數(shù)學(xué)建模規(guī)劃問(wèn)題的案例PPT課件

1、假設(shè)：1、兩種產(chǎn)品的銷量不受限制2、原材料供應(yīng)不受限制約束條件：裝配線1的工時(shí)限制裝配線2的工時(shí)限制8042yx603 yx0 , 0 yx變量約束建立模型yxL80100max 0 , 06038042 s.t.yxyxyx第1頁(yè)/共115頁(yè)模型求解：8042 yx603 yxcyx 80100第2頁(yè)/共115頁(yè)1243657例2：最短路線問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模實(shí)例1415121013209128810變量變量 否則否則的路通過(guò)的路通過(guò)到到從從01jixij模模型型)(1210898131012151420min6757564745363425241312總路程總路程xxxxxxxxxxxz . .

2、ts.111312出發(fā)的一輛車出發(fā)的一輛車考慮從節(jié)點(diǎn)考慮從節(jié)點(diǎn) xx; 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxx1675747 xxx; 057564525 xxxx; 0363413 xxx. 7 , 2 , 1,10 ji，xij或或取取第3頁(yè)/共115頁(yè)12436579810例3：最短路線問(wèn)題算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路

3、線為:1-4-6-9-10，長(zhǎng)度：650第4頁(yè)/共115頁(yè)沿沿該該弧弧的的運(yùn)運(yùn)量量到到表表示示節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)jixij12436571415121013209128810變量變量模模型型例4：最小費(fèi)用流問(wèn)題)(1210898131012151420min6757564745363425241312總運(yùn)費(fèi)總運(yùn)費(fèi)xxxxxxxxxxxz . .ts.1312考慮從產(chǎn)地出發(fā)的運(yùn)量考慮從產(chǎn)地出發(fā)的運(yùn)量Qxx ; 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxxQxxx 675747; 057564525 xxxx; 0363413 xxx. 7 , 2 , 1,0 ji，

4、xij第5頁(yè)/共115頁(yè)例5：最大流量問(wèn)題變量變量。網(wǎng)絡(luò)的最大通車量網(wǎng)絡(luò)的最大通車量求通過(guò)該公路求通過(guò)該公路.1沿沿該該弧弧的的車車流流量量到到為為從從發(fā)發(fā)出出的的車車流流量量表表示示從從節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)用用jixvij模模型型vmax. .ts.1312vxx ; 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxxvxxx 675747; 057564525 xxxx; 0363413 xxx0. v各段上的流量限制各段上的流量限制12436571415121013209128810第6頁(yè)/共115頁(yè)模模型型vmax. .ts.1312vxx ; 0252412 xxx

5、; 047453424 xxxx; 0675636 xxxvxxx 675747; 057564525 xxxx; 0363413 xxx0. v各段上的流量限制各段上的流量限制第7頁(yè)/共115頁(yè)工廠定期訂購(gòu)原料，存入倉(cāng)庫(kù)供生產(chǎn)之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之用；商店成批購(gòu)進(jìn)各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫(kù)在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電。存貯模型存貯量多少合適？存貯量過(guò)大，存貯費(fèi)用太高；存貯量太小，會(huì)導(dǎo)致一次性訂購(gòu)費(fèi)用增加，或不能及時(shí)滿足需求。第8頁(yè)/共115頁(yè)問(wèn)題1 不允許缺貨的存貯模型 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)

6、量無(wú)關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)因積壓資金、占用倉(cāng)庫(kù)要付存貯費(fèi)。今已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，存貯費(fèi)每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。第9頁(yè)/共115頁(yè)問(wèn)題分析若每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)存貯費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，每天費(fèi)用5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，存貯費(fèi)900+800+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，平均每天費(fèi)用950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，存貯費(fèi)4900+4800+100=122500元

