四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力拓展專題突破系列(三)等差數(shù)列

1、四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力拓展專題突破系列（三）等差數(shù)列-等差數(shù)列基礎(chǔ)（1）溫馨提示：該文檔包含本課程的講義和課后測(cè)試題，課后測(cè)試題即每一部分內(nèi)容對(duì)應(yīng)的“課后練習(xí)”。等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)、通項(xiàng)公式的使用1. 熟悉等差數(shù)列通項(xiàng)公式2. 應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算例題1：判斷下面哪些是等差數(shù)列？ 1、0、1、0、1、0 2、8、14、20、26 1、2、2、3、4、5 95、90、85、80、75 例題2：一只小蟲(chóng)沿筆直的樹(shù)干跳著往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。第一次跳了10厘米，它一共跳了100次，問(wèn)它第100次跳多高？例題3：一只小蟲(chóng)沿筆直的樹(shù)干跳著往上行，每跳一次都比上一次升高2厘米。第5次跳了10厘

2、米，它一共跳了60次，問(wèn)它第60次跳多高？ 例4：一個(gè)等差數(shù)列共13項(xiàng)。每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)大7，并且末項(xiàng)為125。求首項(xiàng)是多少? （即使該課程的課后測(cè)試）練習(xí)1：判斷下面哪些是等差數(shù)列，是的畫(huà)，不是的畫(huà)×。（1）4、8、12、16、20、24 （ ）（2）1、2、3、5、8、13 （ ）（3）3、3、3、3、3、3、3 （ ）（4）40、38、37、36、34、32 （ ）練習(xí)2：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中，第48項(xiàng)是多少？練習(xí)3：求等差數(shù)列2、5、8、11的第100項(xiàng)？練習(xí)4：求1、5、9、13、這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)？練習(xí)5：一個(gè)等差數(shù)列共20項(xiàng)。每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)

3、大3，并且末項(xiàng)為125。求首項(xiàng)是多少？練習(xí)1：判斷下面哪些是等差數(shù)列是的畫(huà)，不是的畫(huà)×。（1）4、8、12、16、20、24 （ ） 公差為4（2）1、2、3、5、8、13 （ × ） 相鄰兩項(xiàng)分別差1、 1、 2 、3 、5（3）3、3、3、3、3、3、3 （ ） 公差為0（4）40、38、37、36、34、32 （ × ） 相鄰兩項(xiàng)分別差2、1、1、2、2練習(xí)2：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中，第48項(xiàng)是多少？分析：練習(xí)3：求等差數(shù)列2、5、8、11的第100項(xiàng)？分析：練習(xí)4：求1、5、9、13、這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)？分析：練習(xí)5：一個(gè)等差數(shù)列共20項(xiàng)

4、。每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)大3，并且末項(xiàng)為125。求首項(xiàng)是多少？分析： 四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力拓展專題突破系列（三）等差數(shù)列-等差數(shù)列基礎(chǔ)（2）掌握等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和公差公式1. 熟悉等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)公式、公差公式2. 應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)公差公式計(jì)算例題1：有一公差6的等差數(shù)列，a1=12， an=84，求n的值？例題2：體育課上老師指揮大家排成一排，樂(lè)樂(lè)站排頭，哈哈站排尾，從排頭到排尾報(bào)數(shù)。如果樂(lè)樂(lè)報(bào)3，哈哈報(bào)25，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多2，那么隊(duì)伍里一共有多少人？如果樂(lè)樂(lè)報(bào)17，哈哈報(bào)150，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多7，那么隊(duì)伍里一共有多少人？例題3：艷艷老師在黑板上寫了一個(gè)等差數(shù)列，剛寫完，老頑童

5、奧大叔就擦去了其中的大部分，只留下第四個(gè)數(shù)31和第十個(gè)數(shù)73。能找出這個(gè)等差數(shù)列的公差嗎？例4：在124和245之間插入10個(gè)數(shù)以后，使它成為一個(gè)等差數(shù)列。這10個(gè)數(shù)中，最小的是幾？最大的是幾？（即使該課程的課后測(cè)試）練習(xí)1：在數(shù)列3、6、9、201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫下去，第201個(gè)數(shù)是多少？練習(xí)2：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中，508是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？練習(xí)3：一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是91，共9項(xiàng)，公差是多少？練習(xí)4：一個(gè)等差數(shù)列的第5項(xiàng)是46，第16項(xiàng)是167，公差是多少？練習(xí)5：在27和76之間插入6個(gè)數(shù)，使它成為一個(gè)等差數(shù)列，這6個(gè)數(shù)中最大是多少，最小是多少？練習(xí)

6、1：在數(shù)列3、6、9、201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫下去，第201個(gè)數(shù)是多少？分析： 項(xiàng)數(shù)=（201-3）3+1=67 末項(xiàng)=3+（201-1）×3=603答：共有67項(xiàng)，第201個(gè)數(shù)是603。練習(xí)2：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中， 508是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？分析: 項(xiàng)數(shù)=（508-4）÷6+1=85答：508是這個(gè)數(shù)列的第85項(xiàng)。練習(xí)3：一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是91，共9項(xiàng)，公差是多少？分析: 公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷（n-1） =（91-11）÷（9-1） =10答：公差是10。練習(xí)4：一個(gè)等差數(shù)列的第5項(xiàng)是46，第16項(xiàng)是167，公差

