煤企對口單招數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大綱

1、河南煤企對口單招 練習(xí)題1.如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦；（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離2.如圖，在組合體中，是一個長方體，是一個四棱錐，點(diǎn)且第2題圖（）證明：；（）若，當(dāng)為何值時，3.在正三角形ABC中，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足（如圖1）. 將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1C. （如圖2）（1）求證：A1E平面BEC； （2）求四棱錐 A1BCFE的體積。（3）在BE上是否存在一點(diǎn)M，使CM平面BEA1若存在指出M點(diǎn)位置，不存在說明理由。4.如圖，正三

2、棱柱中，、分別是側(cè)棱、上的點(diǎn)，且使得折線的長最短（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值4.如圖，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，為上的點(diǎn)，且BF平面ACE（1）求證：AEBE；（2）求三棱錐DAEC的體積；BCADEFM（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN平面DAE. 5.若關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個根，一個根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，記點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)域為（1）設(shè)，求的取值范圍；（2）過點(diǎn)的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過區(qū)域，求反射光線所在直線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）時直線的方程6.在平面直角坐標(biāo)系中 ，已知以

3、為圓心的圓與直線：，恒有公共點(diǎn)，且要求使圓的面積最小.（1）寫出圓的方程；（2）圓與軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動點(diǎn)P使、成等比數(shù)列，求 的范圍；（3）已知定點(diǎn)Q（，3），直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，試判斷 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線的方程，若不存在，給出理由.7.已知圓：，設(shè)點(diǎn)是直線：上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為（1）若，求直線的方程；（2）經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心是，求線段長的最小值8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線，切點(diǎn)為，且的最小值不小于為（1）求橢圓的離心率的取值范圍；F2 T O P y x （

4、2）設(shè)橢圓的短半軸長為，圓與軸的右交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線被圓截得的弦長的最大值9.如圖所示，F(xiàn)1、F2是雙曲線x2 y2 = 1的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y = kx + b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)（）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；（）當(dāng)，且滿足2m4時，求AOB面積的取值范圍10.點(diǎn)，圓：與橢圓：有一個公共點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與圓相切（）求的值與橢圓的方程；（）設(shè)為橢圓上的一個動點(diǎn)，求的取值范圍11.已知圓為ABC的內(nèi)切園，且BC中點(diǎn)為（1，-1），BCx軸。求ABC頂點(diǎn)A的軌跡方程。求|BC|的范圍。

5、試問ABC的面積是否存在最小值？請證明你的判斷1.如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦；（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離2.如圖，在組合體中，是一個長方體，是一個四棱錐，點(diǎn)且第2題圖（）證明：；（）若，當(dāng)為何值時，()證明：因為，所以為等腰直角三角形，所以因為是一個長方體，所以，而，所以，所以 因為垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，由線面垂直的判定定理，可得()解：當(dāng)時， 當(dāng)時，四邊形是一個正方形，所以，而，所以，所以而，與在同一個平面內(nèi)，所以而，所以，所以 3.在正三角形ABC中，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足（

6、如圖1）. 將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1C. （如圖2）（1）求證：A1E平面BEC； （2）求四棱錐 A1BCFE的體積。（3）在BE上是否存在一點(diǎn)M，使CM平面BEA1若存在指出M點(diǎn)位置，不存在說明理由。解 不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則（1）在圖1中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則 ,而，在圖2中有,為二面角的平面角二面角為直二面角,又,平面.4.如圖，正三棱柱中，、分別是側(cè)棱、上的點(diǎn)，且使得折線的長最短（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值解：（1）正三棱柱中，將側(cè)面展開后，得到一個由三個正方形拼接而成的矩形（如圖），從而，折線的長最短，當(dāng)

7、且僅當(dāng)、四點(diǎn)共線，、分別是、上的三等分點(diǎn)，其中 （注：直接正確指出點(diǎn)、的位置，不扣分）連結(jié)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、由正三棱柱的性質(zhì)，平面平面，而，平面，平面平面，平面 又由（1）知，四邊形是平行四邊形，從而平面而平面，平面平面 （2）（法一）由（2），同理可證，平面平面而平面，平面平面，即為在平面上的射影，從而是直線與平面所成的角 在中，由余弦定理，即直線與平面所成角的余弦值為 5.如圖，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，為上的點(diǎn)，且BF平面ACE（1）求證：AEBE；（2）求三棱錐DAEC的體積；BCADEFM（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)

