西安交大計(jì)算方法第二章

1、第第4 4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分( ) , f xa b 對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的定積分( )( ) (4-1)baI ff x dx ( )( )f xF x若能求得的原函數(shù)( )( )F xf x,即-Newton Leibnitz則由公式( )( )( )( )baI fF xF bF a,( ),f x 但由于實(shí)際情況中的原函數(shù)很難求出因此,只能計(jì)算定積分的近似值.第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分?jǐn)?shù)值積分( ),( )f xI f 考慮用函數(shù)在一些數(shù)據(jù)點(diǎn)處的值的適當(dāng)組合 作為定積分的近似0( )( )() (4-2)nkkkI fQ fA f x kx其中

2、: 是適當(dāng)選取的點(diǎn),稱為節(jié)點(diǎn)kA 稱為求積系數(shù)公式(4-2)稱為求積公式值值分分,以上方法稱數(shù)積為第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分?jǐn)?shù)值積分要考慮的問題(1) ;kx如何選擇合適的節(jié)點(diǎn)求積公式可以分成兩大類-,Newton Cotes(1) 型公式 基于等距分布的節(jié)點(diǎn),Gauss(2) 型公式 取相應(yīng)的正交多項(xiàng)式的根作為節(jié)點(diǎn)(2) ;kA確定合適的求積系數(shù)(3) ( )( )-( ),E fI fQ f如何計(jì)算誤差并使其盡可能的小第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )f x 對(duì)任意被積函數(shù)(0,1,2,.,

3、 )ix in,在給定的節(jié)點(diǎn)( )if x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為( )( )npxf x,則可構(gòu)造插值多項(xiàng)式來近似( )( )nf xpx( )nRx( )R x其中:為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)對(duì)上式,兩邊同時(shí)積分,有( )( )( )bbbnnaaaf x dxpx dxR x dx( )( )nf xpx由于,不考慮誤差項(xiàng),有( )( )baI ff x dx( )bnapx dx( )Q f第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Lagrange 若取插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式 ,得到0( )( ) ()nbkkakQ flx f

4、 x dx( ),0,1,2,.,bkkaAlx dx kn記0( )()nkkkQ fA f x,有誤差( )( )( )E fI fQ f( )bnaR x dx(1)( )( )(1)!nbafx dxn0( )()nbkkaklx dx f x 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )bkkkaAlx dxA由確定的( )f x與被積函數(shù)無關(guān),(0,1,2,., )ix in若節(jié)點(diǎn)滿足關(guān)系01naxxxb,( ),bkkaAlx dx求積系數(shù)由確定( )( )I fQ f則此種方法形成的計(jì)算的求內(nèi)插

5、積公式稱為求積公式(1)( ),( )0,( )0( )( )nf xnfxE fI fQ f 若被積函數(shù)是不超過 次的多項(xiàng)式 則則有即4.1定義( )mmpx如果對(duì)任一不超過 次的多項(xiàng)式( )Q f,內(nèi)插求積公式()()mmI pQ p總有11( )mmpx,而對(duì)某一個(gè)次多項(xiàng)式11, ()()mmI pQ pm則稱此求積公式的代數(shù)精度為m,或稱此公式具有 次代數(shù)精度(0,1,., )ix in,僅與節(jié)點(diǎn)的選擇有關(guān),第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx在以上公式中,節(jié)點(diǎn) 按等距分布,-b ahn令,0,1

6、,2,.,kxakh knNewtonCotes則稱內(nèi)插求積公式為公式1,2,4n 通常取等值(1)1n 01,xa xb則插值函數(shù)公式為1-( )( )( )-b xx ap xf af bb ab a012baAA可求得1( ) ( )( )2baQ fTf af b求積公式為 稱為梯形求積公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.1( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù) ,則梯形求積公式的誤差是31-( ),12b aEfab證明:11( )baER x dx , , ()()baf a b x xa

7、xb dx( )fx由于存在 , , , xf a b x可知 關(guān)于 的二階差商連續(xù) , ,()()0,a bxa xb在上 有由積分中值定理,差商性質(zhì)2,知( , ),a b存在使1 , , ()()baEf a b x xa xb dx , , ()() ( , )baf a bxa xb dxa b31( )() ( , )12fbaa b 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(2)2n 012,22baabhxa xxb則插值多項(xiàng)式為0212201010210120122021()()()()( )(

