函數(shù)極值問題的探討綜述

1、函數(shù)極值問題的探討目錄1 引言 12 一元函數(shù)極值問題的求解 12.1 極值的求解步驟 22.2 極值的求法實例分析 23 二元函數(shù)極值問題的求解 33.1 極值的求解步驟 43.2 二元函數(shù)極值的矩陣求法 74 三角函數(shù)極值問題的求解84.1 關(guān)于正弦，余弦函數(shù)極值的求法84.2 關(guān)于正弦，余弦二次函數(shù)極值的求法84.3 有條件制約的三角函數(shù)極值的求法95 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法95.1 拉格朗日乘數(shù)法105.2 條件極值的求法步驟115.3 條件極值的求解方法及實例分析116 極值問題在實際生活中的應用136.1 極值理論拯救生命136.2 極值理論在其他行業(yè)的應用147 小結(jié)14參考文

2、獻15致謝16麗水學院2012屆學生畢業(yè)論文函數(shù)極值問題的探討理學院 數(shù)學082本 田睿 指導師：金云娟摘要本文從一元函數(shù)極值，二元函數(shù)極值，三角函數(shù)極值，條件極值四個方面對函數(shù)極值問題的求法與應用展開討論，通過以上討論，旨在為以后的學習和實際工作帶來一定的方便關(guān)鍵詞 極值；三角函數(shù)；一元函數(shù)；二元函數(shù)；條件極值1引言函數(shù)極值問題是數(shù)學課程的重要內(nèi)容，是有關(guān)函數(shù)的一個重要研究課題，對于掌握函數(shù)有重 要的彳用.在有關(guān)函數(shù)極值的相關(guān)問題中，函數(shù)極值的求法是其中的重點和難點，因為不同的函 數(shù)有不同的求解方法，所以受到人們的普遍關(guān)注，研究成果豐富.近些年來，有關(guān)的研究中都有關(guān)于函數(shù)極值問題的討論，并在

3、不少的學報及學術(shù)性論文中都有關(guān)于函數(shù)極值的有關(guān)見解，使得 函數(shù)極值問題有了更大的發(fā)展.本文主要研究一元函數(shù)，二元函數(shù)，三角函數(shù)極值，條件極值的求法以及應用，重點解決有 關(guān)函數(shù)極值的求解方法和應用，在介紹方法時給出了例題，有助于對函數(shù)極值的理解，為更好的 學習提供更好的幫助，能快速、清晰的解決數(shù)學問題2 一元函數(shù)極值問題的求解定義11(一元函數(shù)極值的定義)設函數(shù)f(x)在x0的某個鄰域有定義，如果對x0該鄰域的所有點，都有 f (x) < f(X0),則f (X0)是函數(shù)f (x)的一個極大值.如果該鄰域的所有的點，都有f (x) A f (x0),則f (x0 )是函數(shù)f (x)的一個極

4、小值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值定理1 1(費馬定理)極值的必要條件設函數(shù)f (x)在區(qū)間I有定義(1) f (x)在 x0 可導；(2) x0(x°w I)是 f(x)的極值點；則 f'(x) =0.定理22(極值的第一充分條件)設函數(shù)f (x)在點xO的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(導數(shù)f'(x0)也可不存在),上 B f'(x) >0 x<x0 如果3，則X0是f(x)的極大值點；J'(x) <0X >X0上 B "f'(x) <0 x <x0 如果30 ,則x0是f(x)的極小值點；J'(x)&

5、gt;0x >x0如果在x0點的鄰域內(nèi)，f'(x0)不變號，則x0不是f(x)的極值點.定理32(極值第二充分條件)設函數(shù)f(x)在x0二階可導，f'(x0)=0f''(x0)<0則為極大值；f''(x0)A0則為極小值.定理42 (極值的第三充分條件)設f(x)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)存在直到 n -1階導函數(shù)，在x0處n階可導且f(k)(x) -0(k-1,2IHn-1), f(n)(x) -0,則 當n為偶數(shù)時，f (x)在x0處取得極值，且當f(x) <0時取極大值，f(x)A0時取極 小值.當n為奇數(shù)時，f(x)在x0處不取極