7、是多少？分析：答：公差是11。練習(xí)5：在27和76之間插入6個(gè)數(shù)，使它成為一個(gè)等差數(shù)列，這6個(gè)數(shù)中最大是多少，最小是多少？分析：8個(gè)數(shù)形成等差數(shù)列，首項(xiàng)為27，末項(xiàng)為76，則：公差=（76-27）÷（8-1）=49÷7=7 最小數(shù)=27+7=34 最大數(shù)=76-7=69答： 這6個(gè)數(shù)中最大是69，最小是34。四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力拓展專題突破系列（三）等差數(shù)列-等差數(shù)列求和掌握等差數(shù)列求和公式1. 熟悉等差數(shù)列求和公式2. 應(yīng)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算例題1：(2468102000)(135791999)例題2：134679101213+99100例題3：求1至100內(nèi)被3整除數(shù)的

8、和？例題4：求1到100不能被3整除數(shù)的和？例題5：求100以內(nèi)能被2或3整除數(shù)的和？（即使該課程的課后測(cè)試）練習(xí)1：計(jì)算（1+3+5+1991）（2+4+6+1990）練習(xí)2：計(jì)算5+10+15+20+190+195+200的和。練習(xí)3：求自然數(shù)中被10除余1的所有兩位數(shù)的和？練習(xí)4：求不超過(guò)500的所有不能被11整除的自然數(shù)的和？練習(xí)5：求297294291963的和。練習(xí)1：計(jì)算（1+3+5+1991）（2+4+6+1990）分析：被減數(shù)的項(xiàng)數(shù)=(1991-1)÷2+1=996所以被減數(shù)的總和=(1+1991)×996÷2=992016減數(shù)的項(xiàng)數(shù)=(1990

9、-2)÷2+1=995所以減數(shù)的總和=(2+1990)×995÷2=991020所以原式=992016-991020=996練習(xí)2：計(jì)算5+10+15+20+190+195+200的和。分析：首項(xiàng)=5，末項(xiàng)=200，公差=5項(xiàng)數(shù)=(200-5)÷5+1=405+10+15+20+190+195+200=(5+200)×40÷2=4100練習(xí)3：求自然數(shù)中被10除余1的所有兩位數(shù)的和？分析：在兩位數(shù)中，被10除余1最小的是11，最大的是91。從題意可知，本題是求等差數(shù)列11、21、31、91的和。它的項(xiàng)數(shù)是9，我們可以根據(jù)求和公式來(lái)計(jì)算

10、。11+21+31+91=（11+91）×92=459練習(xí)4：求不超過(guò)500的所有不能被11整除的自然數(shù)的和？分析：用1到500的和減去能被11整除數(shù)的和。能被11整除最小的數(shù)是11，最大的是495，共45項(xiàng)。（1+500）×500÷2（11+495）×45÷2=125250-11385=113865練習(xí)5：求297294291963的和。分析：297294291963369291294297，對(duì)于重新排列的這列數(shù)，首項(xiàng)3，末項(xiàng)297，公差d3項(xiàng)數(shù)n（2973）÷3198199s=（3297）×99÷2=300&#

11、215;99÷2=150×99=14850四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力拓展專題突破系列（三）等差數(shù)列-等差數(shù)列提高掌握等差數(shù)列中項(xiàng)定理1. 熟練掌握等差數(shù)列中項(xiàng)定理公式2. 靈活應(yīng)用等差中項(xiàng)定理進(jìn)行計(jì)算例題1：(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)÷2008例題2：把1988表示成28個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，那么其中最大的那個(gè)偶數(shù)是多少？例題3：已知一個(gè)等差數(shù)列的前15項(xiàng)之和為450，前20項(xiàng)之和為750，問(wèn)這個(gè)數(shù)列的公差是多少？首項(xiàng)是多少？例題4：樂(lè)樂(lè)和哈哈同時(shí)開(kāi)始工作。樂(lè)樂(lè)第一個(gè)月得到1000元工資。以后每月多得60元；哈哈第一個(gè)月得到500元

12、工資，以后每月多得45元。兩人工作一年后，所得的工資總數(shù)相差多少元？（即使該課程的課后測(cè)試）練習(xí)1：從小到大連續(xù)11個(gè)偶數(shù)的和為594，求第三個(gè)偶數(shù)是多少？練習(xí)2：一個(gè)等差數(shù)列一共有13項(xiàng)，公差為11，若已知這個(gè)等差數(shù)列的和為3926，求在這個(gè)數(shù)列中最小的數(shù)為多少？練習(xí)3：從小到大連續(xù)12個(gè)奇數(shù)的和為600，求第三個(gè)奇數(shù)是多少？練習(xí)4：小王看一本書(shū)，第一天看了20頁(yè)，以后每天都比前一天多看2頁(yè)，最后一天看了78頁(yè)正好看完。這本書(shū)共有多少頁(yè)？ 練習(xí)5：建筑工地上堆著一些鋼管(如圖所示)，求這堆鋼管一共有多少根？ 練習(xí)1：從小到大連續(xù)11個(gè)偶數(shù)的和為594，求第三個(gè)偶數(shù)是多少？分析：（中項(xiàng)定理）5

