2022年考研數(shù)學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》知識(shí)點(diǎn)總結(jié),推薦文檔2

1、第一章概率論的基本概念定義：隨機(jī)試驗(yàn)e 的每個(gè)結(jié)果 樣本點(diǎn) 組成 樣本空間 s，s 的子集為e 的隨機(jī)事件，單個(gè)樣本點(diǎn)為基本事件 事件關(guān)系：1ab，a 發(fā)生必導(dǎo)致b 發(fā)生2ab 和事件， a，b 至少一個(gè)發(fā)生， ab 發(fā)生3ab 記 ab 積事件， a，b 同時(shí)發(fā)生， ab 發(fā)生4 a b 差事件， a 發(fā)生， b 不發(fā)生， ab 發(fā)生5ab=? ，a 與 b 互不相容 (互斥 )，a 與 b 不能同時(shí)發(fā)生，基本事件兩兩互不相容6ab= s且 ab=? ，a 與 b 互為 逆事件 或?qū)α⑹录?，a 與 b 中必有且僅有一個(gè)發(fā)生，記 b=asa事件運(yùn)算：交換律、結(jié)合律、分配率略德摩根律：baba，

2、baba概率：概率就是 n 趨向無(wú)窮時(shí)的頻率， 記 p(a) 概率性質(zhì) : 1p(?)=0 2(有限可加性 )p(a1a2an)=p(a1)+p(a2)+p(an)，ai互不相容3若 ab，則 p(ba)= p(b)p(a) 4對(duì)任意事件a，有)a(1)a(pp5p(ab)=p(a)+ p(b)p(ab) 古典概型：即等可能概型，滿足：1s 包含有限個(gè)元素2每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同等概公式：中樣本點(diǎn)總數(shù)中樣本點(diǎn)數(shù)sa)a(nkp超幾何分布：nnkndnkdp，其中racra條件概率：)a()ab()ab(ppp乘法定理：)a()ab()abc()abc()a()ab()ab(ppppppp

3、全概率公式：)b()ba()b()ba()b()ba()a(2211nnppppppp，其中ib為 s 的劃分 貝葉斯公式：)a()b()ba()ab(ppppiii，njjjbpbapap1)()()(或)()()()()()()(bpbapbpbapbpbapabp獨(dú)立性：滿足 p(ab)= p(a) p(b) ，則 a，b 相互獨(dú)立 ，簡(jiǎn)稱(chēng) a，b 獨(dú)立 定理一：a，b 獨(dú)立，則 p(b|a)= p(b)定理二：a，b 獨(dú)立，則a 與b，a與b，a與b也相互獨(dú)立第二章隨機(jī)變量及其分布(01)分布：kkppkxp1)1 (，k=0，1 （0p1） 伯努利實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：a 及

4、a二項(xiàng)式分布：記 xb（ n，p） ，knkknppckxp)1( n 重伯努利實(shí)驗(yàn)：獨(dú)立且每次試驗(yàn)概率保持不變其中 a 發(fā)生 k 次，即二項(xiàng)式分布泊松分布：記 x （ ） ，!kekxpk，,2, 1 ,0k泊松定理：!)1 (limkeppckknkknn，其中np當(dāng)20n，05.0p應(yīng)用泊松定理近似效果頗佳隨機(jī)變量分布函數(shù)：)(xxpxf，x)()(1221xfxfxxxp連續(xù)型隨機(jī)變量：xttfxfd)()(，x 為連續(xù)型隨機(jī)變量，)(xf為 x 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng) 概率密度 概率密度性質(zhì)：10)(xf； 21d)(xxf； 321d)()()(1221xxxxfxfxfxxxp；

5、4)()(xfxf，f(x)在 x 點(diǎn)連續(xù)； 5px= a=0均勻分布：記 xu( a，b)；其它，01)(bxaabxf；bxbxaabaxaxxf，10)(性質(zhì)：對(duì) a cc+l b，有abllcxcp精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -指數(shù)分布：其它，001)(xexfx；其它，001)(xexfx無(wú)記憶性 ：txpsxtsxp正態(tài)分布