8、)()()()()()()() +()()()xxxxxxxxpxf xf xxxxxxxxxxxxxf xxxxx1200102()()()()baxxxxAdxxxxx20()(2 )() ( 2 )x a thth thdthh 232220132322htt hh th3h第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式0211012()()()()baxxxxAdxxxxx20(2 )()x a tht thdthh 23220132htt hh43h0122021()()()()baxxxxAdxxxxx20

9、()2x a tht thdth h 2322011322htt hh13h1( ) ( )4 ()( )32habQ fSf aff b求積公式為 稱為Simpson求積公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.2(4)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù),則Simpson求積公式的誤差是5(4)2-( ),2880b aEfab2(4)( )( )()()4!2fabxxaxxb證明:取 R2(4)( )()()4!2bafabxaxxb dx2則 E(4)55550( )32401644!53hftt

10、tt5(4)()( )2880baf 2(4)20( )()4!2xa thdxdtfbat ttba dt 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(3)4n 01234,2 ,3 ,4bahxa xah xah xah xb則插值多項(xiàng)式為40011223344( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()pxlx f xl x f xlx f xl x f xlx f x00112233441464( ),( ),4545246414( ),( ),( )454545bbaabbbaaah

11、hAlx dxAl x dxhhhAlx dxAl x dxAlx dx可求得1( )7 ( )32 () 12 (2 )90 32 (3 )7 ( )baQ fCf af ahf ahf ahf b求積公式為 稱為Cotes求積公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.3(6)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù) ,則Cotes求積公式的誤差是7(6)48-( ) 9454b aEfab7(6)-( ) 1935360b afab第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newto

12、n-CotesNewton-Cotes公式公式11, , ( )( 1)(0)(1)(0)A B C Df x dxAfBfCfDf例4.1 求以下數(shù)值積分公式中的求積系數(shù)使公式具有盡可能高的代數(shù)精度 并求其誤差-1,0,1xHermit解:在點(diǎn)處構(gòu)造差商表,建立型的插值多項(xiàng)式1( 1)0(0)0(0)1(1)ffff(0)( 1)(1)(0)0)fffff(0)(0)( 1)(1)(0)(0)ffffff1(1)2(0)( 1)2fff第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式32( )(-1)(0)-(-1)

13、(1)(0)-(0)(-1) (1)1(1)-2(0)-(-1) (1)2p xfffxfffxxfffxx可得插值多項(xiàng)式 11( )( )I ff x dx( )Q f131( )p x dx1112321111431111(-1)(0)-(-1) ()(0)-(0)(-1) ()232111(1)-2(0)-(-1) ()243fxffxxfffxxfffxx 212 (-1)2(0)-(-1)(0)-(0)(-1)(1)-2(0)-(-1)33fffffffff141(-1)(0)(1)333fff第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-Cotes

14、Newton-Cotes公式公式141 ,0333ABCD因此,有111( ) ( 1)4 (0)(1)3f x dxfff11( )( )E RR x dx121 1,0,0,1, (1)(1)fx xxxdx121 1,0,0,1, (1)(1) fxxxdx(4)( )4() 11 (3 1)!15f (4)1( ) 11 90f 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式例例: :確定確定SimpsonSimpson求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度解解:Simpson:Simpson求積公式為求積公式為

15、( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b( )1 114 16babaf xdxba令令221( ) 4262babaabf xxxdxbaab22233221( ) 4362babaabf xxx dxbaab33344331( ) 4462babaabf xxx dxbaab第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式4445544( ) 1 4562baf xxbaabx dxbaab但是當(dāng)時(shí)3Simpsonm 因此求積公式的代數(shù)精度第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)

16、插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式梯形公式的代數(shù)精度為1Simpon求積公式的代數(shù)精度為3Cotes求積公式的代數(shù)精度為5代數(shù)精度第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式3(1)1,-()(),()212nhbahhQffafbRff 梯 形 求 積 公 式 牛頓-柯特斯(Newton-cotes)求積公式5( 4 )(2)2,(-) / 2()4()( ) ()3290nhbahabhQffaffbRff Simpson求 積 公 式 5( 4 )(3)3,(-) / 33

