2022年初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)40：線段、角的和差倍分

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，精心整編吐血推薦, 如若有用請打賞支持，感激不盡！初 中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（40）線段、角的和差倍分一、內(nèi)容提要證明線段、角的和，差，倍，分，常用兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為證明線段或角的相等關(guān)系；一是用代數(shù)恒等式的證明方法。一. 轉(zhuǎn)化為證明相等的一般方法通過作圖轉(zhuǎn)化1. 要證明一線段（角）等于兩線段（角）的和（用截長補(bǔ)短法）分解法把大量分成兩部分，證它們分別等于兩個小量合成法作出兩個小量的和，證它與大量相等2. 要證明一線段（角）等于另一線段（角）的2 倍折半法作出大量的一半，證它與小量相等加倍法作出小量的2 倍，證它與大量相等應(yīng)用有關(guān)定理轉(zhuǎn)化1. 三角形中位線等于第三邊的

2、一半，梯形中位線等于兩底和的一半2. 直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半3. 直角三角形中，含30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半4. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和5. 等腰三角形頂角的外角等于底角的2 倍6. 三角形的重心（各中線的交點(diǎn)）分中線為21 7. 有關(guān)比例線段定理二. 用代數(shù)恒等式的證明1. 由左證到右或由右證到左2. 左右兩邊分別化簡為同一個第三式3. 證明左邊減去右邊的差為零4. 由已知的等式出發(fā)，通過恒等變形，到達(dá)求證的結(jié)論二、例題例 1. 已知： abc中， b2c，ad是高求證： dc ab bd 分析一：用分解法，把dc分成兩部分，分別證與ab ，bd相等。

3、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -可以高 ad為軸作 adb 的對稱三角形 ade ，再證 ec ae 。aeb b2c且aeb c eac ， eac c 輔助線是在 dc上取 de db ，連結(jié) ae 。分析二：用合成法，把a(bǔ)b ，bd合成一線段，證它與dc相等。仍然以高 ad為軸，作出 dc的對稱線段 df 。為便于證明，輔助線用延長db到 f，使 bfab ，連結(jié) af ，則可得abd 2f2c。例 2. 已知： abc 中，兩條高 ad和 be相交于 h，兩條邊 bc和 a

4、c的中垂線相交于 o ，垂足是 m ，n 求證： ah 2mo ，bh 2no 證明一： （加倍法作出om ，on 的 2 倍）連結(jié)并延長 co到 g使 og co連結(jié) ag ，bg 則 bg om ，bg 2mo ，ag on ，ag 2no 四邊形 agbh 是平行四邊形，ah bg 2mo ，bh ag 2no 證明二： （折半法作出ah ，bh的一半）分別取 ah ，bh的中點(diǎn) f，g連結(jié) fg ，mn 則 fg mn 21ab ，fg mn ab 又om ad ，omn hgf （兩邊分別平行的兩銳角相等）同理onm hfg omn hfg 例 3. 已知：在正方形abcd 中，點(diǎn)

5、e在 ab上且 ce ad ae ，f是 ab的中點(diǎn)求證： dce 2bcf 分析：本題顯然應(yīng)著重考慮如何發(fā)揮ce ad ae條件的作用，如果只想用加倍法或折半法，則kceabdafbcd（一）habcogdemn（二）habcodemnfg精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -脫離題設(shè)的條件，難以見效。我們可將 ae （它的等量 dg ）加在正方形邊 cd的延長線上（如左圖）也可以把正方形的邊cd （它的等量 ag ）加在 ae的延長線上（如右圖）后一種想法更容易些。輔助線如圖，證明（

6、略）自己完成例 4. 已知： abc中， b和c的平分線相交于 i ，求證： bic90 21a 證明一： （由左到右）bic180 （ 12）180 21（abc acb ）180 21（abc acb a）21a 90 21a 證明二： （左邊右邊 0）bic（90 21a）180 21（abc acb ）90 21a 90 21（abc acb a）證明三： （從已知的等式出發(fā)，進(jìn)行恒等變形）aabc acb 180a180 （ abc acb ）21a90 21（abc acb ）90 21a180 21（abc acb ） ，即 bic90 21a 三、練習(xí) 40 1. abc 中，

7、 b2c，ad是角平分線，求證： ac ab bd abcdgefhabcdgefh21iabcef精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -2. abc 中， b2c，ad是高，m是 bc的中點(diǎn)，則 ab 2dm 3. abc 中， b的平分線和 c的外角平分線交于e，則 a2e 4. abc 的 ab ac ，cd是中線，延長 ab到 e使 be ab ，連結(jié) ec ，則 ce 2cd 5. 已知：等腰直角三角形abc中， art，bd是角平分線求證： bc ab ad 6. 已知： a

8、bc 中，ab ac ，ad是高，ae是角平分線求證：dae 21（bc）7. 已知： abc 中，ab ac ，點(diǎn) d在 ac的延長線上，求證： cbd 21（abd d ）8. 已知： ad是abc的中線， e是 ad的中點(diǎn)， be延長線交 ac于 f 求證： bf4ef 9. 已知：在正方形 abcd 中，e是 bc邊上的一點(diǎn)， af平分 dae ，交 cd于 f 求證： ae be df 10.在abc 中，bac rt，bc的中垂線 mn交 ab于 m ，交 bc于 n，角平分線 ad延長線交 mn 于 e，則 bc 2ne （1987年泉州市雙基賽題）11.以 rtabc兩直角邊

9、ac ，bc為邊向形外作正方形acde 和 bcfg ，分別過 e，g作斜邊 ab所在直線的垂線段 ee，gg，則 ab ee，gg，12.已知： abc 中，ab ac ，ad是高，ce是角平分線 ef bc于 f，ge ce交 cb延長線于 g ，求證： fd 41cg （提示：以 ce為軸作 ceg 的對稱三角形）13.已知： abc 中， a100 ，ab ac ，bd是角平分線求證： bc bd ad 14.已知：正方形 abcd 中，ae平分 bac交 bc于 e，交 bd于 f，o是對角線的交點(diǎn)求證： ce 2fo 15.已知：如圖 ac ，bd都垂直于 ab ，且 cd交 ab

10、于 e，ce 2ad 求證： ade 2bde 16.已知： abc 中，ab ac bc ，點(diǎn) d在 bc上，點(diǎn) e在 ba的延長線上，且 bd be ac ，bde 的外接圓和 abc 的外接圓交于點(diǎn)f 求證： bfaf fc 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -（提示：在 bf上取 bg cf ）（15）（16）練習(xí) 40 參考答案：1. 以 ad軸作軸對稱三角形2. 取 ab中點(diǎn) n ，再證明 dn dm 3. 利用外角性質(zhì)，分別用兩角差表示a和e 4. 有多種證明方法，注意三角形中位線性質(zhì)6. b（ bae dae ）90，c（ eac dae ）90 7. abc acb dcbd ，兩邊同加上 cbd 10 . 作高 ah 12 延長 ge交 ac于 m ，則 e是 gm 的中點(diǎn)，作 ep bc交 ac于 p，則 ep被 ad平分5.在 bc上取