6、：記),(2nx；2)(exp21)(22xxf；ttxfxd2)(exp21)(22性質(zhì)：1f(x)關(guān)于 x=對(duì)稱(chēng)，且 p -hx = p z= ，0 0(或 g (x)x1時(shí)， f（x2，y） f（x1，y） ；y2y1時(shí)， f（x，y2） f（x，y1） 20 f（x，y） 1 且 f（- ， y）=0，f（ x，- ）=0，f（- ，- ）=0，f（+ ， +）=13f（ x+0，y）=f（x，y） ， f（x，y+0）=f（x，y） ，即 f（ x，y）關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于y 也右連續(xù)4對(duì)于任意的 (x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有 px1x x2，y10 有1

7、1lim1knknxnp或px，knkxnx11定義：y1，y2， y n ，是一個(gè)隨機(jī)變量序列， a 是一個(gè)常數(shù)若對(duì)任意 0，有1|limaypnn則稱(chēng)序列y1，y2，yn ， 依 概 率 收 斂 于a記aypn伯努利大數(shù)定理：對(duì)任意 0 有1limpnfpan或0limpnfpan其中 f a是 n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件a發(fā)生的次數(shù)， p 是事件 a 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率中心極限定理定理一：設(shè) x1,x2,xn ,相互獨(dú)立并服從同一分布，且e(x k)= ，d(x k)= 2 0，則 n時(shí)有nnxknk)(1n(0，1)或nxn(0，1)或xn( ，n2)定理二：設(shè) x1,x2,x n ,

8、相互獨(dú)立且e(xk)=k， d(xk)=k2 0，若存在 0 使 n時(shí)，0|1212kknknxeb， 則nknkknkbx)(11n(0， 1)， 記212knknb定理三：設(shè)),(pnbn，則 n時(shí)，npnpnpn)1 ()(0，1)，knknx1第六章樣本及抽樣分布定義：總體 ：全部值； 個(gè)體 ：一個(gè)值； 容量 ：個(gè)體數(shù)； 有限總體 ：容量有限；無(wú)限總體 ：容量無(wú)限定義：樣本 ：x1,x2,x n 相互獨(dú)立并服從同一分布f 的隨機(jī)變量，稱(chēng)從f 得到的容量為n 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本頻率直方圖：圖形：以橫坐標(biāo)小區(qū)間為寬，縱坐標(biāo)為 高 的 跨 越 橫 軸的幾個(gè)小矩形橫坐標(biāo)：數(shù)據(jù)區(qū)間（大區(qū)間下限比最小

9、數(shù)據(jù)值稍小，上限比最大數(shù)據(jù)值稍大；小區(qū)間：均分大區(qū)間，組距 =大區(qū)間 /小區(qū)間個(gè)數(shù)；小區(qū)間界限：精度比數(shù)據(jù)高一位）圖形特點(diǎn)：外輪廓接近于總體的概率密度曲線縱坐標(biāo)：頻率/組距（總長(zhǎng)度：1/ ；小區(qū)間長(zhǎng)度：頻率/組距） 定義：樣本 p 分位數(shù) ：記 xp，有 1樣本 xi中有 np 個(gè)值 xp2樣本中有n(1p)個(gè)值 xp箱線圖：xp選擇：記nnpxxnnpxxnpnpnpp當(dāng)，當(dāng)，211)()()1(分位數(shù) x0.5，記為 q2或 m，稱(chēng)為 樣本中位數(shù) 分位數(shù) x0.25，記為 q1，稱(chēng)為 第一四分位數(shù)分位數(shù) x0.75，記為 q3，稱(chēng)為 第三四分位數(shù)圖形：圖形特點(diǎn)： m 為數(shù)據(jù)中心，區(qū)間min

10、 ，q1， q1，m，m，q3，q3，max數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)各占1/4，區(qū)間越短數(shù)據(jù)密集四分位數(shù)間距：記 iqr=q3q1；若數(shù)據(jù) x q3+1.5iqr，就認(rèn)為x 是疑似異常值 抽樣分布：樣本平均值：inixnx11樣本方差：)(11)(11221212xnxnxxnsiniini樣本標(biāo)準(zhǔn)差：2ss樣本k 階(原點(diǎn) )矩：kinikxna11， k 1 樣本 k 階中心矩：kinikxxnb)(11，k 2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：)(1)(xsnxfn，x)(xs表示 f 的一個(gè)樣本x1,x2,x n 中不大于 x 的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)自由度為n 的 2分布：記 22（n） ，222212nxxx，其中 x1,

