反證法典型例題

1、韓城韓城象中象中毋寧毋寧 選修選修1-2：第三章第三章 推理與證明推理與證明例例1. 1. 已知：一個整數(shù)的平方能被已知：一個整數(shù)的平方能被2 2整除，整除， 求證：這個數(shù)是偶數(shù)。求證：這個數(shù)是偶數(shù)。證明：證明：設整數(shù)設整數(shù)a a的平方能被的平方能被2 2整除整除. . 假設假設a a不是偶數(shù)，不是偶數(shù)， 則則a a是奇數(shù)，不妨設是奇數(shù)，不妨設a=2m+1(ma=2m+1(m是整數(shù)是整數(shù)) ) a a2 2=(2m+1)=(2m+1)2 2=4m=4m2 2+4m+1=4m(m+1)+1+4m+1=4m(m+1)+1 a a2 2是奇數(shù)，與已知矛盾。是奇數(shù)，與已知矛盾。 假設不成立，所以假設不

2、成立，所以a a是偶數(shù)。是偶數(shù)。a a b b證：假設 a b不成立，則 a b證：假設 a b不成立，則 a b若 a =b，則a = b,若 a =b，則a = b,與已知a b矛盾,與已知a b矛盾,若 a b，則a b,若 a b，則a b矛盾,與已知a b矛盾,故假設不成立，結論 a b成立。故假設不成立，結論 a b成立。例例2.2.證明：如果證明：如果ab0ab0，那么，那么證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，證：假設方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個根，1 12 21 12 2不不妨妨設設其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x

3、 x1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設不成立，結論成立。故假設不成立，結論成立。例例3.3.已知已知a0a0，求證關于，求證關于x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一個根。一個根。P P已知：在已知：在O O中中, ,弦弦ABAB、CDCD相交于相交于P P，且，

4、且ABAB、CD CD 不全是直徑不全是直徑求證：求證：ABAB、CDCD不能互相平分。不能互相平分。A AB BC CD DO O例例4.4.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分互相平分. .2 2證：假設 2是有理數(shù)，證：假設 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質質的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設設m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k從而有4

5、k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質矛盾！這與m，n互質矛盾！所以假設不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設不成立，2是有理數(shù)成立。例例5.5.求證：求證： 是無理數(shù)是無理數(shù). . (4)(4)結論為結論為 “唯一唯一”類的命題。類的命題。正難則反正難則反!應用反證法的情形：應用反證法的情形： (1)(1)直接證明困難直接證明困難; ;(2)(2)需分成很多類進行討論；需分成很多類進行討論；(3)(3)結論為結論為“至少至少”、“至多至多”、“有無窮多個有無窮多個”這一類的命題；這一類的命題；例例6.6.已知已知a+ +b+ +c00, , ab+ +bc+

6、 +ca0, 0, abc0.0.求證求證: : a, ,b, ,c00證明證明: : 假設假設c0, 0, 0, ab0.00. . ab+ +bc+ +ca= =ab+(+(a+ +b) )c0.0.矛盾矛盾! !假設不成立假設不成立. .例例7.7.已知已知00a, ,b, ,c1, - 0(1),22a ba bb a1- +1(1- ) - 0(2),22b cb cc b1- +1(1- ) - 0(3).22c ac aa c(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)得得: 00,: 00,矛盾矛盾! ! 假設不成立假設不成立. .所以所以,(1-,(1-a) )b, (1-,

7、 (1-b) )c, (1-, (1-c) )a不可能同時大于不可能同時大于1/4.1/4. 例例7.7.已知已知00a, ,b, ,c1, 1, 求證求證: (1-: (1-a) )b, (1-, (1-b) )c, , (1-(1-c) )a不可能同時大于不可能同時大于1/4. 1/4. 證明證明: : 假設假設(1-(1-a) )b, (1-, (1-b) )c, (1-, (1-c) )a同時大于同時大于1/4. 1/4. 則則11(1)(1),44a bab11(1)(2),44b cbc11(1)(3).44c aca(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)得得: :1113(

8、)()()3444abcabc矛矛盾盾! ! 假設不成立假設不成立. .原結論成立原結論成立. .例例8.8.已知已知 : f (x)=x2+px+q.求證求證 : |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于 .例例9.9.已知已知A,B,C為三個正角為三個正角. 且且sin2A+sin2B+sin2C=1. 求證求證: A+B+C900.解解: :假設假設A+B+C 900, 由于由于A,B,C為三個正角為三個正角, 所以所以它們都為銳角它們都為銳角, 且有且有cos(A+B)cos(A-B). 1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B) 1-cos2(A-B) 1.矛盾矛盾! 假設不成立假設不成立.