8、N，使得MN平面DAE.（1）證明：， ，則 又，則 又 (2)×× （3）在三角形ABE中過M點(diǎn)作MGAE交BE于G點(diǎn),在三角形BEC中過G點(diǎn)作GNBC交EC于N點(diǎn),連MN,則由比例關(guān)系易得CN MGAE MG平面ADE, AE平面ADE,MG平面ADE同理, GN平面ADE 平面MGN平面ADE又MN平面MGN MN平面ADE N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個三等分點(diǎn) 6.若關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個根，一個根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，記點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)域為（1）設(shè)，求的取值范圍；（2）過點(diǎn)的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過區(qū)域，求反射光線所在直線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)

9、）時直線的方程解：方程的兩根在區(qū)間和上的幾何意義是：函數(shù)與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間和內(nèi)，由此可得不等式組a b A(-4, 3) B C O ，即，則在坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分所示，易得圖中三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， （1）令，則直線經(jīng)過點(diǎn)時取得最小值，經(jīng)過點(diǎn)時取得最大值，即，又三點(diǎn)的值沒有取到，所以 （2）過點(diǎn)的光線經(jīng)軸反射后的光線必過點(diǎn)，由圖可知可能滿足條件的整點(diǎn)為，再結(jié)合不等式知點(diǎn)符合條件，所以此時直線方程為：，即 7.在平面直角坐標(biāo)系中 ，已知以為圓心的圓與直線：，恒有公共點(diǎn)，且要求使圓的面積最小.（1）寫出圓的方程；（2）圓與軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動點(diǎn)P使、成等比數(shù)列，求

10、 的范圍；（3）已知定點(diǎn)Q（，3），直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，試判斷 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線的方程，若不存在，給出理由.解：（1）因為直線：過定點(diǎn)T（4，3）由題意，要使圓的面積最小, 定點(diǎn)T（4，3）在圓上，所以圓的方程為； （2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)，則（1），由成等比數(shù)列得，即，整理得：,即（2）由（1）（2）得：，（3） ， 由題意，得直線與圓O的一個交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（，3），直線：，則當(dāng)時有最大值32. 即有最大值為32，此時直線的方程為. 8.已知圓：，設(shè)點(diǎn)是直線：上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為（1）

11、若，求直線的方程；（2）經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心是，求線段長的最小值 解：（1）設(shè)解得或（舍去）由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k所以直線PA的方程為，即直線PA與圓M相切，解得或直線PA的方程是或（2）設(shè)與圓M相切于點(diǎn)A，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn)的坐標(biāo)是設(shè)當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，當(dāng)，即時則9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線，切點(diǎn)為，且的最小值不小于為（1）求橢圓的離心率的取值范圍；F2 T O P y x （2）設(shè)橢圓的短半軸長為，圓與軸的右交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線被圓截得的弦長的最大值解：（1）依題意設(shè)切線長

12、當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值時取得最小值，而，從而解得，故離心率的取值范圍是；（2）依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為， 聯(lián)立方程組 得，設(shè)，則有，代入直線方程得，又，直線的方程為，圓心到直線的距離，由圖象可知，所以10.如圖所示，F(xiàn)1、F2是雙曲線x2 y2 = 1的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y = kx + b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)（）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；（）當(dāng)，且滿足2m4時，求AOB面積的取值范圍.解（）因為圓O的方程為x2 + y2 = 2，所以d =，可得b2 = 2(k2 + 1)(k±1)（）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y

13、2)，由，所以，所以=，因為|AB| =×=，O到AB的距離， 所以=11.點(diǎn)，圓：與橢圓：有一個公共點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與圓相切（）求的值與橢圓的方程；（）設(shè)為橢圓上的一個動點(diǎn)，求的取值范圍解：（）點(diǎn)A代入圓C方程，得m3，m1圓C：設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：，即直線PF1與圓C相切，解得當(dāng)k時，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去當(dāng)k時，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，c4F1（4，0），F(xiàn)2（4，0） 2aAF1AF2，a218，b22橢圓E的方程為： （），設(shè)Q（x，y）， ，即，而，186xy18 則的取值范圍是0，36 的取值范圍是6，6 12.已知圓為ABC的內(nèi)切園，且BC中點(diǎn)為（1，-1），BCx軸。求ABC頂點(diǎn)A的軌跡方程。求|BC|的范圍。試問ABC的面積是否存在最小值？請證明你的判斷解設(shè)A（m,n），過A的園的切線y-n=k(x-m) 即kx-y+n-km=0則，即（m2-1）k2-2mnk+n2-1=0 >0得m2+n2>1 設(shè)此方程兩解k1=kAB k2=kAC 則 另一方面BC：y=-1 由AB：y-n=k1(x-m) AC：y-n=k2(x-m)