華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)

1、第八節(jié) 連續(xù)函數(shù)一、函數(shù)連續(xù)的定義。定義1：如果函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義。當(dāng)自變量的增量趨近零時(shí)，函數(shù)增量也趨近于零。即則稱函數(shù)在處連續(xù)。因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有。因此我們有：反之，如果有。則有：因此對(duì)于函數(shù)的連續(xù)性還有以下定義：定義2：如果函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義。當(dāng)趨近時(shí)，函數(shù)的極限為。即。則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。我們還可以用“”語(yǔ)言來(lái)定義連續(xù)。定義3：如果函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義。對(duì)于任給的，一定存在。當(dāng)時(shí)有則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。定義4：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱函數(shù)是開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并稱開區(qū)間是的連續(xù)區(qū)間。如果函數(shù)在一閉區(qū)間上有定義，因此函數(shù)在和處分別只可能存在右極限和左極限。此時(shí)如果或

2、則分別稱函數(shù)在或處連續(xù)。定義5：（左連續(xù)和右連續(xù)）如果函數(shù)在的一個(gè)左半鄰域內(nèi)（右半鄰域內(nèi)）有定義。如果（或則稱函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)（或右連續(xù)）。注：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件為在此點(diǎn)左連續(xù)且右連續(xù)。例1 ：證明 函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。證明 ：因?yàn)槔脢A逼準(zhǔn)則有，。即函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。例2 ：，問(wèn)取何值時(shí)，在和處連續(xù)。解：要使在和處連續(xù)，則要有，利用連續(xù)與左連續(xù)、右連續(xù)的關(guān)系得方程組解得。二、連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)定理1：1）有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。2）有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。3）兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)，只要分母在該

3、點(diǎn)不為零。我們證明3）。證明 ：已知，則。利用極限的除法運(yùn)算法則得注：正切和余切函數(shù)在其定于域上是連續(xù)的。定理2：如果函數(shù)在處連續(xù)，且，函數(shù)在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在處連續(xù)。證明：因?yàn)?，利用?fù)合函數(shù)求極限法則 定理3：（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)在上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增（或減），記。則1）在區(qū)間（或）上存在反函數(shù)；2）在區(qū)間（或）上嚴(yán)格單調(diào)增（或減）；3）在區(qū)間（或）上連續(xù)。 證明：1）要說(shuō)明對(duì)每一個(gè)（或）都有唯一的，使得。（這樣用到閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，以后再證明）2）若，且。如果由于嚴(yán)格單調(diào)減，這與已知矛盾。所以，即在上嚴(yán)格單調(diào)減。3）對(duì)任給的，我們要證明對(duì)任給的，要使當(dāng)充分小時(shí)，去掉絕對(duì)值后有設(shè)，由

4、單調(diào)性（嚴(yán)格單調(diào)減）有因?yàn)?，由單調(diào)性（嚴(yán)格單調(diào)減）有所以。取，當(dāng)時(shí)有由的單調(diào)性（嚴(yán)格單調(diào)減）有所以。在端點(diǎn)處只需考慮半個(gè)鄰域，證明類似。這里從略。注：反三角函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。定理4：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。三、函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)在的某去心鄰域有定義，但在點(diǎn)不連續(xù)。主要有下面三種情況：1） 函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義。2） 函數(shù)在點(diǎn)處有定義，但不存在。3） 函數(shù)在點(diǎn)處有定義，且存在，但不等于。例3 ：考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。解：在處無(wú)定義。所以不連續(xù)。（如圖17）例4 ：考慮符號(hào)函數(shù)在處的連續(xù)性。解：不存在。所以不連續(xù)。（如圖18）例5 ：考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。解：因?yàn)?。所以不連續(xù)。（如圖19

5、）以上所給的例子函數(shù)雖在處不連續(xù)，但在處的左極限和右極限都存在。這類不連續(xù)點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)。其他情況稱為第二類間斷點(diǎn)。例6 ：因?yàn)?所以是函數(shù)的間斷點(diǎn)。（無(wú)窮間斷點(diǎn)）（如圖20）例7 ：因?yàn)?，所以是函?shù)的間斷點(diǎn)。（振蕩間斷點(diǎn)）（如圖21）四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、最大值何最小值定理。定義1：函數(shù)在開區(qū)間上有定義，如果存在使得對(duì)一切都有 （或）則稱是函數(shù)在開區(qū)間上的最大值（或最小值）。定理1：（最大值與最小值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則存在使得對(duì)任意的都有。證明 ：略。定理2：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上必有界。證明 ：因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，由定理1，存在使得對(duì)任意的都有，

6、即在上既有上界又有下界，所以函數(shù)在閉區(qū)間上必有界。2、介值定理定理3：（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得。證明 ：略。例8：證明方程有小于的正實(shí)跟。證明：在閉區(qū)間考慮函數(shù)，是初等函數(shù)且在有定義，因此在閉區(qū)間連續(xù)。又因?yàn)椋闪泓c(diǎn)定理，方程有小于的正實(shí)跟。定理4：（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又，且。若是之間任一實(shí)數(shù)，則在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)，使得證明：考察函數(shù)，顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且；根據(jù)零值定理，在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)使得即有推論：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，分別為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值，則對(duì)于之間的任意實(shí)數(shù)，在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)使得。證明：設(shè)，無(wú)妨設(shè)，則有因此在是連續(xù)的。由介值定理，對(duì)于之間的任意實(shí)數(shù)，至少存在一點(diǎn)使得。注：如果在上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增（或減），記。則就是最大值和最小值，因此之間的任何數(shù)，都存在有。由單調(diào)性可得唯一性。例9：若在區(qū)間上連續(xù)，且存在，試證明是區(qū)間 上的有界函數(shù)。例10：證明：證明：方程至少有一個(gè)正根，并且不超