17、3()3()3()() ()880nhbahhQffafahfbhfbRff 牛 頓 求 積 公 式 7( 6 )( 4 )4 ,(-) / 427()3 2()1 2(2)3 2()7()4 58 ()9 4 5nhbahQffafahfahfbhfbhRff C o t e s 求 積 公 式 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式, 利用定積分對(duì)區(qū)間的區(qū)間可加性 將求積公式分別應(yīng)用于每一個(gè)小區(qū)間上(0,1,., ) , kxkna b設(shè)是區(qū)間上滿足011nnaxxxxb1,n 的個(gè)點(diǎn) 由于()( )baI

18、 ff x dx-1-1(47),(48),(49),( )kkkkxxxxf x dx可將應(yīng)用于任何一個(gè)子區(qū)間上的積分n ,當(dāng) 逐漸增大時(shí),區(qū)間長度越來越小,則每個(gè)小區(qū)間上的求積公式誤差很小,且總的積分的誤差也將減小 此方法稱為復(fù)化求積分法-11( )kknxxkf x dx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx取節(jié)點(diǎn) 按等距分布,-b ahn令,0,1,2,.,kxakh kn11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b復(fù)化梯形公式11111 ( )2()4()( )62nnkknkkkxx

19、hSf af xff b復(fù)化Simpson公式1011013 7 ( )32()()9044 +12()14()7 ( )2nnkkknnkkkkhhhSf af xf xhf xf xf b復(fù)化Cotes公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.4(2)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù) ,則復(fù)化梯形求積公式的誤差是2-( ),12Tb aEh fab:證明-1,kkxx在每個(gè)子區(qū)間上,梯形求積公式的誤差是31-(),1,2,.,12kkkkkhrfxx kn因此,復(fù)化梯形求積公式的誤差為311-()1

20、2nnTkkkkhErf( ) , fxa b因在上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理( , )a b,存在11()( )nkkffn使 3( )12ThEnf 因此 2( ) 12bah fab 證畢第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.5(4)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù),則復(fù)化Simpson求積公式的誤差是4(4)-( ),2880Sb aEh fab定理4.6(6)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù) ,則復(fù)化Cotes求積公式的誤差是6(6)-( ),1935360Cb aEh fab0,() 2,4

21、,6,2,4,6khSimpsonCotesO hk 當(dāng)時(shí) 梯形公式公式公式的余項(xiàng)分別以的速度趨向于零 因此 分別稱其為 階階階方法第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式10 xe dx例4.2 計(jì)算積分h梯形公式Simpson公式Cotes公式0.51.7539251.718850.251.72722191.71831881.74085480.1251.72051861.71828411.71828180.06251.71884111.71828201.71828180.031251.71842161.718

22、28181.7182818第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式410若( )01max( )2.71828.kKxMfxe ,則由于 由梯形公式的誤差公式有2-( )12Tb aEh f2112kh M4102,2 100.02h因此0.0313h 同理,對(duì)Simpson公式,可得, h對(duì)指定的誤差界如何選取 能夠使復(fù)化積分公式達(dá)到計(jì)算精度?第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式由于被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的界很難估計(jì) ,因此可在計(jì)算過

23、程中自動(dòng)選取步長,使之精度達(dá)到要求在復(fù)化梯形公式中,有2-( )-( ) , 12nb aI fTh fa bn將區(qū)間作 等分22-( )-() , 2122nb aI fTfa bnh區(qū)間加密后,有 將區(qū)間作等分( ) , fxa b假定在區(qū)間上變化不大( )()ff,即21( )-( )-4nnI fTI fT 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式221( )-3nnnI fTTT因此 221( )-3nnnI fTTT 22-,( )nnnTTI fT即 當(dāng) 有221,- ,nnnnnhb aTTTT

