數(shù)列極限的收斂準則

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程授課教師：王利平第一節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準則:limaxnn有時當 , 0, , 0 NnN |axnaxn 即axan?,論你認為可能得到什么結(jié)由此 回想數(shù)列的極限 , 0 ),0( 0 ,lim Naaaxnn則若 ).0( 0 , nnxxNn有時當證證 , , 0 ,lim 則由極限的定義且設(shè)aaxnn有時當時取 , , 0 , 02 NnNa,2 | |aaxn由絕對值不等式的知識, 立即得.20nxaa , )0( 0 nnxx若 , lim 存在且axnn . )0( 0 aa則這里為嚴格不等

2、號時此處仍是不嚴格不等號 , ) , 0 ( )( 00時當或若NnNNnyxyxnnnn則存在且 , lim ,lim byaxnnnn . )limlim( limlimbyxabyxannnnnnnn例1證證 . ,lim ),12( lim ),2( lim Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中則滿足證明：如果 , 0 , , 0 , )2( lim 11時當由NnNmnaxnn , , 0 ),12( lim 22時當由NnNmnaxnn );2( | mnaxn , ) 12( | mnaxn , | , , ,max 21axNnNNNn恒有時則當取 .lim axnn故

3、由極限定義得：逆命題成立嗎？例2證證 . 1lim : , ,1, ,1 nnnxnnnnnnx證明為奇數(shù)當為偶數(shù)當設(shè) , 0 ,1 1 , 11 nnnnnn即要要 , , ,1 11有為偶數(shù)時則當故取nNnN ; 11 nn ,1 1 , 11 ,nnnnnn即要要同理 , , ,1 22有為奇數(shù)時則當故取nNnN ; 11 nn , ,max 21時則當取NnNNN 11 與nn , 11 同時成立nn , | 1| , ,即成立時當所以nxNn . 1limnnx例3 . 8sin 的斂散性判別nxn解解利用函數(shù)的周期性, 在 xn 中取兩個子數(shù)列: ,sin , ,2sin ,sin

4、 :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8sin kkn . 11lim)22sin(lim nnk此時 . )( 8sin :即極限不存在是發(fā)散的故由推論可知n 單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限 . 單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限 . . 11 收斂證明數(shù)列nn證證由中學(xué)的牛頓二項式展開公式321! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1! )1() 1(nnn2111! 3111 2111！ , 112111! 1nnnnn例例1類似地, 有1

5、1111nnnx 111121111! 1nnnnn 11121111! ) 1(1nnnnn121111! 31111 2111nnn！除前面的展開式可以看出與比較 , 1nnxx并且的對應(yīng)項的每一項都小于兩項外 , ,1nnxx因此一項還多了最后的大于零的 , 1nx1nnxx. 是單調(diào)增加的即nxnnnxn2111! 3111 2111！ 112111! 1nnnnn又! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比數(shù)列求和 放大不等式 . 有界從而nx每個括號小于 1 . 綜上所述, 數(shù)列xn是單調(diào)增加且有上界的, 由極限存在準則可知, 該數(shù)列

6、的極限存在, 通常將它記為 e, 即. 11limennne 稱為歐拉常數(shù). 590457182818284. 2e .ln : , , xye記為稱為自然對數(shù)為底的對數(shù)以! ! 1! 31! 21 ! 111 nnnee的計算公式為 . 10 ,其中 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20年后卻永遠離開了祖國。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（17411766年），其余時間則留在俄國彼得堡。 歐拉31歲時右眼失明，59歲時雙目失明。他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。 歐拉聲譽顯赫。12次獲巴黎科學(xué)院大獎（1738

7、1772年）曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團體的成員。 歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。 歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時期的神學(xué)和語言學(xué)。從18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。 歐拉具有超人的計算能力。法國天文學(xué)家、物理學(xué)家阿拉哥（D. F. J. Arago，17861853）說：“歐拉計算一點也不費勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣?！?