11、x2,x n是來(lái)自總體n(0，1)的樣本 e(2 )=n，d(2 )=2n12+222（n1+n2） 其他，00)2(21)(2122yexnyfynn2分布的分位點(diǎn)：對(duì)于 0 40)，22)12(21)(nzn，其中z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)自由度為n 的 t 分布：記 tt(n)，nyxt/，其中 xn(0， 1)，y 2(n)， x， y相互獨(dú)立2)1(2)1( 22)1( )(nntnnnthh(t)圖形關(guān)于t=0 對(duì)稱(chēng)；當(dāng)n 充分大時(shí)， t 分布近似于n(0，1)分布t 分布的分位點(diǎn)：對(duì)于 0 45 時(shí)， t(n) z，z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)自由度為(n1， n2)的 f分布：記

12、 ff(n1，n2)，21nvnuf，其中 u2(n1)，v2(n2)，x，y 相互獨(dú)立 1/ff(n2，n1) 其他，001)2()2()(2)( )(2)(21211)2(221212111xnynnnynnnnynnnnf 分布的分位點(diǎn)：對(duì)于 0 1，滿足yynnffpnnf),(2121d)(),(，則稱(chēng)),(21nnf為),(21nnf的上 分位點(diǎn) 重要性質(zhì)： f1(n1，n2)=1/f(n1，n2)定理一：設(shè) x1,x2,x n 是來(lái)自 n( ，2)的樣本，則有),(2nnx，其中x是樣本均值定理二：設(shè) x1,x2,x n 是來(lái)自 n( ， 2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為x

13、，2s，則有 1) 1()1(222nsn；2x與2s相互獨(dú)立定理三：設(shè) x1,x2,x n 是來(lái)自 n( ， 2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為x，2s，則有) 1(ntnsx定理四：設(shè) x1,x2,x n1與 y1,y2,y n2分別是來(lái)自n(1，12)和 n(2，22)的樣本，且相互獨(dú)立設(shè)這兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差分別記為x，y，21s，22s，則有 1) 1, 1(2122212221nnfss2 當(dāng) 12=22=2時(shí)，)2()()(21121121nntnnsyxw， 其中2) 1() 1(212222112nnsnsnsw，2wwss第七章參數(shù)估計(jì)定義：估計(jì)量：),(?21

14、nxxx，估計(jì)值 ：),(?21nxxx，統(tǒng)稱(chēng)為 估計(jì) 矩估計(jì)法：令)(llxe=linilxna11(kl,2, 1)(k 為未知數(shù)個(gè)數(shù) )聯(lián)立方程組，求出估計(jì)?設(shè)總體 x 均值 及方差 2都存在，則有xa1?，212212122)(11?xxnxxnaainiini最大似然估計(jì)法：似然函數(shù) ：離散：);()(1inixpl或連續(xù)：);()(1inixfl，)(l化簡(jiǎn)可去掉與 無(wú)關(guān)的因式項(xiàng)?即 為)(l最 大 值 ， 可 由 方 程0)(ddl或0)(lnddl求得當(dāng)多個(gè)未知參數(shù)1，1， k時(shí)：可由方程組0ddli或0lnddli（ki,2, 1）求得最大似然估計(jì)的不變性 ：若 u=u( )

15、有單值反函數(shù) = (u)，則有)?(?uu，其中?為最大似然估計(jì)截尾樣本取樣：定時(shí)截尾樣本：抽樣 n 件產(chǎn)品， 固定時(shí)間段t0內(nèi)記錄產(chǎn)品個(gè)體失效時(shí)間(0 t1 t2 tm t0)和失效產(chǎn)品數(shù)量定數(shù)截尾樣本：抽樣 n 件產(chǎn)品，固定失效產(chǎn)品數(shù)量數(shù)量m 記錄產(chǎn)品個(gè)體失效時(shí)間(0 t1 t2 tm)結(jié)尾樣本最大似然估計(jì)：定數(shù)截尾樣本： 設(shè)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布xe （ ） ，即產(chǎn)品平均壽命產(chǎn)品 ti時(shí)失效概率pt=ti f(ti)d ti，壽命超過(guò)tm的概率mtmettf， 則)()()(1imimnmmntpttfcl， 化簡(jiǎn)得)(1)(mtsmel，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