7、，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，平均每天費(fèi)用2550元；尋找生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和存貯費(fèi)之間的關(guān)系，使每天的費(fèi)用最少。第10頁(yè)/共115頁(yè)模型假設(shè)1 連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期 T 和產(chǎn)量 Q 均為連續(xù)量；2 產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù) r ；3 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi) C2；4 生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），當(dāng)存貯量 降到零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來(lái)供給需求，即 不允許缺貨。第11頁(yè)/共115頁(yè)模型建立總費(fèi)用與變量的關(guān)系總費(fèi)用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)+存貯費(fèi)存貯費(fèi)=存貯單價(jià)*存貯量存貯量=？第12頁(yè)/共115頁(yè)設(shè) t 時(shí)刻的存貯量為 q(t) ，t = 0時(shí)生產(chǎn) Q

8、件，存貯量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 線性遞減，直至q(T) = 0，如圖。q(t) = Q- r t， Q = r T 。otqQTrA不允許缺貨模型的存貯量q(t) 存貯量的計(jì)算第13頁(yè)/共115頁(yè)一個(gè)周期內(nèi)存貯量dttqT0)(一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)dttqcT02)(2QT (A的面積)一個(gè)周期的總費(fèi)用dttqccCT 021)(2222121rTccQTcc 每天平均費(fèi)用2)(21rTcTcTCTC 第14頁(yè)/共115頁(yè)2)(min 21rTcTcTCT 滿足滿足求求模型求解用微分法02)(221 rcTcTCrccT212 212crcrTQ 每天平均最小費(fèi)用rcc

9、C212 第15頁(yè)/共115頁(yè)思考1 建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用（這應(yīng)是最大一筆費(fèi) 用），在什么情況下才可以不考慮它？2 建模時(shí)作了“生產(chǎn)能力無(wú)限大”的簡(jiǎn)化假設(shè)，如 果生產(chǎn)能力有限，是大于需求量的一個(gè)常數(shù)，如何建模？第16頁(yè)/共115頁(yè)結(jié)果解釋rccT212 212crcrTQ rccC212 當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi) c1 增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)存貯費(fèi) c2 增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變小；當(dāng)日需求費(fèi) r 增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些定性結(jié)果符合常識(shí)，而定量關(guān)系（平方根，系數(shù)2 等）憑常識(shí)是無(wú)法得出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。第17頁(yè)/共115頁(yè)rccT212 rccC212 1000 10 ,100

10、 , 1 ,5000 21 CTrcc，得得當(dāng)當(dāng)這里得到的費(fèi)用C與前面計(jì)算得950元有微小差別，你能解釋嗎？在本例中第18頁(yè)/共115頁(yè)敏感性分析討論參數(shù)rcc, 21有微小變化時(shí)對(duì)生產(chǎn)周期T 影響。由相對(duì)變化量衡量對(duì)參數(shù)的敏感程度。T 對(duì)c1 的敏感程度記為),(1cTS111),(ccTTcTS TcdcdT11 Tcrccrc12122221 2121),(2 cTS21),( rTS第19頁(yè)/共115頁(yè)意義是當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期增加0.5% ；而存貯費(fèi)增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期減少0.5% ；日需求量增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期減少0.5% 。21),(1 cTS21),(2 cTS21),

11、( rTS當(dāng)rcc, 21有微小變化對(duì)生產(chǎn)周期影響不太大。第20頁(yè)/共115頁(yè)模型假設(shè)1 連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期 T 和產(chǎn)量 Q 均為連續(xù)量；2 產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù) r ；3 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi) C2；4 生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），允許缺 貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費(fèi)C3 ，但缺貨數(shù)量需 在下次生產(chǎn)（訂貨）時(shí)補(bǔ)足。問(wèn)題2 允許缺貨的存貯模型第21頁(yè)/共115頁(yè)模型建立總費(fèi)用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)+存貯費(fèi)+缺貨損失費(fèi)存貯費(fèi)=存貯單價(jià)*存貯量缺貨損失費(fèi)=缺貨單價(jià)*缺貨量存貯量=？，缺貨量=？第22頁(yè)/共115頁(yè)因存貯量不足造成缺貨，因此 q(t) 可取負(fù)值， q(t) 以需求速

