2022年蘇科版九年級上冊數(shù)學(xué)《圓》章節(jié)知識點2.1-2.9

1、文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分1 2.1 圓【知識點總結(jié)】一、圓的定義在一個平面內(nèi)，線段oa繞它的一個端點o旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點a運動所形成的圖形叫做圓，點 o叫做圓心，線段 oa叫做半徑 . 以點 o位圓心的圓，記作“ o ”，讀作“圓 o ”0 圓可以看成是定點o的距離等于定長 r 的所有點組成的圖形。例 1：下列說法：經(jīng)過點p的圓又無數(shù)個；以點p為圓心的圓有無數(shù)個；半徑為 2cm且經(jīng)過點 p的圓有無數(shù)個；以點p為圓心，2cm長為半徑的圓又無數(shù)個，其中錯誤的有（）a.1 個 b.2個 c.3個 d.4個二、點和圓的位置關(guān)系設(shè)o的半徑為 r ，點 p到圓心的距離為 d，則點 p在

2、圓內(nèi)dr 點 p在圓上d=r 點 p在圓外dr 例 2：在數(shù)軸上，點 a所表示的實數(shù)為 3，點 b所表示的實數(shù)為a，a的半徑為 2，則下列說法中，不正確的是（）a.當(dāng) a5 時，點 b在a內(nèi) b.當(dāng) 1a5 時，點 b在a內(nèi)c.當(dāng) a1 時，點 b在a外 d.當(dāng) a5 時，點 b在a外三、圓中的相關(guān)概念（1）連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑. （2）圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧. 圓的任意一條直徑的兩個端點把精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料

3、 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分2 圓分成兩條弧，每條弧都在半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）頂點在圓心的角叫做圓心角（4）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.能夠互相重合的兩個圓叫做等圓 . 同圓或等圓的半徑相等 . （5）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧例 3：下列說法中不正確的是：直徑是圓中最長的弦，弦是直徑；優(yōu)弧大于劣弧，半圓是?。婚L度相等的兩條弧是等?。粓A心不同的圓不可能是等圓. 【典例展示】題型一性質(zhì)的簡單

4、應(yīng)用例 1：如圖，點 a、d、g 、m在半圓 o上，四邊形 aboc 、deof 、hmno 均為矩形，設(shè)bc=a ，ef=b ，nh=c ，則下列各式中正確的是（）aabc ba=b=c ccab dbca 題型二簡單的證明題例 2：如圖，在 abcd 中， bad為鈍角，且 aebc ，af cd （1）試說明 a、e、c、f四點共圓（2）設(shè)線段 bd與（1）中的圓相交于點m 、n ，說明 bm=nd 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

5、 - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分3 題型三分類討論題例 3：某點到圓周上的最長距離為8cm ，最短距離為 6cm 。求圓的半徑題型四探索性試題例 4：如圖，矩形 abcd 的邊 ab=3cm ，ad=4cm （1）若以點 a位圓心， 4cm為半徑作 a，則點 b、c、d與a的位置關(guān)系如何 ? （2）若以點 a位圓心作 a，使 b，c，d三點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則 a的半徑 r 的取值范圍是什么？題型五計算題例 5： 如圖， ab是o的直徑， cd是o的弦，

6、ab 、 cd的延長線相交于點e.已知 ab=2de ，e=18 ，求 aoc 的度數(shù) . 題型六生活中的應(yīng)用精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分4 例 6：某部隊在燈塔的周圍進行爆破作業(yè)，燈塔a周圍 3km內(nèi)的水域為危險區(qū)域，有一漁船誤入離 a處 2km的 b處，為了盡快駛離危險區(qū)域，該船應(yīng)沿哪

7、條航線方向航行？為什么？題型七運動變化題例 7：如圖， ab是o的直徑，它把 o分成上下兩個半圓，自上半圓上一點c作弦cd ab ，ocd 的平分線交 o于點 p，當(dāng) c點在上半圓（不包括a、b兩點）上運動時，試探求點 p的位置. 【誤區(qū)警示】誤點 1 審題不清，畫錯圖形例 1：設(shè) ab=2cm ，畫圖說明：點a、b的距離都小于 1.5cm 的點的集合精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁

8、，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分5 誤點 2 忽視分類討論，產(chǎn)生漏洞例 2：如圖，已知半徑為5 的o ，點 o到弦 ab的距離為 3，則o上到弦 ab所在直線的距離為2 的點有（）a.1 個 b.2個 c.3個 d.4個2.2 圓的對稱性【知識點總結(jié)】一、圓的對稱性圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心圓是由旋轉(zhuǎn)不變性，即圓圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任何角度后，仍然與原來的圓重合圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸例 1：如圖是由一個圓和一個平行四邊形組成的圖形，要求畫出一條直線，把圓與平行四邊形的面積平分，應(yīng)如何分割？請保留作圖痕跡. 二

9、、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等. 可簡稱為“等對等定理”或“三個概念的相等關(guān)系”例 2：如圖， ab 、de是o的直徑， c是o上的一點，ad =弧 ce ，請?zhí)角蟛⒅辽賹懗鰣D中三對具有相等關(guān)系的量（除對頂角和半圓相等外）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 43 頁 - - - - - - -

10、 - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分6 二、圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)關(guān)系1的圓心角所對的弧叫做1的弧 .一般地， n的圓心角對著的n的弧， n的弧對著 n的圓心角 . 圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等. 例 3：如圖，在o中，半徑 oc ab ，oab=50 ，求弧 bc的度數(shù) . 四、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平方弦所對的弧. 推廣：一條直線：過圓心；垂直于弦；平分弦（不是直徑）錯誤！未找到引用源。；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧，只要具備其中兩個條件，就能推出其他三個. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

11、 - 第 6 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分7 例 4：如圖， o的弦 ab垂直平分半徑 oc ，若6ab, 則o的半徑為【典例展示】題型一概念辨析題例 1：下列說法：圓是軸對稱圖形，每條直徑都是它的對稱軸；垂直于弦的直線平分這條弦；平分弦的直徑垂直于這條弦；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的兩條弧也相等，其中，不正確的有（）a.1 個 b.2個 c.3個 d.4個題型二簡

12、單計算題例 2：如圖，de是o的直徑，弦 ab cd ，垂足為 c，若 ab=6 ，ce=1 ，則 oc= ，cd= 題型三幾何說理題例 3：如圖， aob=90 ，c、d為ab的三等分點， ab分別交 oc 、od于點 e、f，那么 ae 、cd 、bf之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明你的理由. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育v

13、ip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分8 例 4：如圖，ab是o的弦，半徑 oc 、od分別交 ab于點 e、f，且 ae=bf ，請你找出線段 oe與 of的數(shù)量關(guān)系，并給予證明. 題型四作圖題例 5：某居民小區(qū)一處圓柱形輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；（2） 若這個輸水管道有水部分的水面寬ab=16cm ，水面最深地方的高度為 4cm ，求這個圓形截面的半徑題型五運動變化題例 6：如圖， o的半徑為 5cm ，c是o內(nèi)的一點，過點c的最短弦 ab為 8cm ，（1）若 p是弦 ab上一動點，且

14、點p與圓心 o的距離為整數(shù)，這樣的點p有幾個？（2）如果最短弦 ab的兩端點在圓上滑動（ ab弦長不變），那么弦 ab的中點形成怎樣的圖形？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分9 題型六實際應(yīng)用題例 7：某地有一圓弧拱橋，橋下水面的寬度為7.2m，拱頂高出水面 2.4m. 現(xiàn)有一艘寬3m ，船艙船

15、艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，問此貨船能順利通過拱橋嗎？【誤區(qū)警示】誤點 1 平行弦間的位置不清而導(dǎo)致錯誤例 1：已知 o的半徑為 13cm ，弦 ab cd ，ab=24cm ，cd=10cm ，則 ab 、cd之間的距離為（）a.17cm b.7cm c.12cm d.17cm或 7cm 誤點 2 不能正確理解圓心角、弧與弦之間的關(guān)系例 2：如圖，在 o中，ab=2cd ，那么（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - -

16、- - - - - - - - - - 第 9 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分10 a.ab 2cd b.ab 2cd c.ab = 2cd d.ab與 2cd大小關(guān)系不確定2.3 圓周角【知識點總結(jié)】一、圓周角的概念頂點在圓上，并且兩邊都相交的角的叫做圓周角例 1：下列圖形中，表示圓周角的是（填寫序號）二、圓周角定理同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資

17、料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分11 例 2：如圖， ob是o的半徑，點 c、d在o上，dcb=27 ，則 obd= . 三、圓周角與直徑的關(guān)系（1）直徑或半圓所對的圓周角是直角（2）90的圓周角所對的弦是直徑例 3： 如圖，若 ab是o的直徑，cd是o的弦，abd=58 ，則bcd 的度數(shù)為（） a.116 b.32 c.58 d.64 【典例展示】題型一網(wǎng)格題例 1：如圖所示， o的半徑為5，圓心與坐標(biāo)原點重合，在平面直角坐標(biāo)系中，把橫坐標(biāo)、

18、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為格點. （1）寫出 o上所有格點的坐標(biāo)：（2）設(shè)l為經(jīng)過 o上任意兩個格點的直線 . 滿足條件的直線l 共有多少條？求直線 l 同時經(jīng)過第一、二、四象限的概率題型二計算題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分12 例 2：（1）如圖， d為 ac上一點， o為邊 ab上一點

19、， ad=do ，以 o為圓心， od長為半徑作圓，交ac于點 f、g ，連接 ef.若bac=32 ，則 efg= （2）如圖， abc內(nèi)接于 o ，若b=30 ，ac=3，則 o半徑為 . 題型三探究題例 3：如圖，點 a、b、d、e在圓上，弦 ae的延長線于弦 bd的延長線交于點 c.給出下列三個條件：（ 1）ab是圓的直徑；（ 2）d是 bc的中點；（ 3）ab=ac 請在上述條件中選擇兩個作為已知條件，第三個作為結(jié)論，寫出一個你認為正確的命題，并加以證明例 4：如圖， a、b、c三點都在 o上，be是o的直徑， ad是abc的高. （1）現(xiàn)在不添加任何線或角的情況下，圖中除直角外，

20、還有相等的a b c 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分13 角嗎？如果有，請寫出來并加以說明；沒有請說明理由（2）如果 o的半徑 r=4cm ，ad=6cm ，求 ab ac的值題型四操作探索題例 5：如圖 apc的頂點在圓外， 兩邊與圓相交，稱它為圓外角 . （1）請你按以下步驟操作：在

21、圖內(nèi)，連接oa 、od ；用量角器測出下列各角的度數(shù). apc= ，aoc= , doe= .(精確到 1) （2）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)猜想：apc與aoc 、doe 之間有什么數(shù)量關(guān)系？（3）證明你的猜想；（4）如圖、，若點o不在 pc上，則（ 2）的結(jié)論成立嗎？請說明理由. （5）用語言描述你的發(fā)現(xiàn) . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 43 頁 - - - - - - - -

22、 -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分14 題型五學(xué)科內(nèi)綜合題例 6：如圖，在銳角 abc中，ac是最短邊，以 ac中點 c為圓心，ac21長為半徑作o ，交 bc于點 e，過 o作 od bc交o于點 d，連接 ae 、ad 、dc. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分15 【誤區(qū)

23、警示】誤點 1 忽視圓心角，圓周角2 倍關(guān)系的前提例 1：如圖，在 o中，ab 、ac是弦， o在bac的內(nèi)部， aob= ，aoc= ，boc= ，下列關(guān)系式中正確的是（）a.=+ b.=2+2 c.+=180d.+=360誤點 2 忽視圓中不是直徑的弦所對的圓周角有兩種類型精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對