6、值.2.1 極值的求解步驟函數(shù)f (x)的定義域；并求f'(x),并在定義域內(nèi)求f '(x) = 0的點(駐點)和f '(x)不存在的點;對于駐點可利用極值的第一充分條件或極值的第二充分條件判定，對于導數(shù)不存在的點利 用極值的第一充分條件確定函數(shù)的極值點；求出各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值2.2 極值的求法實例分析例 13 求 f (x) =(2x +5)7的極值點和極值.(極值第一充分條件)52解 f (x) =(2x +5)x2 =2x3 -5x3 在(一°°,")上連續(xù)，且當 x#0 時，有f (x)=10x-1易見，x=1為f的穩(wěn)

7、定點，x=0為f的不可導點，這兩點是否是極值點，需要做進一步討論，現(xiàn)列表如下(表中 口表示遞增，表中匚 表示遞減)x( 0)0(0,1)1(小)F y+不存在-0+y0-3例2求函數(shù)f (x) =(X2 -1 3 +1的極值.(極值第二充分條件)解(I) f(x)= 6x(x2 -12.(2) .令 f 僅)=0 ,求得駐點 x = 一1, x2 =0, x3 = 1.(3) f x =6x2-1 5x2 -1.(4) .因f "(0)=6>0 .所以f(x而x=0處取得極小值.極小值為f(0)=0，(5) .因f 1 )= f “(1)=0在1的左右鄰域內(nèi)f'(x)&

8、lt;0 .所以f(x )在1處沒有極值；同理.f (x班1處也沒有極值,例3試求函數(shù)x4(x-1)3的極值.(極值第三充分條件)4 解 由于f (x)=x (x-1) (7x-4)因此x=0,1是函數(shù)的三個穩(wěn)定點，f的二階導2244數(shù) f (x) =6x (x-1)(7x 8x + 2)由此得 f (0) = f (1) = 0, f (-) >0 所以 f (x)在 x =一時取得極小值.求三階導數(shù)，有f (x) =6x(35x3 -60x2 30x -4)f (0) =0, f (1) 0.由于n=3為奇數(shù)，知f (x)在x = 1處不取極值.再求四階導數(shù)f(4) (x) = 24

9、(35x3 -45x2 15x-1),有f(0) <0.因為n=4為偶數(shù)，故f (x)在x = 0取得極大值，綜上所述， f(x)在x=0為極6912823543大值,44 4 3 3f (-)-(-)(一)777為極小值.3二元函數(shù)極值問題的求解定義24 (二元函數(shù)極值的定義)(x0, y°)設函數(shù)z=f(x, y)在點(Xo，yo)的某個鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)任一異于的點(x , y ),如果f (x, y) < f(Xo,yO),則稱函數(shù)在點(xo,yo)處有極大值f(x°,yo)如果f (x,y) a f (%,yo),則稱函數(shù)在點(xo,yo)處有

10、極小值f(xO,yo)定理54極值的充分條件設函數(shù)z=f(x,y)在點(xo,yo)的某鄰域u(po)連續(xù)且有一階與二階連續(xù)偏導數(shù)，如果fn'(xo,yo) = 0, fyr(xo,yo)=0,設 A =喘'(x。, y°),B = fxy(x。, y0),C = fyy(%, y。),則當B2AC<o時，f(x0,yo) 一定為極值，并且當 A(或C) >0時，f(x0,yo)為極小值；當A (或C) <0時，f (x0, y0)為極大值;當B2AC0時，f(x0,y0)不是極值；2當B -AC =0 ,還不能斷定f (x0, y0)是否為極值，須

11、作進一步研究對這一定理不作證明，僅介紹它的記憶方法：2AC -B2xxyxff,xyyy|A> 0極小值> a<0極大值<0無=0無法判定定理64極值的必要條件若函數(shù)f (x)在點p0(x0, y0)存在偏導數(shù)且在P0取極值，則有fx (x°, y°) = 0, f y(刈,y0) = 0 .反之，若函數(shù)f (x)在點P0滿足(7.1)式，則稱點P0為f的穩(wěn)定點或駐點3.1 極值的求解步驟3.1.1 二元顯函數(shù)極值的求解步驟對于二元顯函數(shù)的自由極值問題，根據(jù)二元函數(shù)極值的必要和充分條件，可分為以下幾個步驟：步驟1.定義多元函數(shù)z=f(x, y)步驟2