16、 - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -由0)(lnddl得：mtsm)(?，其中 s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，稱(chēng)為 實(shí)驗(yàn)總時(shí)間 定時(shí)截尾樣本： 與定數(shù)結(jié)尾樣本討論類(lèi)似有s(t0)=t1+t2+tm+(n m)t0，)(01)(tsmel，mts)(?0， 無(wú)偏性：估計(jì)量),(?21nxxx的)?(e存在且)?(e，則稱(chēng)?是的無(wú)偏估計(jì)量 有效性：),(?211nxxx與),(?2

17、12nxxx都是的無(wú)偏估計(jì)量，若)?()?(21dd，則1?較2?有效 相合性：設(shè)),(?21nxxx的估計(jì)量， 若對(duì)于任意0有1|?|lim pn，則稱(chēng)?是的相合估計(jì)量 置信區(qū)間：1),(),(2121nnxxxxxxp，和分別為 置信下限 和置信上限 ，則),(是的一個(gè)置信水平為1置信區(qū)間 ，1稱(chēng)為 置信水平 ，10正態(tài)樣本置信區(qū)間：設(shè) x1，x2， xn是來(lái)自總體xn( ，2)的樣本，則有的置信區(qū)間：樞軸量 w w 分布a，b 不等式置信水平置信區(qū)間)1 , 0( nnx12znxp)(2znx其中 z /2為上 分位點(diǎn) 置信區(qū)間的求解：1先求 樞軸量 ：即函數(shù)w=w(x1，x2， xn

18、； )，且函數(shù)w 的分布不依賴(lài)未知參數(shù)如 上 討 論 標(biāo)注2對(duì)于給定置信水平1，定出兩常數(shù)a，b使 paw50 時(shí)，)1 ,0()1()(limnpnpnpxnn1)1()(2zpnpnpxnp0)2()(222222xnpzxnpzn若令22zna，)2(22zxnb，2xnc，則有置信區(qū)間 (aacbb2)4(2，aacbb2)4(2） 單側(cè)置信區(qū)間：若1p或1p，稱(chēng) (，)或(，)是 的置信水平為1的 單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限（置信水平為1）待估其他樞軸量 w 的分布置信區(qū)間單側(cè)置信限一個(gè)正態(tài)總體2已知)1 ,0( nnxz)(2znxznx，znx2未知)1

19、(ntnsxt2tnsxtnsx，tnsx2未知)1()1(2222nsn2212222)1(,)1(snsn2122)1(sn，222) 1(sn兩個(gè)正態(tài)總體1212，22 已知) 1 , 0()(22212121nnnyxz2221212nnzyx2221212122212121nnzyxnnzyx1212=22=2 未知)2()()(21121121nntnnsyxtw12112nnstyxw2wwss121121121121nnstyxnnstyxww精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - -

20、- - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -2) 1() 1(212222112nnsnsnsw12/221，2 未知)1, 1(2122212221nnfssf212221222211,1fssfss1222122211fss，fss122212221單個(gè)總體 xn( ， 2)，兩個(gè)總體xn(1，12)，yn(2，22)第八章假設(shè)實(shí)驗(yàn)定義：h0：原假設(shè) 或零假設(shè) ，為理想結(jié)果假設(shè)；h1：備擇假設(shè) ，原假設(shè)被拒絕后可供選擇的假設(shè)第類(lèi)錯(cuò)誤 ：h0實(shí)際為真時(shí)，卻拒絕h0第類(lèi)錯(cuò)誤 ：h0實(shí)際為假時(shí)，卻接受h0顯著性檢驗(yàn) ：只對(duì)犯第第類(lèi)錯(cuò)誤的概率加以控制，而不考慮第類(lèi)錯(cuò)