2022年函數(shù)的極值與導數(shù)的教案

1、4.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)（2 課時）教學目標：1. 理解極大值、極小值的概念；2. 能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；3. 掌握求可導函數(shù)的極值的步驟；教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數(shù)的極值的步驟.教學過程：一創(chuàng)設情景觀察圖 3.3-8 ， 我們發(fā)現(xiàn)，ta時，高臺跳水運動員距水面高度最大那么，函數(shù)( )h t在此點的導數(shù)是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應地，導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？放大ta附近函數(shù)( )h t的圖像， 如圖 3.3-9 可以看出( )h a；在ta，當ta時，函數(shù)( )

2、h t單調遞增，( )0h t；當ta時，函數(shù)( )h t單調遞減，( )0h t；這就說明，在ta附近，函數(shù)值先增（ta，( )0h t）后減（ta，( )0h t） 這樣，當t在a的附近從小到大經(jīng)過a時，( )h t先正后負，且( )h t連續(xù)變化，于是有( )0h a對于一般的函數(shù)yfx，是否也有這樣的性質呢？附：對極大、極小值概念的理解，可以結合圖象進行說明. 并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法. 判斷極值點的關鍵是這點兩側的導數(shù)異號二新課講授1 問 題 ： 圖3.3-1 （ 1 ）， 它 表 示 跳 水 運 動 中 高 度

3、h隨 時 間t變 化 的 函 數(shù)2( )4. 96. 51 0h ttt的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)( )( )9.86.5v th tt的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即( )h t是增函數(shù)相應地，( )( )0v th t（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少，即( )h t是減函數(shù)相應地，( )( )0v th t2函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負

4、的關系如圖3.3-3，導數(shù)0()fx表示函數(shù)( )f x在點00(,)xy處的切線的斜率在0 xx處，0()0fx，切線是“左下右上” 式的，這時，函數(shù)( )f x在0 x附近單調遞增； 在1xx處，0()0fx，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)( )fx在1x附近單調遞減結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系在某個區(qū)間( , )a b內，如果( )0fx，那么函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間內單調遞增；如果( )0fx，那么函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間內單調遞減說明：（1）特別的，如果( )0fx，那么函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間內是常函數(shù)3求解函數(shù)( )yfx單調區(qū)間的步驟：（ 1）確定函數(shù)( )y

5、f x的定義域；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -（ 2）求導數(shù)( )yfx；（ 3）解不等式( )0fx，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（ 4）解不等式( )0fx，解集在定義域內的部分為減區(qū)間三典例分析例 1 （課本例4）求31443fxxx的極值解： 因為31443fxxx，所以24(2)(2)fxxxx。0,2,2fxxx下面分兩種情況討論：（1）當fx0,即2x，或2x時；（2）當fx)(1xf（）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大

6、值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點4. 判別 f(x0)是極大、極小值的方法: 若0 x滿足0)(0 xf，且在0 x的兩側)(xf的導數(shù)異號，則0 x是)(xf的極值點，)(0 xf是極值，并且如果)(xf在0 x兩側滿足“左正右負”，則0 x是)(xf的極大值點，)(0 xf是極大值；如果)(xf在0 x兩側滿足“左負右正” ， 則0 x是)(xf的極小值點，)(0 xf是極小值5. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟 : (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f(x)(2)求方程 f(x)=0 的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0 的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查

7、 f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負， 那么 f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么 f(x)在這個根處無極值如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點四、鞏固練習：1求下列函數(shù)的極值. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解： y=(x27x+6)=2x7 令 y=0，解得 x=27. 當 x 變化時， y， y 的變化情況如

8、下表. x7,2727,2y0 + y極小值254當 x=27時， y 有極小值，且y極小值=425. (2)解： y=(x327x) =3x227=3(x+3)(x 3) 令 y=0，解得 x1=3，x2=3. 當 x 變化時， y， y 的變化情況如下表. x, 3-3 (-3,3) 3 3,y+ 0 0 + y極大值 54 極小值 -54 當 x=3 時， y 有極大值，且y極大值=54. 當 x=3 時， y 有極小值，且y極小值=54五、教學反思：函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導函數(shù)f(x)的極值的三個步驟 .還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在整個

9、定義區(qū)間可能有多個極值，且要在這點處連續(xù).可導函數(shù)極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為零的點不一定是極值點，要看這點兩側的導數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導點可能是極值點六、課后作業(yè)：書本 p 34 3 . 4 . 5 七板書設計課后反思：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - - 4.3.3 函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)（2 課時）教學目標：使學 生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可 導函 數(shù))(xf在 閉區(qū)間ba,上所有點（包括端點ba,）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；使學生掌握用導數(shù)求函

