2015高考數(shù)學（北師大版）一輪訓練：第10篇 第1講 歸納與類比（數(shù)學備課大師網(wǎng)）

1、第十篇推理證明、算法、復數(shù)第1講歸納與類比基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確B大前提不正確C小前提不正確D全不正確解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)而是復合函數(shù)，所以小前提不正確答案C2觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)解析由已知得偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)答案D3(2012&#

2、183;江西卷)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28B76C123D199解析從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.答案C4(2014·西安模擬)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)：2 / 11S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正確的運算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2

3、S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)ABCD解析經(jīng)驗證易知錯誤依題意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)綜上所述，選B.答案B5由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：“mnnm”類比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b

4、·c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”；“”類比得到“”以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A1B2C3D4解析正確；錯誤答案B二、填空題6(2014·西安五校聯(lián)考)觀察下式：112；23432；3456752；4567891072，則得出結(jié)論：_.解析各等式的左邊是第n個自然數(shù)到第3n2個連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1

5、)27若等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，前n項的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為a1(n1)·，類似地，請完成下列命題：若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的首項為b1，公比為q，前n項的積為Tn，則_答案數(shù)列為等比數(shù)列，且通項為b1()n18給出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，請從中歸納出第n個等式：_.答案2cos 三、解答題9給出下面的數(shù)表序列：其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3，5，2n1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n3)(不要求證明

6、)解表4為1 3 57 4 8 12 1220 32它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列將這一結(jié)論推廣到表n(n3)，即表n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列10f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).證明：f(x)f(1x).能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1(2012·江西卷)觀察下列事實：|x|y|1的不同整

7、數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A76B80C86D92解析由|x|y|1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|y|n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|y|20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.答案B2古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方

8、形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289B1 024C1 225D1 378解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，記該數(shù)列為an，則a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，記該數(shù)列為bn，則bnn2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225.答案C二、填空題3(2013·湖北卷)在平面直角坐標系中，若點P(x，y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為

9、N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中ABC是格點三角形，對應的S1，N0，L4.(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S，N，L分別是_；(2)已知格點多邊形的面積可表示為SaNbLc，其中a，b，c為常數(shù)若某格點多邊形對應的N71，L18，則S_(用數(shù)值作答)解析(1)四邊形DEFG是一個直角梯形，觀察圖形可知：S(2)××3，N1，L6.(2)由(1)知，S四邊形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐標系中，取一“田”字型四邊形，構(gòu)成邊長為2的正方形，該正方形中S4，N1，L8.則Sa8bc4.聯(lián)立解得a1，b.c 1.SNL1，若某格點多邊形對應的N71，L18

10、，則S71×18179.答案(1)3,1,6(2)79三、解答題4(2012·福建卷)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解(1)選擇式，計算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：sin2cos2