24、(1)先取計(jì)算 (2)縮小步長一半,計(jì)算 (3)計(jì)算誤差,如果滿足要求- ,則停止, 否則計(jì)算步驟轉(zhuǎn)(2)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2nnTT可以利用計(jì)算-11211/2( )2()()( )22nnkknkkkxxhTf af xff b=-11( )2()( )4nkkhf af xf b=11()22nkkkxxhf111()222nkknkxxhTf=221( )-4 1nnnI fTTT 由及上式構(gòu)成一個(gè)自動(dòng)選步長的梯形積分算法,0,1,2,., ,()/knkxTxakh kn hban

25、設(shè) 為 的節(jié)點(diǎn)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式類似于梯形公式,可以得到自動(dòng)選步長的Simpson公式4(4)( )2880nbaISh f=-4(4)2( )2880 2nbahISf=-(4)2( ) , , nnfxa bISIS2假定在上變化不大時(shí) 可得4222141nnnISSS因此,(),自動(dòng)選步長的Cotes公式,自動(dòng)選步長的Simpson公式223141nnnICCC同理,()第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公

26、式公式 獲得高精度積分的方法(1)減少步長缺點(diǎn)是函數(shù)計(jì)算量較大(2)使用高精度公式考慮使用低精度公式,計(jì)算高精度積分的方法在復(fù)化梯形求積公式中有( )nI fT2( )nI fT221( )4 1nnnI fTTT221( )4 1nnnI fTTT因此,第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式222( )4 14 4 1nnnnnTTI fTTT11114()3222nkknnkxxhTfT1112()32nkknkxxThf110111()()2()2()3 22nnkknkkkxxhf xf xf xhf1

27、1011()()2()4()62nnkknkkkxxhf xf xf xfnS第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式, 可見 使用復(fù)化梯形公式通過適當(dāng)?shù)慕M合,可以得到精度更高的Simpson公式,其代數(shù)精度可以由1提高到3 同理,由復(fù)化Simpson公式可以得到2221(-)41nnnISSS 222441nnSS6(),O h即,可以得到計(jì)算精度為代數(shù)精度為5的Cotes公式 同理,由復(fù)化Cotes公式可以得到2231(-)41nnnICCC 323441nnCC=8(),RombergO h即,可以得到計(jì)算

28、精度為代數(shù)精度為7的公式nCnR第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Romberg方法: 通過使用以下公式24 (4-25)4 1nnnTTS 2224 (4-26)41nnnSSC 3234 (4-27)41nnnCCR Romberg逐步求積分的過程,稱為方法Romberg以上公式稱為公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Romberg計(jì)算圖1248TTTT1SSS24CC12R116T8S4C2R32T16S8C4R

29、設(shè) 為給定的誤差限11222,kkkRRR,當(dāng)時(shí) 取為積分的近似值Romberg這樣一個(gè)計(jì)算過程稱為積分算法第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式1204.64 1RombergIdxx-4例用積分方法計(jì)算積分,使精度 10kTSCR1323.13.1333333.131183.141573.1421243.138993.141593.141593.1415853.140943.141593.141593.141595210.00001 10 ,RR由于滿足精度要求第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1

30、 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( ), , ,f xa b 對(duì)于任一函數(shù)在區(qū)間上 構(gòu)造數(shù)值積分公式0( )()nkkkQ fA f x ( )( ),mf xmpx若當(dāng)是不超過 次的多項(xiàng)式 不妨記為時(shí) 有( )( )mmI pxQ px1( )1( ),mf xmpx而當(dāng)是次的多項(xiàng)式 不妨記為時(shí) 有11( )( )mmI pxQ px( )mQ f則稱的代數(shù)精度為第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式011( )()()(), ()(),0,1,.,nkkkjjmm

31、Q fA f xmI xQ xI xQ xjm 求積公式具有 次代數(shù)精度的充分必要條件是定理4.7證明充分性( )mmpx對(duì)任意不超過 次的多項(xiàng)式,總可以表示為20120( )mmjmmjjpxaa xa xa xa x ( )mI px因此0mbjjaja xdx0mbjjajax dx 0()mjjja I x0()mjjja Q x00mnjjkkjkaA x00nmjkjkkjAa x0()nkmkkA px( )mQ px第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )Q fm 所以,求積公式有至少 次代