10、數(shù)的極值及最值的方法和步驟教學重點：利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法教學難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系教學過程：一創(chuàng)設情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質，而不是函數(shù)在整個定義域內的性質也就是說，如果0 x是函數(shù)yfx的極大（小）值點，那么在點0 x附近找不到比0fx更大（?。┑闹档?，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質時，我們更關心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最小如果0 x是函數(shù)的最大（?。┲?，那么0fx不?。ù螅┯诤瘮?shù)yfx在相應區(qū)間上的所有函數(shù)值二新課講授觀察圖中一個定義在閉區(qū)間ba,上的函數(shù))(xf的圖象圖中)(1xf與3()f x

11、是極小值，2()f x是極大值函數(shù))(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()f x1 結 論：一般 地， 在 閉 區(qū) 間ba,上 函 數(shù)( )yf x的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)( )yfx在ba,上必有最大值與最小值說明：如果在某一區(qū)間上函數(shù)( )yf x的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)( )yf x在這個區(qū)間上連續(xù) （可以不給學生講）給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間( , )a b內連續(xù)的函數(shù))(xf不一定有最大值與最小值如函數(shù)xxf1)(在),0(內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，函數(shù))(xf在閉區(qū)間ba,上連續(xù)，是)

12、(xf在閉區(qū)間ba,上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件 （可以不給學生講）2 “最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也x3x2x1baxoy精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -可能沒有一個極值只能在定義域內部取得，而最值可以在

13、區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值3利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù))(xf的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了一般地，求函數(shù))(xf在ba,上的最大值與最小值的步驟如下：求)(xf在( , )a b內的極值；將)(xf的各極值與端點處的函數(shù)值)(af、)(bf比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù))(xf在ba,上的最值三典例分析例 1 （課本例 5）求31443fxxx在0, 3的最大值與最小值解： 由例4 可知，在0, 3上，當2x時，(

14、 )f x有極小值，并且極小值為4(2)3f，又由于04f，31f因此，函數(shù)31443fxxx在0, 3的最大值是4，最小值是43上述結論可以從函數(shù)31443fxxx在0, 3上的圖象得到直觀驗證例 2求函數(shù)5224xxy在區(qū)間2, 2上的最大值與最小值解：先求導數(shù)，得xxy443/令/y 0 即0443xx解得1, 0, 1321xxx導數(shù)/y的正負以及)2(f，)2(f如下表x -2 （ -2,-1）-1 （ -1,0 ）0 （ 0,1 ）1 （ 1,2 ）2 y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13 從上表知，當2x時，函數(shù)有最大值13，當1x時，函數(shù)有最小值4例 3已知23( )l

15、ogxaxbf xx,x(0,+ ). 是否存在實數(shù)ab、, 使)(xf同時滿足下列兩個條件： （1）)(xf) 在（0，1）上是減函數(shù)， 在1，+) 上是增函數(shù)；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，說明理由. 解：設 g(x)=xbaxx2f(x)在（ 0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)g(x)在（ 0，1）上是減函數(shù)，在1， +)上是增函數(shù) . 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -y=x4-2x2+512108642-4-242xoy3)1 (0) 1

16、( gg3101bab解得11ba經(jīng)檢驗， a=1,b=1 時， f(x)滿足題設的兩個條件. 四課堂練習1下列說法正確的是( ) a.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值b.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值c.函數(shù)的最值一定是極值d.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 a,b上的最大值是m，最小值是m,若 m=m,則 f(x)( ) a.等于 0 b.大于 0 c.小于 0 d.以上都有可能3函數(shù) y=234213141xxx，在 1，1上的最小值為( ) a.0 b.2 c. 1 d.12134求函數(shù)5224xxy在區(qū)間2 ,2上的最大值與最小值5課本練習五回顧總結1函數(shù)在閉區(qū)

17、間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；2函數(shù))(xf在閉區(qū)間ba,上連續(xù)，是)(xf在閉區(qū)間ba,上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3閉區(qū)間ba,上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間),(ba內的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值4利用導數(shù)求函數(shù)的最值方法六布置作業(yè)七 板書設計課后反思：1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例（2課時）教學目標：1 使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用2 提高將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力教學重點 ：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題教學難點 ：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問