12、.求解正規(guī)方程fx(x,y) =0, fy(x,y) =0,得到駐點2Zf :2z -: 2z步驟3.對于每一個駐點(Xo，yo),求出二階偏導數(shù) A=0Z，B= ，C= Z， x:x_y:y步驟4.對于每一個駐點(x0,y0),計算判別式 ACB2,如果AC B2 a 0,則該 駐點是極值點，當A > 0為極小值，A < 0為極大值;,如果AC - B2 = 0 ,判別法失效，需進一步判斷；如果AC - B2 <0 ,則該駐點不是極值點.3.1.2 二元隱函數(shù)極值的求解步驟對于隱函數(shù)F (x, y) = 0確定的函數(shù)的極值求解步驟歸納如下：利用隱函數(shù)求導方法求出y. = J

13、(x,y).g(x,y)求出函數(shù)的定義域內(nèi)特殊的點：導數(shù)等于零的點(駐點)，即 f(x, y) = 0,g(x,y)#o不存在的點，f(x,y) #0,g(x,y) =0存在的點；有的隱函數(shù)還測你在同時即是導數(shù)等于零的點又是導數(shù)(如例3中的(0,0 )點)，即f (x, y) =0,g(x, y) =0的點，對于f(x, y)=0,g(x,y)#0的點一般用第二充分條件判斷；對于f (x, y) # 0,g( x, y) = 0 ,用反證法說明或從函數(shù)方程來考慮，對于f (x, y) = 0, g(x, y) = 0的點只能從函數(shù)本身來考慮.3.1.3 極值的求法實例分析例 4 求函數(shù) f (

14、x, y) =x3 - y3 +3x2 +3y2 -9x 的極值.解先解方程組fx(x, y) =3x2 6x9=0,fy(x, y) =-3y2 6y =0,求得駐點為(1,0)、(1,2)、(-3,0 )、(-3,2 )再求出二階偏導數(shù)fxx(x, y) =6x 6, fxy(x, y) =0, fyy(x, y) = -6y 6.2_ 一 _-一一一 在點(1,0)處，ACB =12 6 >0又A >0,所以函數(shù)在(1,0)處有極小值f(1,0) = 5；2在點(1,2)處，AC -B =12.(有)<0,所以f(1,2)不是極值；在點(-3,0) 處，AC B2 =1

15、2 6 <0 ,所以 f (-3,0)不是極值；在點(-3,2)處，AC -B2 = 12 (-6) a 0又A < 0所以函數(shù)在(-3,2)處有極大值f (-3,2)=31.例55某公司通過電臺及報紙兩種方式做銷售廣告，收入R萬元與電視廣告費 x萬元及報紙廣告費y萬元之間的關(guān)系為：R=15+14x + 32y -8xy-2x2 -10y2. 在廣告費用不限的情況下，求最佳廣告策略； 若提供的廣告費用為總額 1. 5萬元，求相應最佳廣告策略.解利潤函數(shù)為L(x,y) =R(x + y) =15 + 13x + 31y - 8xy - 2x2 -10y2,求函數(shù)L的各個偏導數(shù)，并令它

16、們?yōu)?,得方程組：FL二13 -8y - 4x = 0,x- xx:L二31 - 8x - 20y = 0.fy解得 x= 0.75, y =1.25.則(0.75,1.25)為 L(x, y)惟一的駐點.又由題意，L(x,y)可導且一定存在最大值，故最大值必在這惟一的駐點處達到.所以最大利潤為 L(0.75,1.25) =39.25萬元.因此，當電視廣告費與報紙廣告費分別為0.75萬元和1.25萬元時，最大利潤為39.25萬元，此即為最佳廣告策略. 求廣告費用為1. 5萬元的條件下的最佳廣告策略，即為在約束條件x + y = 1.5下，求L(x,y)的最大值.作拉格朗日函數(shù)F(x,y) =