32、數(shù)精度.11()()mmI xQ x又因?yàn)?m由代數(shù)精度的定義知,公式的代數(shù)精度為必要性(0,1,.,),jxjmm 由于均為不超過 次的多項(xiàng)式11()()mmI xQ x如果 則由充分性知1m,其代數(shù)精度至少應(yīng)為次.,與定義矛盾.證畢第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.8 (廣義Pean o定理)( )( )-( ) ( ) , ,( ), ( ) ( )E fI fQ fE fa bQ fmE f xE R x 設(shè)由 定義的誤差是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 近似公式具有的 次代數(shù)精度 則 01201012(

33、 ),., ( ) ( )( -)( -)( -),., , 1mmmR xf x x xxxxxx xx xx xx x xxa bm其中 而是上的個(gè)任意點(diǎn)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式11( )1 ,12f xdxABC時(shí) 左右11( ),0f xxxdxACD 時(shí) 左右12212( ),3f xxx dxAB時(shí) 左右1331( ),0f xxx dxAC 時(shí) 左右141,0333ABCD聯(lián)立方程 解出111 ( )( 1)4 (0)(1)3f x dxfff為使公式具有盡可能高的代數(shù)精度,可期望其

34、代數(shù)精度為311 ( )( 1)(0)(1)(0), ,f x dxAfBfCfDfA B C D例.確定數(shù)值積分公式中的求積系數(shù)使公式具有盡可能高的代數(shù)精度 并求其誤差第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )( )E fE R121 1,0,0,1, (1)(1)fx xxxdx121 1,0,0,1, (1)(1) 11 fxxxdx (4)( )4() 11 (3 1)!15f (4)1( ) 11 90f 4-1,0,0,1,因此,由廣義Peano定理可以取 個(gè)點(diǎn)2( ) 1,0,0,1, (1)(

35、1)R xfx xxx( )( )I RQ R1( 1)4 (0)(1)3RRR11445111212( ),1 0 15533f xxx dxx當(dāng)時(shí) 左右3m 因此其代數(shù)精度第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 , a bSimpson 對(duì)于上的公式,2( ) , , ()()222ab ababR xf ab x xaxxb ( )( )E fE R則( ( )( ( )I R xQ R x111( ) ( )4 ()( )32abR x dxR aRR b3,m 由于其代數(shù)精度4,22ab abab由廣

36、義Peano定理知,可以取 個(gè)點(diǎn)211 , , ()()222ab ababf ab x xaxxb dx5(4)()( ) ( , )2880bafa b 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式10, , ( )(0)(1)(0)(1)A B C Df x dxAfBfCfDf例. 求以下數(shù)值積分公式求積系數(shù)使公式具有盡可能高的代數(shù)精度 并求其誤差20, ( )(0)( )(0)( )2hhf x dxff hhffh例. 已知以下的數(shù)值積分公式,試確定其中的系數(shù)使公式具有盡可能高的代數(shù)精度 并給出其代數(shù)精度

37、及誤差公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式0110114.8 , ( )()( )A Bx xIf x dxAf xBf x例求公式系數(shù)及節(jié)點(diǎn)使以下求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度 解:使用待定系數(shù)法由于有4個(gè)參數(shù),因此可期望代數(shù)精度為323( )1, ,f xx xx分別取代入可得到以下等式 聯(lián)立方程組2AB010AxBx220123AxBx33010AxBx0111, 3/33/3ABxx 解得1-133( )(-)()33f x dxff因此 代數(shù)具有的精度為3(4)1( )( )135E ff并且可以求得第第

38、4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式因此可知:22( )np x設(shè)取次多項(xiàng)式22201( -) ( -)( -)nx xx xx x0( ( )( )niiiQ p xA p x則有 2( ( )( )baI p xx dx而ix考慮如何選擇節(jié)點(diǎn) ,使積分公式的代數(shù)精度盡可能高 ( ) ( )bax f x dx考慮以下一般形式的積分問題:( )0, , ,xxa b 其中 連續(xù)函數(shù)稱為權(quán)函數(shù)2( )( )p xx0012 , 1nn代數(shù)精度至多可以達(dá)到代數(shù)精度至多可以達(dá)到個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式具有具有第第4章章

