D123冪級數(shù)ok

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算 冪級數(shù) 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) .對,0ix 若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發(fā)散點發(fā)散點, ),2, 1()(nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域

2、發(fā)散域 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 , )(xs為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxsnn若用)(xsn)()(1xuxsnkkn令余項)()()(xsxsxrnn則在收斂域上有, )()(limxsxsnn0)(limxrnn表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如, 等比級數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或寫作.1x又如又如, 級數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時當x有

3、和函數(shù) ,1時收斂當x,10時但當 x目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即nnxxa)(0稱 目錄 上頁 下頁 返回 結束 收斂 發(fā)散定理定理 1. ( abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當0 xx 0 xx

4、的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式證證: 設00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂, 則必有),2, 1(0nmxann于是存在常數(shù) m 0, 使ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當 時, 0 xx 00nnxxm收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂,反之, 若當0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設有一點1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當0 xx 滿足且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知, 級數(shù)在點故假設不真. 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則由前也應收斂, 與所設矛盾,n

5、nnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxm0證畢目錄 上頁 下頁 返回 結束 冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用r 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則r = 0 時, 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;r = + 時,0 r冪級數(shù)在 (r , r ) 收斂 ;(r , r ) 加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.r 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在r , r 可能收斂也可能發(fā)散 .rx外發(fā)散; 在(r , r ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散目錄 上頁 下頁 返回 結束 xaaxaxannnnnnnn

6、111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1r;r.0r證證:1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當,1x原級數(shù)收斂;當,1x原級數(shù)發(fā)散.x即1x時,1) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當 +時,即時,則 1x目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 若, 0則根據(jù)比值審斂法可知,;r絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級數(shù)發(fā).0r對任意 x 原級數(shù)因此散 ,因此 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理1limnnnaar因此級數(shù)的收斂半徑.1r目錄 上頁 下頁 返回 結束 對端點 x =1, 1limnnnaarnxxxxn

7、n 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x = 1, ,1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域為例例1 1.求冪級數(shù) limn 級數(shù)為交錯級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaar!1n) 1(limnn所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaar!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.nnxnn2

8、02) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21r21x即142x當21x即) 1(2nxnx2故直接由目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaarlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當 t = 2 時, 級數(shù)為,11nn

9、此級數(shù)發(fā)散;當 t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂域為,212x即.31x目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算定理定理3. 設冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21rr令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1rx ,min21rrr nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbarx ,0nnnxcrx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結論可用部分和的極限證明 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂

10、半徑小得多. 例如, 設 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,r但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1r1x1nnnxb0 x11目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理4 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0r)(xs數(shù)(證明見第六節(jié))nnnxaxs0)(,11nnnxan),(rrxxxaxxsnxnnxdd)(000,110nnnxna),(rrx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內可逐項求導與逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.目錄 上頁 下頁

11、返回 結束 解解: 由例2可知級數(shù)的收斂半徑 r+.例例5.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxs)(x則11! ) 1()(nnnxxs0!kkkx)(xs)(x故有0)(exsxxcxse)(,e)(1)0(xxss 得由故得.e!0 xnnnx的和函數(shù) .因此得設目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā),)1,1(時故當x1)(nnxnxs1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xs11nnxnx1nnxx散,目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xs解解: 易求出

12、冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxs xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 0111nnnxxxnnxxx00d1,) 1, 1中則在 x = 1 時級數(shù)發(fā)散, 有時當,0 x目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1 ,0()0, 1x)(xs, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xs而 x = 0 時級數(shù)收斂于1, , )1ln(1xx,10 x) 10( x1x及,1)1 (lnlim0 xxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8.2) 1(122的和求數(shù)項級數(shù)nnn解解: 設,1)(22nnnxxs則, )1,

13、1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxs111121)(2目錄 上頁 下頁 返回 結束 31212)(nnnnnxxnxxxs1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxs222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxs21s2ln4385)0( x)2(212xxx故目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用

14、比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質1) 兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內可進行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標準型再求 .乘法運算. 例例3例例4目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 在收斂區(qū)間內冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內可逐項求導和求積分.思考與練習思考與練習 1. 已知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答答: 根據(jù)abel 定理可知, 級數(shù)在0 xx 收斂 ,0 xx 時發(fā)散 . 故收斂半徑為.0 xr 例例63. 求和函數(shù)的常用方法 利用冪級數(shù)的性質 例例7目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 在冪級數(shù)nnnnx02) 1(2中,n

15、naa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能. 因為nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當2x時級數(shù)收斂 ,2x時級數(shù)發(fā)散 ,.2r說明說明: 可以證明比值判別法成立根值判別法成立目錄 上頁 下頁 返回 結束 p275 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)p320 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作業(yè)第四節(jié) 阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學家, 近代數(shù)學發(fā)展的先驅者. 他在22歲時就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級數(shù)研究中, 他得 到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理. 論的