2022年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)33：同一法

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，精心整編吐血推薦, 如若有用請(qǐng)打賞支持，感激不盡！初 中數(shù)學(xué)競(jìng)賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（33）同一法一、內(nèi)容提要1. “同一法”是一種間接的證明方法。它是根據(jù)符合“同一法則”的兩個(gè)互逆命題必等效的原理，當(dāng)一個(gè)命題不易證明時(shí)，釆取證明它的逆命題。2. 同一法則的定義是：如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論都是唯一的事項(xiàng)時(shí)，那么它和它的逆命題同時(shí)有效。這稱為同一法則?；ツ鎯蓚€(gè)命題一般是不等價(jià)的。例如原命題：福建是中國(guó)的一個(gè)?。ㄕ婷}）逆命題：中國(guó)的一個(gè)省是福建（假命題）但當(dāng)一命題的題設(shè)和結(jié)論都是唯一的事項(xiàng)時(shí)，則它們是等效的。例如原命題：中國(guó)的首都是北京（真命題）逆命題：北京是中國(guó)的首都（真命題）

2、因?yàn)槭澜缟现挥幸粋€(gè)中國(guó)，而且中國(guó)只有一個(gè)首都，所以互逆的兩個(gè)命題是等效的。又如原命題：等腰三角形頂角平分線是底邊上的高。（真命題）逆命題：等腰三角形底邊上的高是頂角平分線。（真命題）因?yàn)樵诘妊切芜@一前提下，頂角平分線和底邊上的高都是唯一的，所以互逆的兩個(gè)命題是等效的。3. 釆用同一法證明的步驟：如果一個(gè)命題直接證明有困難，而它與逆命題符合同一法則，則可釆用同一法，證明它的逆命題，其步驟是： 作出符合命題結(jié)論的圖形（即假設(shè)命題的結(jié)論成立） 證明這一圖形與命題題設(shè)相同（即證明它符合原題設(shè)）二、例題例1. 求證三角形的三條中線相交于一點(diǎn)已知： abc 中，ad ，be ，cf都是中線求證：ad

3、，be ，cf相交于同一點(diǎn)分析：在證明 ad和 be相交于點(diǎn) g之后，本應(yīng)再證明cf經(jīng)過(guò)點(diǎn) g ，這要證明三點(diǎn)共線，直接證明不易，我們釆用同一法：連結(jié)并延長(zhǎng)cg交 ab于 f，證明 cf，就是第三條中線（即證明af，f，b）證明： dab eba 180ad和 be相交，設(shè)交點(diǎn)為g f,gabcdef精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -連結(jié)并延長(zhǎng) cg交 ab于 f，連結(jié) de交 cf，于 m de ab famefbmdfccm， 即fafbmemdfbmefamdfgmg， 即fb

4、famemdfafbfbfa， af，bf，af，是 bc邊上的中線，bc邊上的中線只有一條，af，和 ad是同一條中線ad ，be ，cf相交于一點(diǎn) g 。例 2. 已知： abc中，d在 bc上，ab2ac2bd2dc2 求證： ad是abc 的高分析：從題設(shè) ab2ac2bd2dc2證明結(jié)論不易，因?yàn)閎c邊上的高是唯一的，所以擬用同一法，先作出 ae bc ，證明在題設(shè)的條件下ae就是 ad 。證明：作 ae bc交 bc于 e a 根據(jù)勾股定理ab2ac2（ae2be2）（ae2ec2）be2ec2 ab2ac2bd2dc2b e d c bd2dc2be2ec2（bd dc ） （b

5、d dc ）（ be ec ） （be ec ）bd dc be ec bd dc be ec ： 2bd 2be 即點(diǎn) d和點(diǎn) e重合，即 ad 是abc的高例 3 如圖已知：四邊形abcd 中， abd adb 15cbd 45 ，cdb 30求證： abc 是等邊三角形證明：在 bc或延長(zhǎng)線上取點(diǎn) e，使 be ab 連結(jié) ae ，de ，則 abe是等邊三角形ae ab ad ，ead 150 60 90 ， ade 4545301515abdce精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - -

6、- -adc 45 ，且 de ，dc在 da的同一側(cè)，de和 dc重合，它們與 bc邊的交點(diǎn) e，c也重合abc 是等邊三角形例 4. 求證：3352521 分析：直接證法，一般是把左邊寫成3333)5252(再化簡(jiǎn)為 1，但沒(méi)有成功。擬用同一法，可認(rèn)為要證明的原命題是：有兩個(gè)數(shù)352，352，它們積是 1，則它們的和是 1 那么逆命題是：若 u+v=1,且 uv=1，則 u=352,v=352證明：設(shè)u+v=1,且 uv=1，根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理（初三教材）得 u,v 是方程 x2x10 的兩個(gè)根x=251, 即 u,v 分別等于251，251而 u3=（251）325，v3=（251）3

7、25u=352,v=352即3352521 例 5. 已知： acd是圓的割線，點(diǎn) b在圓上，且 ab2ac ad 求證： ab是圓的切線證明：過(guò)點(diǎn) b作圓的切線，交 dc于 a1，則cba1d 由已知 ab2ac ad ，則abacacad，aa acb abd cba d ，cba1cba ba和 ba1重合，它們與 dc的交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)即 ab是圓的切線。例 6. 以abc的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，作三個(gè)圓兩兩外切，切點(diǎn)分別是d ，e，f，那么過(guò) d ，e，f的圓是lba1dca精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 6 頁(yè) - -

8、 - - - - - - -abc 的內(nèi)切圓。分析：用同一法證明，作出abc 的內(nèi)切圓，再證明三個(gè)切點(diǎn)和d ，e，f 重合證明：作 abc的內(nèi)切圓和 ab ，bc ，ca分別切于 d，e，f，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得ad，af，2abc，be，bd，2bca，cf，ce，2cba設(shè)a,b，c半徑長(zhǎng)分別為 x,y,z bxzazycyx, 解得， x=2abc,y=2bca,z=2cbaad，ad ，be，be ，cf，cf 即 d，與 d，e，與 e ， f，與 f 重合。abc的內(nèi)切圓和各邊切于d ，e，f 即過(guò) d ，e，f的圓是 abc的內(nèi)切圓。三、練習(xí) 33 1. 用同一法證明： 三角形的中

9、位線平行于第三邊 梯形中位線平行于兩底2. 已知 e是正方形 abcd 內(nèi)的一點(diǎn)， eab eba 15求證 ecd 是等邊三角形3. 已知 abc中，ab ac ，a36 ，在 ac上取點(diǎn) d ，使 ad bc 求證 bd是abc 的平分線4. 如果梯形的一條腰等于兩底和，那么夾這條腰的兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，必是另一腰中點(diǎn)5. abc 中， crt，ac bc ，點(diǎn) d在 ac上，且 cd ab bc 求證 bd平分 abc 6. 正方形 abcd 中，m ，n分別是 cd ，bc的中點(diǎn)， de am于 e，求證點(diǎn) n在 de的延長(zhǎng)線上7. 已知：四邊形 abcd 中，e，f和 gh 分別三

10、等分 ab和 cd ，facbde精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -m和 n分別是 bc ，ad中點(diǎn)，n d 求證：a mn平分 eh和 fg e h mn被 eh ，fg三等分f g b m c 8. 已知：矩形 abcd 中，ab 2bc ，點(diǎn) e在 cd上，且 cbe 15求證： ae ab 9. 已知： ad是四邊形 abcd 外接圓 o的直徑， abc 120 acb 45點(diǎn) p在 cb的延長(zhǎng)線上，且 pb 2bc 求證： pa是o的切線10.已知： h是abc的垂心（三條

11、高的交點(diǎn)） ，過(guò) h，b，c三點(diǎn)作 o ，延長(zhǎng) abc 的中線 am 交o于 d 求證： am md a oo d c b p jmhabcd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 6 頁(yè) - - - - - - - - -練習(xí) 33 參考答案：1.過(guò)一邊中點(diǎn)作底邊的平行線，證它經(jīng)過(guò)另一邊中點(diǎn)2.以 cd為一邊向形內(nèi)作等邊 e1cd ，證 e1ab e1ba 153.作abc 的平分線，證它與bd重合4.取另一腰的中點(diǎn)，5.同 3，作 abc的平分線，證它與bd重合6.延長(zhǎng) de交 bc于 n，證明 n，是 bc的中點(diǎn)7.取 eh的中點(diǎn) p， fg的中點(diǎn) q ， 則 pfmg 和 qhne 都是平行四邊形，pm 過(guò) fg中點(diǎn)， qn 過(guò) eh中點(diǎn)， m ，q ，p，n是同一直線8.作等腰三角形 abe1交 cd于 e1，證明 e1和 e是同一點(diǎn)。9.過(guò)點(diǎn) a作o的切線交 cb于 p1，證明