導(dǎo)數(shù)難題歸類(共42頁)

1、 導(dǎo)數(shù)難題歸類1 導(dǎo)數(shù)中與零點相關(guān)問題1.已知函數(shù) ().（）求函數(shù)的最大值；（）如果關(guān)于的方程有兩解，寫出的取值范圍（只需寫出結(jié)論）；2已知函數(shù)，（） 當時，求函數(shù)的最小值；（） 當時，討論函數(shù)的零點個數(shù).3.（本小題共13分）已知函數(shù).（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）如果函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（）當時，討論函數(shù)零點的個數(shù) 4. 已知函數(shù). （）求曲線在點處的切線方程；（）設(shè)，若函數(shù)在上(這里）恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.5.已知函數(shù).（）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（）當時，求證：；（）問集合（且為常數(shù)）的元素有多少個？（只需寫出結(jié)論）6.（本小題共13分）

2、設(shè)函數(shù).（）當時，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.2 利用二階導(dǎo)數(shù)解決問題1.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求證：在上為增函數(shù)；（）若在區(qū)間上有且只有一個極值點，求的取值范圍2.（本小題共13分）設(shè)函數(shù)f（x）=xeax+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y=（e1）x+4，（）求a，b的值；（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間3 導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)三角函數(shù)如何解決1已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：當時，；（）若對恒成立，求實數(shù)的最大值2.已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.（）若曲

3、線y=f(x)在點(a,f(a)處與直線y=b相切，求a與b的值。（）若曲線y=f(x)與直線y=b 有兩個不同的交點，求b的取值范圍。4 注意利用上一問結(jié)論去解決問題1（本小題滿分13 分）已知函數(shù)f (x) ln x1，（）求函數(shù) f (x)的最小值；（）求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；（）求證：直線 yx不是曲線 y g(x)的切線。2.（本小題共14分）設(shè)函數(shù)，（）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（）當時，恒成立，求的取值范圍；（）求證：當時，5 導(dǎo)數(shù)中求最值問題1.已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且時有極小值 （）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（）若不等式（為正整數(shù)）對任意正實數(shù)恒成立，求的最大值（解答過程可參考使用以下數(shù)

4、據(jù)：）2.已知函數(shù)（I）若函數(shù)在處的切線垂直于軸，求實數(shù)a的值； (II) 在（I）的條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (III) 若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.3.（本小題共14分）已知函數(shù)，.（）若在處與直線相切，求，的值；（）在（）的條件下，求在上的最大值；（）若不等式對所有的，都成立，求的取值范圍. 4已知函數(shù)，其中a R 當 時，求 f (x)的單調(diào)區(qū)間； 當a 0時，證明：存在實數(shù)m 0，使得對于任意的實數(shù)x，都有 f (x)m成立5.已知函數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：；（）若在區(qū)間上恒成立，求的最小值. 6已知函數(shù)（）求函數(shù)的極值；（）證明：當時，；（）當時，方程無解，求

5、的取值范圍7.（本小題滿分14分）已知函數(shù). （）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；()若曲線存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)的取值范圍.(只需直接寫出結(jié)果)8（本小題共14分）已知，（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當時，求證：對于，恒成立；（）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍9 （本小題滿分13分）已知函數(shù)，（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，若曲線上的點都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求的取值范圍6 導(dǎo)數(shù)中結(jié)合韋達定理1已知函數(shù)（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若在區(qū)間(1,2)上存在不相等的實數(shù)成立，求的取值范圍；（）若函數(shù)有兩個不同的極值點，求

6、證：2.（本小題共14分）已知函數(shù) ,，（，為常數(shù)）（）若在處的切線過點，求的值；（）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍；（）令，若函數(shù)存在極值，且所有極值之和大于，求實數(shù)的取值范圍7 導(dǎo)數(shù)幾何意義融入大題中1.（本小題共13分） 已知函數(shù)（）求函數(shù)的極小值；（）過點能否存在曲線的切線，請說明理由2.（本小題共14分）已知是函數(shù)的一個極值點（）求實數(shù)的值；（）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)，試問過點，可作多少條直線與曲線相切？請說明理由3.HD（本小題滿分14分）已知函數(shù). （）求函數(shù)的零點及單調(diào)區(qū)間；（）求證：曲線存在斜率為6的切線，且切點的縱坐標. 導(dǎo)數(shù)難題歸類答案一導(dǎo)