24、1 專業(yè)團隊高效提分16 例 2：如果圓的弦等于半徑，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于2.4 確定圓的條件【知識點總結(jié)】一、確定圓的條件不在同一條直線上的三點確定一個圓例 1：平面上有 a、b、c三點，若經(jīng)過這三點畫圓，則可以畫（）a.0 個 b.1個 c.0個或 1個 d.無數(shù)個二、三角形的外接圓三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形，這個圓的圓心叫做三角形的外心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等例 2：如圖，正方形 abcd 是o的內(nèi)接正方形， p是劣弧 ab上不同于點 b的任意一點，則 bpc的度數(shù)為【典例展示

25、廳】題型一網(wǎng)格題例 1：小英家的圓形桌子被打碎了，她拿了如圖所示（網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為 1）的一塊碎片到玻璃片到玻璃店。配成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是（）a.2 b.5 c.22 d.3 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分17 題型二辨析題例 2：下列說法中不正確

26、的是（）a.三點確定一個圓b.任意一個圓一定有一個內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形c.三角形的外心是三角形三條角平分線的交點d.三角形的外心道三個頂點的距離相等題型三開放題例 3：如圖， o是abc的外接圓， bac=50 ，點 p在 ao上（點 p不與 a、o重合），則 bpc可能為（寫出一個即可）題型四探索題例 4：在o的內(nèi)接四邊形 abcd 中，ad bc ，試探索四邊形 abcd 的形狀，并說明理由. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

27、 - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分18 題型五證明題例 5：如圖， abc內(nèi)接于 o ，高 be 、ad相交于點 p，延長 be 、ad ，分別交 o于點 m 、n，求證：（ 1）pe=me ，pd=nd;(2)點 c是pmn 的外心題型六操作探索題例 6: 我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓，例如線段 ab的最小覆蓋圓就是以線段ab為直徑的圓 . （1）請分別作出圖 1 中兩個三角形的最小覆蓋圓；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）

28、探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請寫出你所得到的結(jié)論；（不要求證明）（3）某地有四個村莊e，f，g ，h （其位精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分19 置如圖 2 所示），現(xiàn)擬建一個電視信號中轉(zhuǎn)站，為了使這四個村莊的居民都能接收到電視信號，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最小（距離越小，所需功率越?。?/p>

29、，此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？請說明理由【誤區(qū)警示】誤點 1 不能準(zhǔn)確根據(jù)圓的半徑確定符合條件的圓的個數(shù)例 1：已知 m 、n，若經(jīng)過點 m 、n畫圓，則半徑為 3cm的圓有個精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分20 誤點 2 忽視三角形外心的不同位置而產(chǎn)生漏解例 2：如果點 o是abc的的外心， b

30、oc=70 ，那么 bac的度數(shù)為（）a.35 b.110 c.145 d.35或 1452.5 直線與圓的位置關(guān)系【知識點總結(jié)】一、直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交（2）直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點 . （3）直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離例 1：下列命題中，正確的是（）a.直線與圓不相交就是相離b.如果一條直線與圓有公共點，那么這條直線與圓必須有公共點c.如果一條直線是圓的切線，那么這條直線與圓必有公共點d.直線與圓相切時，“唯一公共點”是指有一個公共點二、直線與圓的位置之間的數(shù)量關(guān)系的確定如果

31、o的半徑為 r ，圓心 o到直線l的距離為 d，那么：方法一：根據(jù)公共點的個數(shù)確定方法二：（ 1）直線l與o相交 dr （2）直線l與o相切 d=r （3）直線l與o相離 dr 例 2：已知 o的半徑為 r，在直線l上有一點 p，op=r ，則直線l與o的位置關(guān)系是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊

32、高效提分21 （）a.相離 b.相切 c.相交 d.相切或相交三、切線的判定圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑例 3：如圖，pa與o相切，切點為 a，po交o于點 c，b是優(yōu)弧 cda 上一點，若abc=32 ，則 p的度數(shù)為四、切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直徑是圓的切線. 例 4：如圖， o經(jīng)過點 b、d、e，bd是o的直徑， c=90 ，be平分 abc. 求證：直線 ac是o的切線例 5：如圖， abc為等腰三角形， ab=ac ，o是底邊 bc的中點， o與腰 ab相切與點 d 求證： ac與o相切精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

33、 - - 第 21 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分22 五、三角形的內(nèi)切圓與三角形三邊都相切的圓只有一個，這個圓叫做三角形的內(nèi)切圓. 內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相等. 例 6：如圖，o是abc的內(nèi)切圓，切點分別是 d、e、f，已知a=100 ， c=30 ，則 def的度數(shù)是（）a.55 b.60 c.65d.70六、切線

34、長定理（1）經(jīng)過圓外一點引圓的切線，這點與切點之間線段的長，稱為這點到這個圓的切線長. （2）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角（3）切線長定理體現(xiàn)了圓的軸對稱性例 7：如圖， pa 、pb是o的切線， a、b為切點， ac是o的直徑，若 bac=25 ，則p= 【典例展示】題型一網(wǎng)格型試題例 1：已知o1經(jīng)過 a （-4,2 ）、b（-3,3 ）、c （0,2）、o（0,0 ）四點，一次函數(shù) y=-x-2 的圖像是直線l，直線l與 y軸交于點 d. （1）在右邊的平面直角坐標(biāo)系中畫出o1，直線l 與o1的交點坐標(biāo)為；（2）若 o1上存在整點p （橫

35、坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點），使得apd為等腰三角形，所有滿足條件的點 p 坐標(biāo)為；（3）將 o1沿 x 軸向右平移個單位時，o1與 y精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分23 相切；（4）將 o1沿 x 軸向右平移個單位時，o1與l相切題型二幾何計算題例 2：如圖，ab是o的直徑，點

36、d在 ab的延長線上， dc且o于點 c，若a=25，則d的度數(shù)為（）a.20 b.30 c.40 d.50題型三幾何說理題例 3：如圖， ab是o的直徑， pb為o的切線， b為切點， op bc于點 d，且交o于點 e. （1）求證： opb= aec （2）若 c為半圓弧 abc的三等分點，請你判斷四邊形aoec 為哪種特殊四邊形？并說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁

37、，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分24 題型四作圖題例 4：如圖，要在一塊形狀為直角三角形 （c為直角）的鐵皮上裁出一個半圓形的鐵皮，需先在這塊鐵皮上畫出一個半圓，使它的圓心在線段ac上，且與 ab 、bc都相切請你用直尺和圓規(guī)畫出來（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）題型五探索條件題例 5：如圖，在 rtabc中，acb=90 ，ac=3 ，bc=4 ，cd為斜邊 ab上的高 . 以點 c為圓心作圓，圓的半徑為r. （1）當(dāng) r 取何值時， c與直線 ab相離（2）當(dāng) r 取何值時，c與直線 ab只有一個公共點？有兩個公共點

38、？沒有公共點？（3）若 r=1，c隨著其圓心從點 c沿直線 ca方向移動，設(shè)移動后的圓心為p.則當(dāng)點 c移動的距離為距離為多少時，p與直線 ab相切？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分25 題型六探索談?wù)擃}例 6：如圖 1，線段 pb過圓心 o 。交 o于點 a、b兩點，pc切o于點點 c，

39、過點 a作 ad pc ，垂足為 d，連接 ac 、bc. （1）寫出圖 1 中所有相等的角（直角除外），并給出證明；（2）若圖 1中的切線 pc變?yōu)閳D 2中割線 pce的情形，pce與圓 o交于 c，e兩點，ae與 bc交于點m ，ad pe ，寫出圖 2 中相等的角（寫出三組即可，直角除外）；（3）在圖 2 中，證明： ad ?ab=ac ?ae題型七學(xué)科內(nèi)綜合題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