12、率 r 線性遞減，直至q(T1) = 0，如圖。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。otqQTrA允許缺貨模型的存貯量q(t) RT1B第23頁(yè)/共115頁(yè)一個(gè)周期內(nèi)缺貨損失費(fèi)一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)dttqcT 102)(212QTc 一個(gè)周期的總費(fèi)用rQrTcrQccC2)(223221 每天平均費(fèi)用dttqcTT 1)(32)(13TTQrTc rQrTc2)(23 rQc222 rTQrTcrTQcTcQTC2)(2),(23221 第24頁(yè)/共115頁(yè) ,滿足滿足求求QT模型求解用微分法 令332212cccrccT 323212ccccrcQ 每天平均最小費(fèi)用),(QTCC r

13、TQrTcrTQcTcQTC2)(2),(min23221 0),( , 0),( QQTCTQTC第25頁(yè)/共115頁(yè)每個(gè)周期的供貨量TrR 332212cccrccrR 332ccc 與不允許缺貨模型相比較，有QRQQTT ,/ ,第26頁(yè)/共115頁(yè)QRQQTT ,/ ,結(jié)果解釋QRQQTT , , , 1 即允許缺貨時(shí)，周期和供貨量增加，周期初的存貯量減少。2）缺貨損失費(fèi)愈大， 愈小， 愈接近 ， 愈接近 。1）TTRQ , Q332ccc 3），時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)13 cQRQQTT , ,不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例。第27頁(yè)/共115頁(yè)企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃奶制品的生產(chǎn)與銷售 空間層次

14、工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。時(shí)間層次若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計(jì)劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。本節(jié)課題第28頁(yè)/共115頁(yè) 一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1、A2兩種奶制品，一桶牛奶可以在甲類設(shè)備上用12小時(shí)加工成3公斤A1，或者在乙類設(shè)備上用8個(gè)小時(shí)加工成4公斤A2。根據(jù)市場(chǎng)需求，生產(chǎn)的A1，A2全部都能售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間為4

15、80小時(shí)，并且甲類設(shè)備每天之多能加工100公斤A1，乙類設(shè)備沒(méi)有加工能力限制。試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大，并進(jìn)一步討論一以下3個(gè)附加問(wèn)題：例1 加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃 35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? A1的獲利增加到 30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 第29頁(yè)/共115頁(yè)例1 加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶 時(shí)間480小時(shí) 至多加工100公斤A1 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大 35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?

16、可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? A1的獲利增加到 30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 每天：第30頁(yè)/共115頁(yè)1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利 243x1 獲利 164 x2 原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力 10031x決策變量 目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利約束條件非負(fù)約束 0,21xx線性規(guī)劃模型(LP)時(shí)間480小時(shí) 至多加工100公斤A1 50桶牛奶 每天第31頁(yè)/共115頁(yè)模型分析與假設(shè) 比例性 可加性 連續(xù)性 xi對(duì)目標(biāo)函

17、數(shù)的“貢獻(xiàn)”與xi取值成正比 xi對(duì)約束條件的“貢獻(xiàn)”與xi取值成正比 xi對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“貢獻(xiàn)”與xj取值無(wú)關(guān) xi對(duì)約束條件的“貢獻(xiàn)”與xj取值無(wú)關(guān) xi取值連續(xù) A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時(shí)間是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時(shí)間是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù) 線性規(guī)劃模型第32頁(yè)/共115頁(yè)模型求解 圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031 x0,21 xx約束條件50:211 xxl480812:21

18、2 xxl1003:13 xl0:, 0:2514 xlxl216472xxzMax 目標(biāo)函數(shù) Z=0Z=2400Z=3600z=c (常數(shù)) 等值線c在B(20,30)點(diǎn)得到最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形 目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。 第33頁(yè)/共115頁(yè) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PR

19、ICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2模型求解 軟件實(shí)現(xiàn) LINDO 6.1 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100endDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)A2，利潤(rùn)3360元。 第34頁(yè)/共115頁(yè) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.