7、數(shù)中與零點相關(guān)問題1.（本小題共13分）解：（）函數(shù)的定義域為 因為，所以 因為，所以當時， 當時，在上單調(diào)遞增；當 時，在上單調(diào)遞減 所以當時， （）當時，方程有兩解 2. （本小題滿分13分）解：（）函數(shù)的定義域為.當時，.由解得；由解得.所以在區(qū)間單調(diào)遞減, 在區(qū)間單調(diào)遞增.所以時,函數(shù)取得最小值. .5分（）,.（1）當時，時,為減函數(shù);時，為增函數(shù).所以在時取得最小值.（）當時，由于，令，則在上有一個零點；（）當時，即時，有一個零點；（）當時，即時，無零點.（）當時，即時， 由于（從右側(cè)趨近0）時，；時，所以有兩個零點.(2)當時，時,為增函數(shù);時，為減函數(shù)；時，為增函數(shù).所以在處取

8、極大值，在處取極小值.當時，,即在時，.而在時為增函數(shù)，且時，所以此時有一個零點.(3)當時，在上恒成立，所以為增函數(shù).且（從右側(cè)趨近0）時，；時，.所以有一個零點.綜上所述，或時有一個零點；時，無零點；3.解：（）當時，所以，所以切線方程為 （）因為在上單調(diào)遞減，等價于在恒成立， 變形得 恒成立，而（當且僅當，即時，等號成立） 所以 （）令，得極小值所以= （）當時，所以在定義域內(nèi)無零點；（）當時，所以在定義域內(nèi)有唯一的零點；（）當時， 因為，所以在增區(qū)間內(nèi)有唯一零點； ，設(shè)，則，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在減區(qū)間內(nèi)有唯一的零點所以時在定義域內(nèi)有兩個零點綜上所述：當時，在定義

9、域內(nèi)無零點；當時，在定義域內(nèi)有唯一的零點；當時，在定義域內(nèi)有兩個零點4. 解：（）函數(shù)定義域為 【1分】， 【2分】又，所求切線方程為，即 【5分】（）函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，等價于在上恰有兩個不同的實根， 【8分】等價于在上恰有兩個不同的實根，令則當時，在遞減； 當時，在遞增.故，又. 【11分】，即 5.）解：. 因為 切線過原點，所以 . 分解得：. （）證明：設(shè)，則. 令，解得. 在上變化時，的變化情況如下表-+ 所以 當時，取得最小值. 所以 當時，即. （）解：當時，集合的元素個數(shù)為0； 當時，集合的元素個數(shù)為1；當時，集合的元素個數(shù)為2；當時，集合的元素個數(shù)為3. 6.（本小

10、題共13分） 解：（）當時，-2分 與、之間的關(guān)系如下表：1+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極大值點，所以這個極值點也是最大值點，-4分最大值. （）（1）當時，顯然在區(qū)間內(nèi)沒有兩個零點，不合題意. (2)當時，. 當且時，函數(shù)區(qū)間上是增函數(shù)，所以函數(shù) 區(qū)間上不可能有兩個零點，所以不合題意； 當時，在區(qū)間上與、之間的關(guān)系如下表：+0-增函數(shù)極大值減函數(shù) 則，所以，化簡. 因為， , 所以.綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點.二 二階導(dǎo)數(shù)解決問題1.（本小題滿分13分）解：函數(shù)定義域為，.（）當時，.所以.所以曲線在點處的切線方程是，即. （） 當時，.設(shè)，則.令得，或，注意到，

11、所以.令得，注意到，得.所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以函數(shù)在時取得最小值，且.所以在上恒大于零.于是，當，恒成立.所以當時，函數(shù)在上為增函數(shù). （）問另一方法提示：當時，.由于在上成立，即可證明函數(shù)在上為增函數(shù).（）（）. 設(shè)，.(1) 當時，在上恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù).而，則函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，使,且在上，在上，故為函數(shù)在區(qū)間上唯一的極小值點;（2）當時，當時，成立，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又此時，所以函數(shù)在區(qū)間恒成立，即，故函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無極值；（3）當時，.當時，總有成立，即成立，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無極值.綜上所述.