39、 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式( ), ( )( , ), ( ),( ) ( ) ( )( )( ),( , )baf x g xa bxx f x g x dxf xg xf g 設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)為權(quán)函數(shù)稱積分 為與的內(nèi)積 記作定義( , )0,( )( )( , )( )f gf xg xa bx 若則稱與在區(qū)間上按權(quán)函數(shù)正交( ),0,1,.( , )xja bj 若函數(shù)族在上兩兩正交,即0, (,)0, ijiijAij ( ),0,1,.xjj正則稱為交函數(shù)族第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gaus

40、s4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式sin,1,2,.0,kx k 容易驗(yàn)證:函數(shù)族是區(qū)間上權(quán)為1的正交函數(shù)族;( )jjxj 若是最高項(xiàng)系數(shù)為的 次多項(xiàng)式_1( )( ),1,2,.,( )1jjjxxjx 構(gòu)造形成權(quán)為的最高次項(xiàng)系數(shù)為的正交多項(xiàng)式,( ),1,2,.jxj且( , )( )a bx是上以為權(quán)的正交多項(xiàng)式系1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,.,xxxx 函數(shù)族是區(qū)間上權(quán)為1的正交函數(shù)族;第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式010( )( ),( ),( ),

41、( )( )nnjjjjnp xxxxp xcxc 對(duì)任何次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式都可以由正交多項(xiàng)式線性表示 即 其中: 為適當(dāng)?shù)某?shù).1( ) ( )( )0bnax p xx dx由此容易得到 1, ( ),0,1,2,., ,( )( )0kbknap xxknx xx dx若取有 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式_10_11( )0,( )1,( )()( )( ),1,2,.kkkkkxxxxxx k 若取則正交多項(xiàng)式系有如下遞推關(guān)系 定理4.9證明: _100,)( )() 10bax xdx 則有 (0(

42、 )( )0bbaax xdxxdx00000(,)(,)x _11,kkkkkkkkkkx其中 , _010( )1( )xxx設(shè)與正交00( )( )( )bbbaaax xdxxdxx dx因此第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式_1, (,)kk一般地_1(),)kkkkkx _1(),)(,)kkkkkkx 0_1(,)0kk由此函數(shù)系的正交性:_(),)0kkkx因此_(,)(,)kkkkkx ,即_(,)(,)kkkkkx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交

43、多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式_11(,)0kk又因?yàn)?_11 (),)0kkkkkx 有_111 (),)(,)0kkkkkkx _1(,)0kk而_1111 (,)(,)(,)0kkkkkkkkx _1_11(,) (,)kkkkkx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式_11(,)(,)kkkkxx注意到_1,kxk由于為 次多項(xiàng)式 展開后為_1( )kxx_1(,)kkx由正交性 _11(,)(,)kkkkk因此可得 證畢_( )kx_110110( )( )( )kkcxcxcx_(,)kk第第4章章 數(shù)值微積分

44、數(shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式11111211( )( )()( )( ),0,1,.,kjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxx kx 對(duì)于最高項(xiàng)系數(shù)為的正交多項(xiàng)式系有如下遞推關(guān)系 其中 推論4.10 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式_( ),( , )nnxna b 次正交多項(xiàng)式有 個(gè)互異的實(shí)根 并且全部定理4.11在區(qū)間內(nèi)證明:_(1),( )( , )n nxa bn(1)證明有根. 對(duì)于固定的若在不變號(hào)不妨設(shè)其恒為大于零,則_( )(

45、 )bnaxx dx_0( )( )( )bnaxxx dx0與正交多項(xiàng)式矛盾_11( , ),( )0nxa bx因此至少存在一個(gè)數(shù)使_1( )nxx(2)證明根為單根.假設(shè) 是的重根_21( )2()nxnxx,則是次多項(xiàng)式由正交多項(xiàng)式有_21( )( )( )0()bnnaxxxdxxx_21( )( )( )()bnnaxxxdxxx但_221( )( )()bnaxxdxxx=01x 為單根第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式_12( )( , )(),.,nlxa blln x xx假設(shè)在中只有 個(gè)根12(