8、有一次，歐拉的兩個學(xué)生計算一個復(fù)雜的收斂級數(shù)的和，加到第17 項時兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個單位。為了確定究竟誰對，歐拉用心算進行了全部運算，準確地找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運用心算解決了使牛頓頭疼的月球運動的復(fù)雜分析運算。 歐拉創(chuàng)用 a，b，c 表示三角形的三條邊，用 A，B，C表示對應(yīng)的三個角( 1748 )；創(chuàng)用 表示求和符號 ( 1755 )；提倡用 表示圓周率（1736）；1727年用 e 表示自然對數(shù)的底；還用y 表示差分等等。 十八世紀四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國，如他在1748年出版的無窮分析引論。設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系:(2),li

9、mlimazynnnn則axnnlim(1) yn xn zn , n Z+(或從某一項開始) ;想想：如何證明夾逼定理? ,limlim 所以因為azynnnn, | , , 0 , 0 1ayNnNn時當, | , , 0 , 0 22azNnNn時當 , ,max 21有時則當取NnNNN . | , |azaynn故有或從某一項開始已知 ),( Znzxynnn)( Nnazxyannn , , 由極限定義得有時即當axNnn.limaxnn解解 .12111 lim 222nnnnn求112111 22222nnnnnnnnn , 1lim 2nnnn而11lim2nnn由于1121

10、11 lim 222nnnnn故例例2想得通吧？想得通吧？解解. ,! lim Znnnnn求 ,11 321! 0 nnnnnnnnnnn由于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故例例3 .)321 (lim 1nnnn求 132313)321 (11nnnnnn , 3132311 nn而 , 33)321 (3 11nnnn故 , 3)33(lim 1nn又 . 3)321 (lim , 1nnnn得由夾逼定理例例4解解例例5 .221lim 2nnnn求解解 , 1 時當n 2212nn ,12122121 2nnnnn

11、nn故 ,121lim ,21lim 22enennnnn而 .221lim 22ennn故n21 ,121) 1(221nnnn例例6解解.) , ( ,lim 2121Zkaaaaaaknnknnn為正常數(shù)其中求 ,max 21則有記naaaa , 21nnnnnknnnnkakaaaaaa , 1lim 故由夾逼定理得而nnk .,maxlim2121knnknnnaaaaaaa除最大的一個外, 其余的均取為零. ) ( lim收斂即數(shù)列nnnxax. | , , , 0 , 0nmxxNnmN時當 滿足此條件的數(shù)列, 稱為“柯西列”. 柯西準則可寫為: . 為柯西列收斂數(shù)列nnxx .

12、 131211 時發(fā)散的證明數(shù)列n證證,1 31211 nxn記nnnxxnn212111| 2由于 ,212111nnnnn , , , 21 0均有時當取何值則不論時故取NnN0221 |nnxx由柯西收斂準則可知, 該數(shù)列是發(fā)散的.例例6 柯柯 西西 A.L.Cauchy (17891857) 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當時法國的大數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年時代柯西的數(shù)學(xué)才華就頗受這兩位大數(shù)學(xué)的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建議下，其父親加強了對柯西文學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，使得后來柯西在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。 18051

13、810年，柯西考入巴黎理工學(xué)校，兩年后以第一名的成績被巴黎橋梁公路學(xué)院錄取，畢業(yè)時獲該校會考大獎。1810年成為工程師。1815年獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎，1816年3月被任命為巴黎科學(xué)院院士，同年9月，被任命為巴黎理工學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)教授。 由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師工作，致力于純數(shù)學(xué)研究?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的一個重大事件，也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻。1821年柯西提出了極限定義的方法，把極限過程用不等式刻劃出來，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進為現(xiàn)在教科書上所說的極限定義或定義。當今

14、所有微積分教科書都還（至少在本質(zhì)上）沿用柯西關(guān)于極限、連續(xù)、收斂等概念。柯西對定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。他把定積分定義為和的極限，并強調(diào)在作定積分運算前，應(yīng)判斷定積分的存在性。 他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴格化處理，從而結(jié)束了 200 年來微積分在思想上的混亂局面，并使微積分發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。 數(shù)學(xué)分析嚴謹化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學(xué)術(shù)會議上柯西提出了級數(shù)收斂理論，會后，拉普拉斯急忙回家，關(guān)起門來，避不見人，直到將他所發(fā)表和未發(fā)表的與級數(shù)有關(guān)的論文和著作全部檢查一遍，確認無誤為止。 柯西一生撰寫的數(shù)學(xué)論著有800多種。他是1