20、000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2：結(jié)果解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

21、 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料無(wú)剩余時(shí)間無(wú)剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三種資源“資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 第35頁(yè)/共115頁(yè)結(jié)果解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000

22、ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2最優(yōu)解下“資源”增加1單位時(shí)“效益”的增量 原料增加1單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)48 時(shí)間增加1單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)2 加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)影子價(jià)格 35元可買到1桶牛奶，要買嗎？35 48, 應(yīng)該買！ 聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？ 2元！第36頁(yè)/共115頁(yè)RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT

23、RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE C O E F I N C R E A S E DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE R H S I N C R E A S E DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.0000

24、00 INFINITY 40.000000最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yesx1系數(shù)范圍(64,96) x2系數(shù)范圍(48,72) A1獲利增加到 30元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃 x1系數(shù)由24 3=72增加為303=90，在允許范圍內(nèi) 不變！(約束條件不變)第37頁(yè)/共115頁(yè)結(jié)果解釋 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECR

25、EASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE R H S I N C R E A S E DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子價(jià)格有意義時(shí)約束右端的允許變化范圍 原料最多增加10 時(shí)間最多增加53 35元可買到1桶牛奶，每天

26、最多買多少？最多買10桶!(目標(biāo)函數(shù)不變)第38頁(yè)/共115頁(yè)例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃 例1給出的A1、A2兩種奶制品的生產(chǎn)條件、利潤(rùn)、及工廠的“資源”限制都不變，為增加工廠的獲利，開發(fā)了奶制品的深加工技術(shù)：用2小時(shí)和3元加工費(fèi)可將1公斤A1加工成0.8公斤的高級(jí)奶制品B1，也可將1公斤A2加工成0.75公斤的高級(jí)奶制品B2，每公斤B1能獲利44元，每公斤B2能獲利32元。試為該廠制定一個(gè)生產(chǎn)銷售計(jì)劃，使每天的凈利潤(rùn)最大，并討論以下問(wèn)題： 若投資30元可增加1桶牛奶，投資3元可增加1小時(shí)勞動(dòng)時(shí)間，應(yīng)否應(yīng)做這些投資？現(xiàn)每天投資150元，可賺回多少？ B1，B2的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)定制的

27、計(jì)劃有無(wú)影響？若每公斤B1的獲利下降10，計(jì)劃應(yīng)該變化嗎？第39頁(yè)/共115頁(yè)例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃 在例1基礎(chǔ)上深加工1桶牛奶 3千克A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 0.8千克B12小時(shí),3元1千克獲利44元/千克 0.75千克B22小時(shí),3元1千克獲利32元/千克 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大 50桶牛奶, 480小時(shí) 至多100公斤A1 若投資30元可增加1桶牛奶，投資3元可增加1小時(shí)勞動(dòng)時(shí)間，應(yīng)否應(yīng)做這些投資？現(xiàn)每天投資150元，可賺回多少？ B1，B2的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)定制的計(jì)劃有無(wú)影響？若每公斤B1的獲利下降10，計(jì)劃應(yīng)該變

28、化嗎？第40頁(yè)/共115頁(yè)1桶牛奶 3千克 A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4千克 A2 或獲利24元/千克 獲利16元/kg 0.8千克 B12小時(shí),3元1千克獲利44元/千克 0.75千克 B22小時(shí),3元1千克獲利32元/千克 出售x1 千克 A1, x2 千克 A2， X3千克 B1, x4千克 B2原料供應(yīng) 勞動(dòng)時(shí)間 加工能力 決策變量 目標(biāo)函數(shù) 利潤(rùn)約束條件非負(fù)約束 0,61xx x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束 5380 x.x

29、64750 x.x 第41頁(yè)/共115頁(yè)模型求解 軟件實(shí)現(xiàn) LINDO 6.1 5043) 26251xxxx48022)(2)(4)3656251xxxxxx OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL

30、 PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2600334) 26521xxxx44804624) 36521xxxxDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No第42頁(yè)/共115頁(yè) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000

31、 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2結(jié)果解釋每天銷售168 千克A2和19.2 千克B1， 利潤(rùn)346

32、0.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，將得到的24千克A1全部加工成B1 除加工能力外均為緊約束第43頁(yè)/共115頁(yè)結(jié)果解釋 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)