46、 )(lx xxxxxx222=)12(lxxxxxxn由于)的次數(shù)低于 次_12( )( )(nlxx xxxxxxba則由正交性)=022212( )( , )( ) ( )() ()()0blaxa bxx xxxxxx由在上不變號(hào) _,( )( , )nxa bn由此矛盾 因此可知在上確有 個(gè)互異實(shí)根. 證畢_12( )(nlx xxxxxx則)(3)證明根有n個(gè)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式1,21,.(0,1,2,.)knnGaussx kGauss 具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值積分公式 如果其代數(shù)精度達(dá)到則稱此

47、類積分公式為型求積公式 相應(yīng)的求積公式節(jié)點(diǎn)稱為點(diǎn)0011( )():( , )( )(1.)12nkkkknnQ fA f xxaxxxbGaussa bxxn 數(shù)值積分公式 的節(jié)點(diǎn)是點(diǎn)的充分必要條件是它們是區(qū)間上以為權(quán)的正交多項(xiàng)式的定理4個(gè)根第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式證明: 必要性01,.,nx xxGauss設(shè)為點(diǎn)01( )( -)( -)( -)nnxx xx xx x記21,( ),Gaussnnp x由于型求積公式具有次代數(shù)精度 因此對(duì)于不超過 次的多項(xiàng)式有( )( ) ( )nxx p x dxb

48、a0()()njjnjjA p xx0( )( )( )p xxxnn由的任意性可知,按權(quán)函數(shù)與任何不超過 次的多項(xiàng)式正交01( ),( ),.,( )nxxx,即正交1110( )( ) ( )nnnnnnnxxp xxx 令 由于1( )( ),nxx則 為以為權(quán)的正交多項(xiàng)式011,.,( )nnx xxx并且 為的根第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式充分性( ),0,1,.,( , )( )kx kna bx設(shè)是上以為權(quán)的正交多項(xiàng)式101( )1,.,nnxnx xx取的個(gè)根為求積公式的節(jié)點(diǎn)101( )( -)

49、( -)( -)nnnxx xx xx x則121( ),( )( )( )( )nnq xq xp xxr x對(duì)任意不超過次多項(xiàng)式有 ( )( )p xr x其中,和均為不超過n次的多項(xiàng)式1( )nx由的正交性( ) ( )bax q x dx1( ) ( )( )( ) ( )bbnaax p xx dxx r x dx( ) ( )bax r x dx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式1nn由于具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式具有至少 次代數(shù)精度, ()(),0,1,2,.,jjq xr xjn而且0 ( ) ( )

50、()nbjjajx r x dxA r x因此0()njjjA q x21,0,1,2,.,jnxjnGauss因此,求積公式具有次代數(shù)精度 即是點(diǎn)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式 由定理4.12可知,如果采用正交多項(xiàng)式的根作為求積公式的節(jié)點(diǎn),則可以保證公式具有最高代數(shù)精度 ,kkxA確定了 之后由以下公式計(jì)算系數(shù)( ) ( )bjjaAx l x dx( )( ) ()()bajjxxdxxxx11( )( ) 0,1,.,()()bnajnjxxdxjnxxx由正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)均為單重第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值

51、微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式Gauss型求積公式的誤差Peano 由廣義定理知21n,由于公式具有次代數(shù)精度,因此取_210011( ),., ( )nnnR xf x x x xx x xx,( ( )0Q R x顯然( )( ( )E fE R x ( ) ( )I R xQ R x ( )I R x_210011( ) ,., ( )bnnnax f x x x xx x xxdx_210011,., ( )( )bnnnaf x x x xx xxxdx(22)_21( )( )( ),(22)!nbnafxxdx abn第第4

52、章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式Gauss常用的正交多項(xiàng)式和相應(yīng)的型求積公式(),-LegendreGauss Legendre(1)勒讓德 多項(xiàng)式型求積公式(-1,1)( )1xLegendre 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式20:1( )1( )(-1) ,1,2,.2!nnnnndP xP xxnn dx 它的表達(dá)式為 _20(2 )!( ):2!( )1( )(-1) ,1,2,.(2 )!nnnnnnnP xnndPxPxxnndx_的首項(xiàng)系數(shù)為,因此得到首項(xiàng)系數(shù)為1的Legendre多項(xiàng)式 第第4章