40、- - 第 25 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分26 例 7：如圖、， o在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點 a的坐標(biāo)為（ 4,0），以點 a位圓心， 4 為半徑的圓與 x 軸交于 o 、b兩點，oc為弦， aoc=60 ，p是 x 軸上的一動點，連接 cp. （1）求 oac 的度數(shù)；（2）如圖，當(dāng) cp與a相切時，求po的長；（3）如圖，當(dāng)點 p在直徑 ob上時，cp的延長線與 a相交于點 q ，問 po為何值時， ocq 是等腰三角形？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26

41、 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分27 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分28

42、題型八閱讀理解題例 8：閱讀材料：如圖，abc的周長為l，內(nèi)切圓 o的半徑為 r，連接 oa 、ob 、oc ，abc被劃分為三個小三角形，用sabc表示 abc的面積 . （1）理解與應(yīng)用：利用公式計算邊長分為5、12、13 的三角形內(nèi)切圓半徑；（2）類比與推理：若四邊形abcd 存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓，如圖（二）且面積為 s，各邊長分別為 a、b、c、d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；（3）拓展與延伸：若一個n 邊形（ n 為不小于 3 的整數(shù)）存在內(nèi)切圓，且面積為s，各邊長分別為 a1、a2、a3、 an，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式（不需說明理由）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

43、- - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分29 【誤區(qū)警示】誤點 1 考慮問題不周全，導(dǎo)致漏解例 1：已知 o的直徑為 6，p為直線l上一點， op=3 ，那么直線l與o的位置關(guān)系為誤點 2 誤用切線的判定方法例 2：如圖， p是bac的平分線上一點， pd ac ，垂足為 d，ab與以 p為圓心， pd為半徑的圓相切嗎？為什么？誤點

44、 3 對切線長性質(zhì)的理解不透徹而致錯例 3：如圖， p是o外一點， pa 、pb分別和 o切于 a、b兩點， c是ab上任意一點，過 c作o的切線分別交 pa 、pb于點 d、e，若 pde的周長為 12，則 pa的長為（）a.12 b.6 c.8 d.無法確定精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效

45、提分30 2.6 圓與圓的位置關(guān)系【知識點總結(jié)】一、兩圓的位置關(guān)系例 1：如圖是一個小熊的頭像，圖中反映出圓與圓的四種位置關(guān)系，但是有一種位置關(guān)系沒有反映出來，它是二、圓與圓位置關(guān)系的確定方法一：根據(jù)公共點的個數(shù)確定方法二：根據(jù)兩圓半徑r、r 與圓心的距離的關(guān)系確定. 兩圓外離 dr+r 兩圓外切 d=r+r 兩圓相交 dr+r （rr）兩圓內(nèi)切 r-rdr+r 兩圓內(nèi)含 dr-r （rr）例 2：已知兩圓的半徑分別為2 和 3，圓心距為 d，若兩圓沒有公共點，則下列結(jié)論中，正確的是（）a.0d1 b.d5 c.0d1 或 d5 d.d1 或 d5 【典例展示】題型一確定兩圓的位置精品學(xué)習(xí)資料

46、 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分31 例 1：（1）已知 o1與o2的半徑 r1、r2分別是方程0862xx輛實根，若 o1與o2的圓心距 d=5，則o1與o2的位置關(guān)系是（2）如圖， o1與o2的半徑分別為 1 和 3，連接 o1o2，交 o2于點 p，o1o2=8, 若將o1繞點 p按順時針方向旋

47、轉(zhuǎn)360，則 o1與o2共相切次題型二分類討論題例 2：（1）已知 o1與o2的半徑分別是 r1=3、r2=5，若兩圓相切，則圓心距 o1o2的值是（）a.2 或 4 b.6或 8 c.2或 8 d.4或 6 （2）如圖， o1與o2內(nèi)切于點 a，其半徑分別是 8 和 4，將o2沿直線 o1o2平移至兩圓外切時，則點o2移動的長度是（）a.4 b.8 c.16 d.8或 16 題型三多圓相切題例 3：已知 o1與o2外切，半徑分別為1cm和 3cm ，那么半徑為 5cm且與 o1、o2都相切的圓可以作出個. 題型四類比與創(chuàng)新題例 4：設(shè)邊長為 2a 的正方形的中心a在直線l上，它的一組對邊垂直

