(shí)，pa+pg最?。╬a+pg=pa+pg+dg）