53、章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式0, ,)2,21mnmnP Pmnn 可以驗(yàn)證它的正交性 (0111( )1,( )21( )( )( )11nnnP xP xxnnPxxP xPxnn得到遞推關(guān)系式 232111 1, ,(31),(53 ),.,(1)222!( 1,1)nnnndxxxxxn dx在區(qū)間-1,1上權(quán)函數(shù) (x)=1的正交多項(xiàng)式為它們的根在上都是單根,并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式1( )nLegendr

54、ePxGauss取多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為點(diǎn),得到求積公式的系數(shù)1122111( )2()( )(1)()njjnjnjpxAdxxxpxxpx234(22)2( )( ( )( ( )( ( )2(1)!)( ) 11(22)! (23)nnE fE r xI r xQ r xnfnn 2221001101( ), ( -) ( -)( -)nnnnR xpx x x xxxx x xx xx x第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式(),-LaguerreGauss Laguerre(2)拉蓋爾 多項(xiàng)式型求積公式(0,)(

55、)xxeLaguerre 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式0:( )1( )(),1,2,.nxxnnndL xL xee xndx 它的表達(dá)式為 20, ,)( !) ,mnmnLLnmn具有正交性 (01211( )1,( )1( )(21)( )( )nnnL xL xxLxnx L xx Lx 遞推關(guān)系式 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式0( )1L x (0,)( )xxeLaguerre 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式為1( )1L xx 22( )42L xxx323( )9186L xxxx

56、 4324( )16729624L xxxxx54325( )25200600600120L xxxxxx 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式1( ),-nLaguerreLxGaussGauss Laguerre 取多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為點(diǎn) 則求積公式21(1)!,0,1,2,.,()jjnjnAjnx Lx2(22)(1)!( )( ),(0,)2(1)!nnE ffn 00( )()nxjjjef x dxA f x 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式

57、與正交多項(xiàng)式(),-ChebyshevGauss Chebyshev(3)切比雪夫 多項(xiàng)式求積公式21( 1,1)( )1-xxChebyshe 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式0:( )1( )cos( arccos ), 1,1,1,2,.nT xT xnx xn 它的表達(dá)式為 0, ,), 0/2, 0mnmnT Tmnmn具有正交性 (0111( )1,( )( )2( )( )nnnT xT xxTxxT xTx遞推關(guān)系式 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式21( 1,1)( )1-xChebysh

58、ex 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式0( )1T x 1( )T xx221( )12T xx33( )43T xxx424( )881T xxx535( )16205T xxxx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式1( )(21)cos,0,1,.,22,-nChebyshexjjnnGaussGauss Chebyshej 取n+1次多項(xiàng)式T的零點(diǎn) x作為點(diǎn) 則求積公式,0,1,2,.,1jAjnn(22)21( )( ),( 1,1)(22)!2nnE ffn 1210( )()11njjf xdxf xnx 第

59、第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式,-HermitGauss Hermit(4)多項(xiàng)式型求積公式2(,)( )xxeHermit 在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式220:( )1( )( 1)(),1,2,.nnxxnndxxeendx 它的表達(dá)式為 H H0111( )1,( )1( )2( )2( )nnnHxH xxHxxHxnHx 遞推關(guān)系式 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式0( )1Hx 2(,)( )xxeHermit

60、在區(qū)間上以為權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式為1( )2Hxx22( )42Hxx33( )812Hxxx424( )164812Hxxx535( )32160120Hxxxx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Gauss4.4 Gauss型求積公式與正交多項(xiàng)式型求積公式與正交多項(xiàng)式1( ),-nHermitxGaussGauss Hermit 取多項(xiàng)式H的零點(diǎn)作為點(diǎn) 則求積公式112!,0,1,2,.,()()njnjnjnAjnHx Hx(22)1(1)!( )( ),(,)2(22)!nnnE ffn 200( )()nxjjjef x dxA f x 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.4 Ga