33、 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加1桶牛奶使利潤(rùn)增長(zhǎng)3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 26521xxxx4增加1小時(shí)時(shí)間使利潤(rùn)增長(zhǎng)3.26 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？投資150元增加5桶牛奶，可賺回189.6元。（大于增加時(shí)間的利潤(rùn)增長(zhǎng)）第44頁(yè)/共115頁(yè)結(jié)果解釋B1,B2的獲利有10%的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響 RANGES I

34、N WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINI

35、TY DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? YesB1獲利下降10%，超出X3 系數(shù)允許范圍B2獲利上升10%，超出X4 系數(shù)允許范圍波動(dòng)對(duì)計(jì)劃有影響生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)重新制訂：如將x3的系數(shù)改為39.6計(jì)算，會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果有很大變化。 第45頁(yè)/共115頁(yè)自來(lái)水輸送與貨機(jī)裝運(yùn)生產(chǎn)、生活物資從若干供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)送到一些需求點(diǎn)，怎樣安排輸送方案使運(yùn)費(fèi)最小，或利潤(rùn)最大；運(yùn)輸問(wèn)題各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高，或裝箱數(shù)量最少。第46頁(yè)/共115頁(yè)其他費(fèi)用:450元/千噸 應(yīng)如何分配水庫(kù)供水量，公司才能獲利最多？ 若水庫(kù)供水量都提高一倍，公司利潤(rùn)可增加到

36、多少？ 元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費(fèi)例例1 自來(lái)水輸自來(lái)水輸送送收入：900元/千噸 支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40水庫(kù)供水量(千噸)小區(qū)基本用水量(千噸)小區(qū)額外用水量(千噸)（以天計(jì)）第47頁(yè)/共115頁(yè)總供水量：160確定送水方案使利潤(rùn)最大問(wèn)題分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40 總需求量(300)每個(gè)水庫(kù)最大供水量都提高一倍利潤(rùn) = 收入(900) 其它費(fèi)用(450) 引水管理費(fèi)利潤(rùn)(元/千噸)甲乙丙丁A29032

37、0230280B310320260300C260250220/3332312423222114131211220250260300260320310280230320290 xxxxxxxxxxxZMax供應(yīng)限制B, C 類似處理50:A14131211xxxx10014131211xxxx問(wèn)題討論 確定送水方案使利潤(rùn)最大需求約束可以不變第51頁(yè)/共115頁(yè)求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0

38、.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 這類問(wèn)題一般稱為“運(yùn)輸問(wèn)題”(Transportation Problem)總利潤(rùn) 88700（元） A(100)B(120)C(100)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;

39、40)4010050305030第52頁(yè)/共115頁(yè)如何裝運(yùn)，使本次飛行獲利最大？ 三個(gè)貨艙最大載重(噸),最大容積(米3) 例例2 貨機(jī)裝貨機(jī)裝運(yùn)運(yùn) 重量（噸）空間( 米3/噸）利潤(rùn)（元/噸）貨物1184803100貨物2156503800貨物3235803500貨物4123902850三個(gè)貨艙中實(shí)際載重必須與其最大載重成比例 前倉(cāng)：10；6800中倉(cāng)：16；8700后倉(cāng)：8；5300飛機(jī)平衡第53頁(yè)/共115頁(yè)決策變量 xij-第i 種貨物裝入第j 個(gè)貨艙的重量(噸）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分別代表前、中、后倉(cāng))模型假設(shè) 每種貨物可以分割到任意?。回洐C(jī)裝運(yùn)每種貨物可以在一個(gè)

40、或多個(gè)貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙； 模型建立 第54頁(yè)/共115頁(yè)貨艙容積 目標(biāo)函數(shù)(利潤(rùn))約束條件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxZMax 680039058065048041312111 xxxx870039058065048042322212 xxxx530039058065048043332313 xxxx貨機(jī)裝運(yùn)模型建立 貨艙重量 1041312111 xxxx1642322212 xxxx843332313 xxxx10；680016；87008；5300 xij-第i

41、種貨物裝入第j 個(gè)貨艙的重量第55頁(yè)/共115頁(yè)約束條件平衡要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx 貨物供應(yīng) 18131211 xxx15232221 xxx23333231 xxx12434241 xxx貨機(jī)裝運(yùn)模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第i 種貨物裝入第j 個(gè)貨艙的重量第56頁(yè)/共115頁(yè) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.89473