48、于直線l，半徑為 r 的o的圓心 o在直線上運動，點a、o之間的距離為 d. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分32 （1）如圖 1，當(dāng) ra 時，根據(jù) d 與 a，r 之間關(guān)系，請你將 o與正方形的公共點個數(shù)填入下表：當(dāng) ra 時，o與正方形的公共點可能有個（2）如圖 2，當(dāng) r=a 時，

49、根據(jù) d 與 a，r 之間關(guān)系，請你將 o與正方形的公共點個數(shù)填入上表 . 當(dāng) r=a 時，o與正方形的公共點可能有個【誤區(qū)警示】誤點考慮問題不全面，導(dǎo)致錯誤例 1：已知 o1、o2相切，若 o1的半徑為 1，兩圓的圓心距為5，則o2的半徑為（） a.4 b.6 c.3或 6 d.4或 6 例 2：若兩圓下面那個切，圓心距為7，其中一圓的半徑是9，則另一個圓的半徑是例 3：若半徑分別為 6 和 8 的兩圓相離，則圓心距d 的取值范圍是2.7 正方形與圓【知識點總結(jié)】一、正方形的概念各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形. 例 1：下列說法中，正確的是（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

50、 - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分33 a.平行四邊形是正四邊形 b. 矩形是正四邊形 c. 菱形是正四邊形 d正方形是正四邊形二、正多邊形的畫法利用量角器可以畫出任意正多邊形；利用直尺和圓規(guī)可以作出一些特殊的正多邊形. 例 2：畫出邊長為 1cm的圓的內(nèi)接正六邊形 . 【典例展示】題型一對稱性問題例 1：一個正多邊形中心旋轉(zhuǎn)6

51、0后，才與原正方形第一次重合，那么這個正多邊形（）a.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 b.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形c.既是對稱圖形，也是中心對稱圖形 d.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形題型二新定義問題例 2：一個平面封閉圖形內(nèi) （含邊界）任意兩點間距離的最大值稱為圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑之比稱為“周率”，下面四個平面圖形（依次為正三角形、正方形、正六邊形、圓）的周率從左到右依次記為a1，a2，a3，a4，則下列關(guān)系中精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精

52、品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分34 正確的是（）aa4a2 a1 ba4a3a2 ca1a2a3 da2 a3a4 題型三正多邊形的有關(guān)計算例 3：如圖，pqr 是o的內(nèi)接正三角形，四邊形abcd 是o的內(nèi)接正方形， bcqr ，則 aoq= （）a.60 b.65 c.72 d.75題型四探索規(guī)律題例 4：如圖 1、2、3、 n，m 、n分別是 o的內(nèi)接正三角形 abc 、正方形 abcd 、正五邊形 abcde、正 n 邊形 abc

53、de 的邊 ab 、bc上的點，且 bm=cn，連接 om 、on （1）求圖 1 中mon 的度數(shù)；（2）圖 2 中mon 的度數(shù)是，圖 3 中mon 的度數(shù)是；（3）試探究 mon 的度數(shù)與正 n 邊形邊數(shù) n 的關(guān)系（直接寫出答案）【誤區(qū)警示】誤點 1 對正多邊形的概念理解不透徹精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip

54、1 對 1 專業(yè)團隊高效提分35 例 1：判斷下列說法是否正確. （1）各邊相等的多邊形是正方形（2）圓內(nèi)接菱形是正方形（3）各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正方形誤點 2 不理解正多邊形與圓的關(guān)系致錯例 2：如圖，在 o中，oa=ab ，oc ab ，則下列結(jié)論中結(jié)論錯誤的是（）a.弦 ab的長等于園內(nèi)接正六邊形的邊長b.弦 ac的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長c.弧 ac= 弧 bc d.bac=30 2.8 弧長及扇形的面積【知識點總結(jié)】一、弧長公式圓的周長公式：rc2. 其中是圓的周長與直徑的比值，稱之為圓周率 . 弧長公式：180rnl. 其中 n 表示 1的圓心角的倍數(shù)， 它不帶單位， r為

55、圓的半徑，l為 n的圓心角所對的弧長 . 例 1：如圖， ab是o的切線，半徑 oa=2 ，ob交o于點 c ，b=30 ，則劣弧 ac的長是（結(jié)果保留）. 二、扇形的面積公式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分36 一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 扇形的面積公式lr

56、rns213602扇. 其中 n 與弧長公式中的 n 一樣，理解為 1的圓心角的倍數(shù)，不帶單位，要注意與弧長公式進行比較，避免混淆.lrs21與三角形的面積公式相似，可以把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作是底，r看成是高，這樣易于記憶 . 例 2：如圖，在 66 的方格中（共有 36 個小正方形），每個小方格都是邊長為1 的正方形， 將線段 oa繞點 o按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到ob （頂點均在格點上），則陰影部分面積等于【典例展示】題型一列方程求解題例 1：（1） 一個扇形的圓心角是120， 面積為23cm， 那么這個扇形的弧長為 cm （2）已知一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的3倍，且面積相

57、等， 則這個扇形的圓心角是度. 題型二求路徑長的問題例 2：已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直接平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧部分不受損傷，現(xiàn)將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50 米， 半圓的直徑為 4 米， 則圓心 o所經(jīng)過的路線長是米題型三求陰影部分的面積例 3：（1）如圖所示，在矩形abcd 中，bc=2,dc=4, 以 ab為直徑的半圓 o與 dc相切于點 e，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品

58、學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分37 （1）如圖，一次以三角形、 四邊形、. 、n 邊形的各頂點為圓心畫半徑為1 的圓，且圓與圓之間兩兩部相交. 把三角形與各圓不重疊部分的面積之和記為 s3， 四邊形與各圓重疊部分面積之和記為s4， n 邊形與各圓重疊部分面積之和記為sn則 s90值為（結(jié)果保留 ）題型四情景應(yīng)用題例 4：某校編排的一個舞蹈需要五把和圖形狀完全相同的綢扇. 學(xué)校現(xiàn)在有三把符合要求的綢扇，將這三把綢扇完全展開剛好組成圖2 所示

59、的一朵圓形的花請你算一算：再做兩把這樣的綢扇至少需要多少平方厘米的綢布？（單面制作，不考慮綢扇的折皺，結(jié)果用含 的式子表示）題型五設(shè)計圖案題例 5：如圖，m 、n分別表示邊長為 a 的等邊三角形和正方形， p表示直徑為 a 的圓，如圖是選擇基本圖形m 、p用尺規(guī)作出的圖案，22843aas陰影（1）請你從圖 1 中任意選擇兩種基本圖形，按給定圖形的大小設(shè)計一個新圖案，還要選擇恰當(dāng)?shù)膱D形部分涂上陰影，并計算陰影的面積；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡，作直角時可以使用三角板）（2）請你寫一句在完成本題的過程中感受較深且與數(shù)學(xué)有關(guān)的話例 4 圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

60、- - - - - - - - 第 37 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 37 頁，共 43 頁 - - - - - - - - -文曦教育vip1 對 1 專業(yè)團隊高效提分38 題型六探索規(guī)律性例 6：如圖（ 1）是一個扇形 aob ，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖（ 2），以 oa的一半 oa1為半徑畫弧，再作 aob 的平分線，得到扇形的總數(shù)為 6 個，分別為扇形 aob 、扇形 cob 、扇形 a1ob1、扇形 a1oc1、扇形 c1ob1. 第二次劃分：如圖（ 3）所示，