17、L(x,y) , (x, y)22=15 + 13x+31y 8xy 2x 10y +K(x+y1.5).求函數(shù)F(x, y)的各個偏導數(shù)，并令它們?yōu)?,得方程組干二138y4x =0, jx；:F=31 8x20y = 0.:y并和條件x+y=1.5聯(lián)立解得x=0, y =1,5 ,這是惟一的駐點，又由題意，L(x, y) 一定存在最大彳1,故 L(0,1.5)=39萬元為最大值.注：本題也可由x + y =1.5 ,解得y =1.5x,代入目標函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)求解.3.2二元函數(shù)極值的矩陣求法定理 7 6 設 x0=(x0,y0)是 F(x) = F(x, y)的一個穩(wěn)定點，H = (F

18、x；(x。)是F(x)在 a處的何塞矢I陣.如果H是定值，則F(x)在x0處達到極小值，如果 H是負定的，則F(x)在x0處到達極大值，如果H不是定彳1,則F(x)在x0處既不是極小值也不是極大值.3.2.2 極值的求解步驟求穩(wěn)定點；判斷在穩(wěn)定點處何塞矩陣的正定性；根據(jù)何塞矩陣的正定性判斷穩(wěn)定點是否為極值點；若極值存在求出相應極值點處的極值3.2.3 極值的求法實例分析例 6 求 F(x, y) =x3 _y3+3x2+3y29x 的值.解 F； = 3x2 +6x9,Fj = 6y3y2 穩(wěn)定點(1,0) , (1,2) , ( -3,0 ) , ( -3,2 )Fxx(1,0) =12,F

19、yy(1,0) =6,Fxy(1,0) = Fyx(1,0) =0.,彳2 0 " 一 矩陣正定，所以F (1,0) = 5為其極小值.<0 6J同理可求，F(xiàn)(-3,2) =31為其極大值；而(1,2) , (-3,0 )處何塞矩陣不定，所以這兩個點為其鞍點.例7 6某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，價格分別為p = 4,P2 = 8 ,產(chǎn)品分別為Q1,Q2成本函數(shù)為C(Qi,Q2)=Q； +2QQ2 +3Q22 +2,問改廠該如何生產(chǎn)才能使獲得利潤最大？解 該廠收入函數(shù) R(Q1,Q2) =4Q1+8、2于是利潤函數(shù)為2L(Q,Q2)=4Qi 8Q2-Q -2QQ2 - 2,利用一階偏導數(shù)等

20、于零可求穩(wěn)定點是(1,1) , L(Q1,Q2)在(1,1 )處何塞矩陣負定，所以L(1,1)=4 為其最大值.4三角函數(shù)極值三角函數(shù)極值是極值問題的一個重要部分，這類問題的求解往往涉及到多方面的知識，因此重視這方面的內(nèi)容，提高解決問題和綜合運用知識的能力4.1關(guān)于正弦，余弦函數(shù)極值的求法形如y =asin x+b主要弄清sin x <1;形如 y =asin x+bcosx(a, b #0).解 因為 y = Ja2+b2 sin(x+日)，所以 a aarctg b,當 x =2nn + -arctg b 時，ymax = Ja2 +b2;a2 ab當 x =2nn arctg 一時

21、，ymin = Ha +b .2 a/ 日 日形如 y =cosx cos() x) = 2cos(x )cos.22升 日H0右 cos-0 時，當 x=2nn時，ymax=2cos-; max22200當 x = (2n +1)冗一時，ymin = -2cos-.226n6若cos一<0時，當 x = 2nn時，ymin =2cos-;222當 x = (2n +1)冗一時，ymax = -2cos-.22若 8s 二二0 時，ymax = ymin =0.24.2 關(guān)于正弦，余弦二次函數(shù)極值的求法形如y =asin2 x +bsinx +c(a =0),可化為二次代函數(shù)式解之例 8

22、 求 y =2sin2 0 6sin 6 3 的極值.153 o斛 y =2sin 1-6sin r -3 = 2(sin 二-) 所以當 sine=1 即 e =2nn +(時，ymin = 7;當 sine = 1 時，即 e =2nn 1時，ymax =5.形如 y =asin2x bsin xcosx ccos2 xa (1 _cos2x) -sin 2x c (1 cos2x)a c 1 I 、-,八 i(c。a)cos 2x bsin 2x L22一二 1所以當 x=n二-arctg時，ymina c - . a2 b2 c2 - 2ac174.3 有條件制約的三角函數(shù)極值的求法例