42、7 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 貨物2：前倉(cāng)10,后倉(cāng)5； 貨物3: 中倉(cāng)13, 后倉(cāng)3；貨物4: 中倉(cāng)3。貨機(jī)裝運(yùn)模型求解 最大利潤(rùn)約121516元貨物供應(yīng)點(diǎn)貨艙需求

43、點(diǎn)平衡要求運(yùn)輸問(wèn)題運(yùn)輸問(wèn)題的擴(kuò)展第57頁(yè)/共115頁(yè)設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 模型建立 小型 中型 大型 現(xiàn)有量鋼材 1.5 3 5 600時(shí)間 280 250 400 60000利潤(rùn) 2 3 4 線性規(guī)劃模型(LP)第58頁(yè)/共115頁(yè)模型求解 3） 模型中增加條件：x1, x2, x3 均為整數(shù)，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED

44、COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？1）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標(biāo)函數(shù)值z(mì)=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計(jì)算函數(shù)值z(mì)，通過(guò)比較可能得到更優(yōu)的解。 但必須檢驗(yàn)它們是否滿足約束條件。為什么？第59頁(yè)/共115頁(yè)IP可用LIN

45、DO直接求解整數(shù)規(guī)劃(Integer Programming,簡(jiǎn)記IP)“gin 3”表示“前3個(gè)變量為整數(shù)”，等價(jià)于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.0000

46、00 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321 xxx為非負(fù)整數(shù)為非負(fù)整數(shù)321,xxx模型求解 IP 結(jié)果輸出第60頁(yè)/共115頁(yè)其中3個(gè)子模型應(yīng)去掉，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法1：分解為8個(gè)LP子模型 汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。321432x

47、xxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1,x2, x3=0 或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=610第61頁(yè)/共115頁(yè)LINDO中對(duì)0-1變量的限定：int y1int y2int y3 方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù)，可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000

48、Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最優(yōu)解同前 第62頁(yè)/共115頁(yè)NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解(如LINGO, MATLAB)，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。 方法3：化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡(jiǎn)記NLP） 實(shí)踐表明，本例僅當(dāng)初值

49、非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時(shí)，才能得到正確的結(jié)果。 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx第63頁(yè)/共115頁(yè)應(yīng)如何安排原油的采購(gòu)和加工 ？ 例例2 原油采購(gòu)與加原油采購(gòu)與加工工 市場(chǎng)上可買到不超過(guò)1500噸的原油A： 購(gòu)買量不超過(guò)500噸時(shí)的單價(jià)為10000元/噸； 購(gòu)買量超過(guò)500噸但不超過(guò)1000噸時(shí)，超過(guò)500噸的 部分8000元/噸； 購(gòu)買量超過(guò)1000噸時(shí)，超過(guò)1000噸的部分6000元/噸。 售價(jià)4800元/噸 售價(jià)5600元/噸庫(kù)存500噸 庫(kù)存1000噸

50、 汽油甲(A50%) 原油A 原油B 汽油乙 (A60%) 第64頁(yè)/共115頁(yè)決策變量 目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題分析 利潤(rùn)：銷售汽油的收入 - 購(gòu)買原油A的支出 難點(diǎn)：原油A的購(gòu)價(jià)與購(gòu)買量的關(guān)系較復(fù)雜)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzMax甲(A50%) A B 乙(A60%) 購(gòu)買xx11x12x21x224.8千元/噸 5.6千元/噸原油A的購(gòu)買量,原油A, B生產(chǎn)汽油甲,乙的數(shù)量c(x) 購(gòu)買原油A的支出利潤(rùn)(千元)c(x)如何表述？第65頁(yè)/共115頁(yè)原油供應(yīng) 約束條件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(

51、500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500噸單價(jià)為10千元/噸； 500噸 x 1000噸，超過(guò)500噸的8千元/噸；1000噸 x 1500噸，超過(guò)1000噸的6千元/噸。 目標(biāo)函數(shù)購(gòu)買xA B x11x12x21x22庫(kù)存500噸 庫(kù)存1000噸 第66頁(yè)/共115頁(yè) 目標(biāo)函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對(duì)于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡(jiǎn)，用現(xiàn)成的軟件求解。 汽油含原油A的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 約束條件甲(A50%) A