12、13分2.【解答】解：（）y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y=（e1）x+4，當x=2時，y=2（e1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同時f（2）=e1，f（x）=xeax+bx，f（x）=eaxxeax+b，則，即a=2，b=e；（）a=2，b=e；f（x）=xe2x+ex，f（x）=e2xxe2x+e=（1x）e2x+e，f（x）=e2x（1x）e2x=（x2）e2x，由f（x）0得x2，由f（x）0得x2，即當x=2時，f（x）取得極小值f（2）=（12）e22+e=e10，f（x）0恒成立，即函數(shù)f（x）是增函數(shù)，即f（x）的單調(diào)區(qū)間是（，+）三導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)三角函數(shù)如

13、何解決1SJS（本小題共13分）解：1分（），所以切線方程為3分（）令，則，4分 當時，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，即，所以6分 所以在上單調(diào)遞減，所以，7分 所以8分（）原題等價于對恒成立，即對恒成立，9分令，則10分 易知，即在單調(diào)遞增，所以，所以，11分故在單調(diào)遞減，所以綜上所述，的最大值為2：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因為曲線yf(x)在點(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)與f(x)的情況如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f

14、(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(0)1是f(x)的最小值當b1時，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個交點；當b1時，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，所以存在x1(2b,0)，x2(0,2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)和(0，)上均單調(diào)，所以當b1時曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個不同交點綜上可知，如果曲線yf(x)與直線yb有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，)四注意利用上一問結(jié)論去解決問題1.HD解: （）函數(shù)的定義域為，當變化時，的變化情況如下表：函數(shù)在上的極小值為， 所以的最小值為 （）

15、解：函數(shù)的定義域為， 由（）得，所以所以的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間. （）證明：假設(shè)直線是曲線的切線. 設(shè)切點為，則，即 又，則. 所以, 得，與 矛盾 所以假設(shè)不成立，直線不是曲線的切線2.DC（共14分）+解：（）當時，則，則.令得所以 當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時， 4分（）因為，所以恒成立，等價于恒成立設(shè)，得，當時，所以在上單調(diào)遞減，所以時，因為恒成立，所以 （）當時，等價于設(shè)，求導(dǎo)，得由（）可知，時， 恒成立所以時，有所以 所以在上單調(diào)遞增，當時，因此當時， 五。利用導(dǎo)求最值1.（）由，因為函數(shù)在時有極小值，所以，從而得， 所求的，所以，由解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為

16、. （）因為，所以等價于，即， 記，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以， 對任意正實數(shù)恒成立，等價于，即. 分記，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以的最大值為 2.（本小題滿分13分）解：（I）定義域為 依題意，.所以，解得 （II）時，定義域為， 當或時,， 當時，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.-8分（III）解法一：由，得在時恒成立，令，則 令，則在為增函數(shù)， .故，故在為增函數(shù). ，所以 ，即實數(shù)的取值范圍為. 13（3.）解：（）.由函數(shù)在處與直線相切，得即解得 （）由（）得，定義域為此時.令，解得，令，得所以在（，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為

17、（）若不等式對所有的，都成立， 即對所有的，都成立，即對所有的，都成立， 即對恒成立即對恒成立，即大于或等于在區(qū)間上的最大值令，則，當時，單調(diào)遞增，所以，的最大值為即所以的取值范圍是 4（本小題滿分13分）（）解：當時，函數(shù)， 求導(dǎo)，得， 因為， 所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（）證明：當時，的定義域為. 求導(dǎo)，得， 令，解得， 當變化時，與的變化情況如下表：+00+ 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 又因為，當時，；當時， 所以當時，；當時，. 記，其中為兩數(shù)， 中最大的數(shù)， 綜上，當時，存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，不等式 恒成立. 5.FT解：（）設(shè)切線的斜率為 因為，切點為.