23、9在銳角|_ ABC中，求y = cos A + cos B + cosC的極值.解因為A + B+C =180，所以y =2cosA B A - B 八 2 A B /cos 2cos 1=-2(cos1一 一 cos2A- B2)2 2 cos2Azb r，1cos2Td因為ABC是銳角三角形，用輪換關(guān)系推得a = B=C=三時,3ymax角函數(shù)式的極值問題，主要掌握sinx <1或cosx <1 ,及迭加asinx + bcosx = Ja2 +b2 sin（x+平）的形式，其他三角函數(shù)式的極值均可可以用三角恒等變形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為上述兩式后解之 .5條件極值與拉格朗日乘數(shù)法定義

24、37 （條件極值的定義）前面在求二元函數(shù) z= f （x, y）的極值時，自變量只在定義域內(nèi)變化，而對自變量沒有其它的限定條件，這樣的極值叫無條件極值但有時會遇到對自變量有附加條件的極值.如在3x+y+z+1 =0的條件下求二兀函數(shù) u=x -3xy+z的極值，象這種對自變量有附加條件的極值叫條件極值.5.1 拉格朗日乘數(shù)法7構(gòu)造輔助函數(shù)F(x,y, ) = f (x, y)+； (x, y)求偏導數(shù)Fx,二 fx (x, y) +"q、,x(x, y),Fy = fy(x,y) +My(x,y),F' = F, y), 令Fx = fx (x,y) +；，x(x,y) =0

25、Fy = fy(x, y)y (x,y) =0 ,f.,y) =0 L fj求出此方程組的解 x=xc,y=y。，則點(xO,y0)就是函數(shù)z = f(x,y)在中(x, y) =0的條件下的可能極 值點.這種方法叫拉格朗日乘數(shù)法.注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點是否為極值點，還需要加以討論.不過在實際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是 不是極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形定理88條件極值必要條件設在約束條件 中(x, y) = 0之下求函數(shù)z=f(x,y)的極值.當滿足約束條件的點(x0, y0)是函數(shù)f

26、(x,y)的條件極值點，且在該點函數(shù)平(x,y)滿足隱函數(shù)存在條件時，由方程 邛(x, y) =0決定隱函數(shù) y=g(x),于是點x0就是一元函數(shù)z= f(x,g(x)的極限點，有dz = fx + fy g (x) = 0.代入 g '(x0 ) =x(x0,y0),就有dxy(x0,y°)x(x0 , y0)fx(x0,yO) - fy(x0,y°)- = 0,y(x0,y°)即fxy - fy CPx=0 ,亦即(fx ,fy )(中 y , -中 x)=0 .可見向量（fx , fy ）與向量（中y ,平x）正交.注意到向量（中x ,中y）也與向量

27、（中y 平x）正交，即得向量（fx , fy ）與向量（平x , By）線性相關(guān),即存在實數(shù)九，使fx， fy ) +'(:x， y) =0.亦即5.2 條件極值的求法步驟根據(jù)問題意義確定目標函數(shù)與條件組； m作拉格朗日函數(shù)L（x1，x2，xn,九1,%,，力-m） = f +£標中k,其中的個數(shù)即為條 k 4件組的個數(shù);:|求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，即通過令L =0,=0 , (i =1,2,n, j =12 ,m)-xij 求出所有的穩(wěn)定點，這些穩(wěn)定點就是可能的極值點；對每一個可能的條件極值點，據(jù)理說明它是否確實為條件極值點.如果已知某實際問題或根據(jù)條件確有極值，而該問題的

28、拉格朗日函數(shù)又只有一個穩(wěn)定點，且在定義域的邊界上（或逼近邊界時）不取得極值，則這個穩(wěn)定點就是所求的條件極值點.否則，還需要采用無條件極值的充分條件來判定.5.3條件極值的求解方法及實例分析5.3.1 代入法對于一些簡單的條件極值，可以利用附加條件，消去函數(shù)中的某些變量，轉(zhuǎn)化為無條件極值.如在x+y+z+1 =0的條件下二元函數(shù) u =x33xy+z的極值，可利用附力口條件 x + y+z+1=0求出z = x y -1 ,消去函數(shù)u =x3 -3xy + z中的z后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)z = x3 - 3xy - x - y -1這時自變量x,y就不再有附加條件了，因而也就轉(zhuǎn)化為無條件極值了5.3.