18、題教學過程 ：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -建立數(shù)學模型一創(chuàng)設情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題 通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題二新課講授導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關的最值問題；2、與物理學有關的最值問題；3、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要

19、分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：三典例分析例 1飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是20.8 r分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 ml 的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的

20、瓶子的最大半徑為 6cm 問題： （）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是332240.20.80.8,0633ryf rrrrr令20.8 (2 )0frrr解得2r（0r舍去）當0, 2r時，0fr；當2, 6r時，0fr當半徑2r時，0fr它表示fr單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑2r時，0fr它表示fr單調遞減，即半徑越大，利潤越低（1）半徑為2cm 時，利潤最小，這時20f，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值（2）半徑為6cm 時，利潤最大解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學

21、問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當3r時，30f，即瓶子的半徑為3cm 時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當3r時，利潤才為正值當0, 2r時，0fr，fr為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為2cm 時，利潤最小例 2汽油的使用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量w（單位： l）與汽車的速度v（單位： km/h

22、）之間有一定的關系， 汽油的消耗量w是汽車速度v的函數(shù) 根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含義是什么？分析： 研究汽油的使用效率（單位：l/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用g表示每千米平均的汽油消耗量，那么wgs，其中，w表示汽油消耗量 （單位：l） ，s表示汽油行駛的路程（單位： km） 這樣， 求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求g的最小值的問題通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率g（即每小時的汽油消耗量，單位：l/h ）與汽車行駛的平均速度v

23、（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關系gfv從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題因此，我們首先需要將問題轉化為汽油平均消耗率g（即每小時的汽油消耗量，單位：l/h ）與汽車行駛的平均速度v（單位：km/h）之間關系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題解：因為wwgtgssvt這樣，問題就轉化為求gv的最小值從圖象上看，gv表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率進一步發(fā)現(xiàn)，當直線與曲線相切時，其斜率最小在此切點處速度約為90/km h因此，當汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90/km h 從數(shù)值上看， 每千米的耗油量

24、就是圖中切線的斜率，即90f，約為 l例 3在邊長為60 cm 的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起( 如圖 )，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？_ x_ x_ 60_ 60 x x 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -解法一 ：設箱底邊長為xcm ，則箱高602xhcm，得箱子容積260)(322xxhxxv)600(x23( )602xvxx)600(x令23( )602xvxx0，解得 x=0 （舍去），x=40，

25、并求得 v(40)=16 000 由題意可知， 當 x 過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此， 16 000是最大值答：當 x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二 ：設箱高為xcm，則箱底長為 (60-2x)cm，則得箱子容積xxxv2)260()()300(x （后面同解法一，略）由題意可知， 當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處事實上， 可導函數(shù)260)(322xxhxxv、xxxv2)260()(在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例 4圓柱形

26、金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最省？解：設圓柱的高為h，底半徑為r，則表面積s=2rh+2r2由 v= r2h，得2vhr，則s(r)= 2 r2vr+ 2 r2=2vr+2r2令22()vs rr+4 r=0 解得， r=32v，從而 h=2vr=23()2vv=34v=23v即 h=2r 因為 s(r)只有一個極值，所以它是最小值答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式： 當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值s時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最省？x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060精品學習資料 可選擇p d f - -

27、- - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -提示：s=2rh+22 rh=rrs222v(r)=rrs222r2=3221)2(21rsrrrs)( rv)=026 rsrhrrhr222622例 5在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x 單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)同，記為c(x)，出售 x 單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為r(x)，r(x)c(x) 稱為利潤函數(shù)，記為p(x)。（1） 、如果 c(x)10005003.010236xxx，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際)(xc最低？ (邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量) （2） 、如果

28、c(x)=50 x 10000，產(chǎn)品的單價p1000.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？變式： 已知某商品生產(chǎn)成本c與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為c=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為qp8125求產(chǎn)量q為何值時，利潤l最大？分析：利潤l等于收入r減去成本c，而收入r等于產(chǎn)量乘價格由此可得出利潤l與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式，再用導數(shù)求最大利潤解：收入211252588rq pqqqq，利潤221125(1004 )2110088lrcqqqqq(0100)q1214lq令0l，即12104q，求得唯一的極值點84q答：產(chǎn)量為84 時，利潤l 最大例 6一條水渠， 斷面為等腰梯形， 如圖所示， 在確定斷面尺寸時，希望在斷面abcd的面積為定值s時，使得濕周l=ab+bc+cd 最小， 這樣可使水流阻力小，滲透少，求此