52、 B 乙(A60%) x11x12x21x22第67頁(yè)/共115頁(yè)x1 , x2 , x3 以價(jià)格10, 8, 6(千元/噸)采購(gòu)A的噸數(shù)目標(biāo)函數(shù) 只有當(dāng)以10千元/噸的價(jià)格購(gòu)買x1=500(噸)時(shí)，才能以8千元/噸的價(jià)格購(gòu)買x2方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzMax0)500(32xx500,0321xxx非線性規(guī)劃模型，可以用LINGO求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500噸 x 1000噸，超過(guò)500噸的8千元/噸增加約束0)500(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 1

53、0 x1+8x2+6x3 第68頁(yè)/共115頁(yè)方法1：LINGO求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value

54、Reduced CostX 1 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0.0000000E+00X 2 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0.0000000E+00X 1 2 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 0.0000000E+00X 2 2 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 0.0000000E+00 LINGO得到

55、的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？ 用庫(kù)存的500噸原油A、500噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購(gòu)買新的原油A，利潤(rùn)為4,800千元。 第69頁(yè)/共115頁(yè)y1, y2 , y3=1 以價(jià)格10, 8, 6(千元/噸)采購(gòu)A增加約束方法2 0-1線性規(guī)劃模型，可用LINDO求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1,y2,y3 =0或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0.000000 Y 2 1 . 0 0 0 0 0 0 2200

56、.000000 Y 3 1 . 0 0 0 0 0 0 1200.000000 X 1 1 0 . 0 0 0 0 0 0 0.800000 X 2 1 0 . 0 0 0 0 0 0 0.800000 X 1 2 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0.000000 X 2 2 1 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0.000000 X 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0.000000 X 2 5 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0.000000 X 3 0 . 0 0 0 0 0 0 0.400000 X 1000.000000 0.000000 購(gòu)買1000

57、噸原油A，與庫(kù)存的500噸原油A和1000噸原油B一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤(rùn)為5,000千元 。x1 , x2 , x3 以價(jià)格10, 8, 6(千元/噸)采購(gòu)A的噸數(shù)y=0 x=0 x0 y=1優(yōu)于方法1的結(jié)果第70頁(yè)/共115頁(yè)b1 b2 b3 b4方法3 b1 xb2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z20, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b

58、4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc 直接處理處理分段線性函數(shù)c(x) 第71頁(yè)/共115頁(yè)IP模型，LINDO求解，得到的結(jié)果與方法2相同.處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbkxbk+1yk=1,否則,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321321或yyyyy

59、y方法3 bkxbk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1 b2 b3 b4對(duì)于k=1,2,3第72頁(yè)/共115頁(yè)分派問(wèn)題 接力隊(duì)選拔和選課策略若干項(xiàng)任務(wù)分給一些候選人來(lái)完成，每人的專長(zhǎng)不同，完成每項(xiàng)任務(wù)取得的效益或需要的資源就不同，如何分派任務(wù)使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少。若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各個(gè)策略之間有相互制約關(guān)系，如何在滿足一定條件下作出決擇，使得收益最大或成本最小。第7

60、3頁(yè)/共115頁(yè)丁的蛙泳成績(jī)退步到115”2；戊的自由泳成績(jī)進(jìn)步到57”5, 組成接力隊(duì)的方案是否應(yīng)該調(diào)整？如何選拔隊(duì)員組成4100米混合泳接力隊(duì)?例例1 混合泳接力隊(duì)的選拔混合泳接力隊(duì)的選拔 甲乙丙丁戊蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳58”653”59”457”2102”45名候選人的百米成績(jī)窮舉法：組成接力隊(duì)的方案共有5!=120種。第74頁(yè)/共115頁(yè)目標(biāo)函數(shù)若選擇隊(duì)員i參加泳姿j 的比賽，記xij=1, 否則記xij=0 0-1規(guī)劃模規(guī)劃模型型 cij(秒)隊(duì)員i