29、2 拉格朗日乘數(shù)法例10 求函數(shù)f = xyz在條件x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0下的極值.解 令 L = xyz + Mx2 + y2 + z2 -1） + （x + y + z）Lx = yz 2 . x =0 ,Ly = xz 2，y =0 ,Lz = xy 2，z =0 ,得 2Zx2 +Nx =2?V2 +Ny =2 入 z2 +Pz,(1)又 x2 +y2 +z2 =1 ,(2)x+y+z=0 ,(3)由(1)得2l(x2 _ y2) = R(y _x) , 2兒(y2 _ z2) = R(z _ y),當 x#y¥z時得 2K(x + y

30、) = N, 2九(y+z)=N故得 x =z，代入(2) (3)式得2x2+y2=1,2 2x + y = 0 .解得穩(wěn)定點由對稱性得R,4(二 2 .1,6 , . 6一 ，一1 -1 二 2、，一一，P5,6 (F= 1 F= ,也穩(wěn)7E點,6 . 6 . 6例118求函數(shù)z=x2+y2在條件工+'=1下的極值.a b解本題是條件極值問題，用 Lagrange乘法，設函數(shù)為F(x，y) = x2 y2(x - -1)a brr,Fx =2x +- =0 a 九 伍=2y + - = 0, b九兒十一=1.a b解得ax = by =2, 2, a b二 一 _2T_22 ab故得

31、駐點abx 二，一 a b2, 2a b*y = 亍 a b又Fxx =Fyy =2,Fxy =0,2-2 .2 7所以d F(x, y)=2 (dx)十(dy) J> 0 ,% =£?,% =1總是極小值點. a b a b2. 2極小值a bz = x0y0 = -22a2b25.3.3 利用梯度求條件極值將梯度法用于求條件極值的問題.n 1方程組產(chǎn)則刖如川二七碗舊叫收出川的解，就是所求極值問題的可能 極$(Xi,X2，川,Xn)=0,(i=1,2川,n-1)值點.例129從斜邊之長為l的一切直角三角形中，求最大周長的直角三角形解 設兩條直角邊為 x,y本題的實質(zhì)是求 f(

32、x, y) = x+y+l在條件x2 + y2 = l2下的極值問,.、,22.2、%,1 二 2x,2y), , y ，容易解出222x y = 1題.根據(jù)本文定理，列出方程組：1grad(x+y"=zgrad(x +y 一1),進一步求解得 x y =1x = y = g,所以，根據(jù)題意J-,-是唯一的極大值點，因而 .2；22也是最大值點.當兩條直角邊都為院時，直角三角形的周長最大.26極值問題在實際生活中的應用6.1 極值理論拯救生命10發(fā)生在1953年2月的海水倒灌災難奪取了1800人的生命，毀壞了 4.7萬居民住宅，此后，荷蘭政府迫切需要修筑能保護該國數(shù)百年的新海防大堤，

33、而后，1600萬荷蘭居民得到了極值理論公式的保護，由于荷蘭一半以上的國土位于海平面以下，因此該國筑起一條條海堤加以防范，這些海堤是根據(jù)極值理論的數(shù)學原理設計，用來對付大自然最惡劣的挑戰(zhàn)，科學家們分析了該國有關(guān)此類極端事件的歷史數(shù)據(jù)，得出了新建堤防5米高的標準，這時極值理論用來被確定，在不遠的將來，再次發(fā)生災難的機會微乎其微.極值理論還是新的海事安全建議中的核心內(nèi)容，然而這些建議，旨在防止類似MVDerbyshire貨船沉沒的悲劇重演，1981年，MVDerbyshire在日本以南海面遇到臺風而沉沒，船上44名船員全部遇難，2000年，一份官方調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這艘船的前艙艙口蓋在大浪的沖擊下塌 陷，導