13、94÷11=54得中間數(shù)，即第6項(xiàng)為54。54-2×3=48答：第三個(gè)偶數(shù)是48。練習(xí)2：一個(gè)等差數(shù)列一共有13項(xiàng)，公差為11，若已知這個(gè)等差數(shù)列的和為3926，求在這個(gè)數(shù)列中最小的數(shù)為多少？分析：根據(jù)中項(xiàng)定理得： 最小的為：302-（7-1）×11=236答：在這個(gè)數(shù)列中最小的數(shù)為236。練習(xí)3：從小到大連續(xù)12個(gè)奇數(shù)的和為600，求第三個(gè)奇數(shù)是多少？分析：因?yàn)槭沁B續(xù)的奇數(shù)，形成公差為2的等差數(shù)列。中間兩項(xiàng)的和為：600÷12×2=100；第六項(xiàng)：（100-2）÷2=49；第三項(xiàng)：49-2×（6-3）=43答：第三個(gè)奇數(shù)是

14、43。練習(xí)4：小王看一本書(shū)第一天看了20頁(yè)，以后每天都比前一天多看2頁(yè)，最后一天看了78頁(yè)正好看完。這本書(shū)共有多少頁(yè)？分析：先求共看多少天：n=（78-20）÷2+1=30（天） s=（20+78）×30÷2= 98×30÷2=1470（頁(yè)）答：這本書(shū)共有1470頁(yè)。練習(xí)5：建筑工地上堆著一些鋼管(如圖所示)，求這堆鋼管一共有多少根？ 分析：根據(jù)圖可以知道，這是一個(gè)以3為首項(xiàng)，以10為末項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列， 求鋼管一共有多少根，其實(shí)就是求3+4+5+9+10的和。項(xiàng)數(shù)=(10-3)÷1+1=83+4+5+9+10=(3+10)&

15、#215;8÷2=13×8÷2=52(根)。答：這堆鋼管一共有52根。四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力拓展專題突破系列（三）等差數(shù)列-等差數(shù)列綜合鞏固掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求項(xiàng)數(shù)公式、求和公式、中項(xiàng)定理1. 熟練掌握根據(jù)各類公式進(jìn)行計(jì)算2. 靈活應(yīng)用等差數(shù)列求和公式和中項(xiàng)定理例題1：（2008年第六屆走美杯四年級(jí)初賽第2題）(1+2+3+2007+2008+2007+3+2+1)÷2008例題2：盒子中放著兩個(gè)小球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，把它變成4個(gè)小球后放回盒子，第二次又從盒子拿出兩個(gè)球，將每個(gè)都變成4個(gè)球后放回盒子第十次從盒子中拿出10個(gè)球，將每個(gè)都

16、變成4個(gè)球后放回盒子。這時(shí)盒子里有多少個(gè)小球？例題3：已知數(shù)列：2、1、4、3、6、5、8、7、問(wèn)2009是這個(gè)數(shù)列的第多少項(xiàng)？例題4：已知數(shù)列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、，試問(wèn)：（1）15是這個(gè)數(shù)列中的第幾個(gè)到第幾個(gè)數(shù)？（2）這個(gè)數(shù)列中第100個(gè)數(shù)是幾？（即使該課程的課后測(cè)試）練習(xí)1：1+2+3+499+500+499+3+2+1練習(xí)2：在一次元旦晚會(huì)上，一共有48位同學(xué)和5位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？練習(xí)3：有50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？練習(xí)4：求下列方陣中所有數(shù)的和： 1、2、3、4

17、、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。練習(xí)5：用3根等長(zhǎng)的火柴棍擺成一個(gè)等邊三角形，用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個(gè)大的等邊三角形。如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棒，那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒？ 練習(xí)1：1+2+3+499+500+499+3+2+1分析：根據(jù)1+2+3+4+n+（n-1）+4+3+2+1=n×n 1+2+3+499+500+499+3+2+1=500×500=250000練習(xí)2：在一次元旦晚會(huì)上，一共有48位同學(xué)

18、和5位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他人握一次手。那么一共握了多少次手？分析：根據(jù)題意，一共有48+5=53（人）參加了這次晚會(huì)。所以，一共握手的次數(shù)為：52+51+50+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）答：一共握了1378次手。練習(xí)3：有50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？分析：開(kāi)第一把鎖時(shí)，如果不湊巧，試了49把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開(kāi)，即開(kāi)第一把鎖至多需要試49次，同理，開(kāi)第二把鎖至多需要48次，開(kāi)第三把鎖至多需試47次，等打開(kāi)第49把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開(kāi)。根據(jù)以上分析，可以把本題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)等差數(shù)列的和，即：49+48+47+2+1=(49+1)×49÷2=1225（次）答：至多要試1225次。練習(xí)4：求下列方陣中所有各數(shù)的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、5