18、切線方程為，化簡得：.-4分（）要證： 只需證明：在恒成立， 當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時在恒成立所以.-10分（）要使：在區(qū)間在恒成立， 等價于：在恒成立， 等價于：在恒成立因為=當時，不滿足題意當時，令，則或（舍）.所以時，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增；當時當時，滿足題意 所以，得到的最小值為 6SJSW（本小題共14分）解：（），令解得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，有極小值.4分（）令，則，.5分由（）知，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（）方程，整理得，當時， 令，則，.10分令，解得，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，有最小值，.12分而當越來越靠近

19、時，的值越來越大，又當，方程無解，所以.14分7.解: （）函數(shù)的定義域為.當時，2分當變化時，的變化情況如下表：極大值極小值4分函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 5分（）解：因為在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上的最小值小于等于. 因為, 令,得. 6分當時，即時，因為對成立，所以在上單調(diào)遞增，此時在上的最小值為所以，解得，所以此種情形不成立，8分當，即時，若, 則對成立，所以在上單調(diào)遞增，此時在上的最小值為所以，解得，所以 . 9分若，若，則對成立，對成立.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時在上的最小值為所以有，解得，10分當時，注意到,而，此時結(jié)論成立. 11分綜上，的取值范圍是.

20、12分法二：因為在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上的最小值小于等于，當時，顯然，而成立，8分當時,對成立，所以在上單調(diào)遞增，此時在上的最小值為，所以有，解得，所以.11分綜上，.12分（）的取值范圍是.14分8.（本小題共14分）解：（） ,當時，所以 .解得 .當時, 解得 .所以 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.-4分（） 設(shè),當時，由題意，當時，恒成立., 當時，恒成立，單調(diào)遞減又, 當時，恒成立，即. 對于，恒成立. -8分（） 因為 .由(II)知，當k = 2時，f (x) < g (x)恒成立，即對于"x > 1，2 ln (x + 2) (x + 1)2 < 2

21、 (x + 1)，不存在滿足條件的x0；當k > 2時，對于"x > 1，x + 1 > 0，此時2 (x + 1) < k (x + 1). 2 ln (x + 2) (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1)，即f (x) < g (x)恒成立，不存在滿足條件的x0；當k < 2時，令t (x) = 2x2 (k + 6)x (2k + 2)，可知t (x)與h ¢ (x)符號相同, 當x Î (x0 , +¥)時，t (x) < 0，h ¢ (x) < 0，

22、h (x)單調(diào)遞減 當x Î (1 , x0)時，h (x) > h (1) = 0，即f (x) g (x) > 0恒成立綜上，k的取值范圍為(¥ , 2) 9（本小題滿分13分）解：（）當時, ， 則，而 所以曲線在點(1,)處的切線方程為，即 4分（）依題意當時，曲線上的點都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，等價于當時，恒成立 設(shè)，所以（1）當，即時，當時，為單調(diào)減函數(shù)，所以 依題意應(yīng)有解得所以（2）若 ，即時，當，為單調(diào)增函 數(shù)， 當，為單調(diào)減函數(shù) 由于，所以不合題意 （3）當，即時，注意到，顯然不合題意 綜上所述， 六導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)韋達定理1（本小題共14分）解：（）當時，由，解得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（）依題意即求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍，設(shè)，則，因為在上為增函數(shù)當，即當時，函數(shù)在上有且只有一個零點，設(shè)為，當時，即，為減函數(shù)；當時，即，為增函數(shù)，滿足在上不為單調(diào)函數(shù)當時，所以在上成立（因在上為增函數(shù)），所以在上成立，即在上為增函數(shù)，不合題意同理時，可判斷在為減函數(shù)，不合題意綜上（）因為函數(shù)有兩個不同的零點，即有兩個不同的零點，即方程的判別式，解