34、致海水涌入，這一調(diào)查結(jié)論清洗了船長和船員的冤屈，他們曾因這一悲劇的發(fā)生遭到指責.這一結(jié)論部分基于蘭開斯特大學，喬納森.陶恩教授和珍妮特.赫弗南博士的研究結(jié)果.兩位學者利用極值理論考察了船舶艙蓋被足夠狂暴的海浪沖擊所打開的可能性.在于勞氏共同研究過程中，上述兩位學者還使用極值理論，說明出了在災難發(fā)生后推薦增加防護層外，對類似 MVDerbyshire那樣大小的船舶而言，其艙蓋強度應該再提高35%.幾個月后的2001年12月，大型散裝貨船克里斯多佛號(Christopher )在亞速爾群島附近沉沒，27名船員遇難，最后時刻的無線電通訊報告顯示，該船的前艙艙口蓋已經(jīng)被海浪沖垮，這是 Derbyshi

35、re 命運可怕的重復一 一可能這也正說明，若不遵照行事，即使是最成熟的理論也起不來保護作用6.2 極值理論在其他行業(yè)中的應用例如保險業(yè)；保險公司需要對洪水，風暴和颶風等極端事件的發(fā)生幾率進行評估，因而成 為了最早的受惠者之一，若高估了風險，保險費高得不切實際， 可能嚇走顧客，如果低估了風險，一旦事件發(fā)生，保險公司又會蒙受損失，根據(jù)極值理論，颶風遵循“0.1比95”的法則，即1000種颶風中只有一種具有真正的威脅，這種颶風來一次，可以吞噬掉總理賠的95%,了解這一點后，保險公司就可以制定更適當?shù)谋ＹM水平，這對自己和客服都有利極值理論還進入了金融風險管理領(lǐng)域，這個行業(yè)至今仍因1998年長期資本管理

36、公司(LongTermCapitalManagement )的崩潰而隱隱作痛，在俄羅斯經(jīng)濟災難的打擊下，這家對沖基 金巨擘手足無措，有15家銀行組成的財團不得不進行救援，動用的資金高達35億美元，為防止這樣的事件再次發(fā)生，風險經(jīng)理們密切關(guān)注他們所謂的“受險價值( Var)”，即固定時間周期內(nèi)(一般為10個交易日)某種概率之下，比如百分之一，交易可能發(fā)生的最大虧損值.然而受險價值方法也僅僅和它所基于的概率曲線不相上下而已，極值理論顯示，使用常見的鐘型曲線也不夠 好，容易導致低估巨大沖擊的真實風險.但是，極值理論還處于襁褓期，科學家們?nèi)釉谔剿魉臐撃?，特別是在預測同時發(fā)生的幾個 極端事件方面的潛能

37、，即便如此，這一方法已經(jīng)幫組我們挽救了生命和財富了，對于我們的生活 已經(jīng)到了不可或缺的地位.7小結(jié)通過函數(shù)極值及其應用的學習我們知道了極值在函數(shù)值的計算方面的重要性，極值的求法種類可能還有很多，而且隨著數(shù)學的發(fā)展，可能會更加豐富，更加有趣.本文采取不同的形式論述各種求彳1方法.通過學習我們也了解到，函數(shù)極值定理應用也是其他學科的理論基礎(chǔ)，將對其他學科的有關(guān)學習和深入研究起著重要的意義，我們可以通過極值的求解， 深入到最值的求解方法,并且廣泛推廣，使得我們在對函數(shù)極值和最值的把握中能夠更加得當，使極值和最值理論在實際 生活中得到更充分的利用，而且通過本文更是證明了數(shù)學是人類生產(chǎn)生活必不可少的工具

38、，它使 我們的生活變的更快捷，更準確 .參考文獻1華東師范大學數(shù)學系編著.數(shù)學分析（上）及配套答案M.上海：高等教育出版社，2001:15.2華東師范大學數(shù)學系編著.數(shù)學分析（下）及配套答案M.上海：高等教育出版社，2001:16.3錢吉林編著.數(shù)學分析題解精粹（第2版）M.湖北：湖北長江出版社，2009:39.4裴禮文編著.數(shù)學分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，1993:45.5楊傳林編著.數(shù)學分析解題思想與方法M.浙:X:浙江大學出版社，2008:21-22.6寧榮健.也談條件極值問題的充分條件J.高等數(shù)學研究，2005,34（2）:125-126.7同濟大學.高等數(shù)學（上冊、下冊）M.北京：高等教育出版社，2004:27.8陸健.隱