人教版初中數學培優(yōu)系列八年級下冊之第16章二次根式題目和詳解(40題)（精編版）

1、第1頁（共 28頁）人教版初中數學培優(yōu)系列八年級下冊之第 16 章 二次根式題目和詳解（ 40 題）重要說明：1、本資料系本人多年教學經驗的總結，力求每一道題目代表一種題型或一種思維，力求窮盡本章所有相關知識的培優(yōu)，內容主要立足于課程標準，少部分奧賽內容，掌握此培優(yōu)系列內容則中考無憂，同時具備參加重點高中學校的自主招生考試的能力。2、本資料僅供優(yōu)生（百分制下得分80 分以上學生）使用，其余學生不得使用，每道題目后面附有詳細解答及點評，學生至少做兩遍 資料方能理解其中真諦和得到能力提升。3、本資料主要根據人教版教材編寫，其它版本的教材都是在國家同一個課程標準下編寫的，只是編排順序不同，因此該內容

2、也適用于其它版本的教材的對應章節(jié)。4、編者簡介 :楊小云，男， 1998 年任教至今。初中一線數學和物理教師，同時一直擔任班主任，有豐富的教學經驗和教學資源。編有人教版初中數學培優(yōu)系列和人教版初中物理培優(yōu)系列 ，值得你收藏并推薦給好友。一選擇題（共15 小題）1實數 a、b 在數軸上的位置如圖：則化簡| ab|+的結果是（）a2ab bb cb d2a+b2若 ab0，則代數式可化簡為（）aabacada3若 m0，n0，把代數式 m中的 m 移進根號內結果是（）abcd|4化簡的正確結果是（）a （m5）b （5m）cm5d5m5若 m=1，則 m 的取值范圍是（）am1 bm1 cm1 d

3、m1第2頁（共 28頁）6若 0a1，則代數式的值為（）a2 b2 c4 d47如圖，數軸上 a、b 兩點表示的數分別為1 和，點 b 關于點 a 的對稱點為點c ，則點 c所表示的數是（）a1 b1c2d28已知，則=（）abycydy9如果一個三角形的三邊長分別為1，k，3，則化簡的結果是（）a5 b1 c13 d194k10若實數 m 滿足| m4| =| m3|+ 1，那么下列四個式子中與 （m4）相等的是（）abcd11已知 a 為實數，則代數式的最小值為（）a0 b3 cd912若 0a1，則化簡的結果是（）a2a b2a cd13設等式在實數范圍內成立，其中a、x、y 是兩兩不同

4、的實數，則的值是（）a3 bc2 d14計算的值為（）abcd15+ +的整數部分是（）第3頁（共 28頁）a3 b5 c9 d6二解答題（共25 小題）16的小數部分為 a，的整數部分為 b，則（ a+b）b2的值是多少 .17已知abc的三邊 a、b、c 滿足 a2+b+=10a+222，求abc的形狀18先化簡，再求值：（+），其中 x=2+，y=219化簡下列二次根式：（1）若 ab=51，ab=，求代數式（ a+1） （b1）的值（2）已知實數 a 滿足| 1992a|+=a，求 a19922的值20 （1）已知 a=2+，b=2，求代數式 a2bab2的值（2）當 a=1 時，求的

5、值21已知 a 是的小數部分，求的值22已知a，b，c 為一個三角形的三邊長，化簡+| bca|+23化簡（1）m3 時， （2）3m2 時， （3）m2 時24根據如圖所示的2 個直角三角形，化簡代數式：| mn| | m1| 25先閱讀下面的解題過程，再回答后面的問題：如果和在二次根式的加減運算中可以合并成一項，求m、n 的值解：因為與可以合并所以即第4頁（共 28頁）解得問：（1）以上解是否正確？答（2）若以上解法不正確，請給出正確解法26自習課上，張玉看見同桌劉敏在練習本上寫的題目是“ 求二次根式中實數 a 的取值范圍 ” ，她告訴劉敏說：你把題目抄錯了，不是“” ，而是“” ，劉敏說

6、：哎呀，真抄錯了，好在不影響結果，反正a 和 a3 都在根號內試問：劉敏說得對嗎？就是說，按照解題和按照解題的結果一樣嗎？27閱讀下列材料：=+=根據上面的解題方法化簡：28閱讀下面的材料，并解答問題：=1，=，=，第5頁（共 28頁）=（1）若 n 為正整數，用含n 的等式表示你探索的規(guī)律；（2）利用你探索的規(guī)律計算：+ +29如果記 y=f（x） ，則 f（）表示當 x=時，y 的值，即 f（）=；f（）表示當 x=時，y 的值，即 f（）=求 f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+ +f（）+f（）的值30觀察下列各式及其驗證過程：2=；3=?；4=； 第、的驗證：2；3?（1）根據上

7、面的結論和驗證過程，猜想5的結果并寫出驗證過程；（2）根據對上述各式規(guī)律，直接寫出第n 個等式（不要驗證）31在進行二次根式化簡時， 我們有時會碰上如一樣的式子， 其實我 們 還 可 以 將 其 進 一 步 化 簡 ：，還 可 以 用 一 下 方 法 化 簡 ：=（四）以上這種化簡的方法叫做分母有理化（1）請化簡=（2）若 a 是的小數部分則=（3）矩形的面積為 3+1，一邊長為2，則它的周長為第6頁（共 28頁）（4）化簡+ +32若實數 x，y 滿足（ x） （y）=2016（1）求 x，y 之間的數量關系；（2）求 3x22y2+3x3y2017 的值33計算：34閱讀下面的解答過程，然

8、后作答：有這樣一類題目： 將化簡，若你能找到兩個數m 和 n，使 m2+n2=a 且 mn=，則 a+2可變?yōu)?m2+n2+2mn，即變成（ m+n）2，從而使得化簡例如： 5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2=+請你仿照上例將下列各式化簡（1）（2）35開放創(chuàng)新：一只烏鴉想喝到瓶子里的水， 可是瓶子很高， 口又小，里面的水也不多，怎么辦？它把旁邊的小石子一個又一個地銜起來，放到瓶子里，水面慢慢升高了，烏鴉喝到了水這個故事同學們一定都知道，但對我們解數學題的有益啟示卻未必知道如果題目所提供的信息少，難以入手，或按常規(guī)方法來解比較繁難，這時我們不妨向烏鴉學習，借些“ 石子” 來幫我們

9、解題請看下面的例題：化簡：解析：此題對我們來說難度很大，好象無能為力，其實化簡此式，可借方程為“ 石子” ，設=x因為0，將兩邊平方，得，即x2=2所以原式 =在平時的學習中你是否用到過此方法來解決數學中的問題呢？請舉一例36小明在解決問題：已知a=，求 2a28a+1 的值，他是這樣分析與解答的：第7頁（共 28頁）a=2，a2=，（a2）2=3，a24a+4=3a24a=12a28a+1=2（a24a）+1=2（1）+1=1請你根據小明的分析過程，解決如下問題：若a=，求 4a28a3 的值37觀察下列各式：=1+=1；=1+=1 ；=1+=1，請你根據以上三個等式提供的信息解答下列問題猜

10、想：=；歸納：根據你的觀察，猜想，請寫出一個用n（n 為正整數）表示的等式：；應用：計算38小明在解決問題：已知a=，求 2a28a+1 的值他是這樣分析與解的：a=2，a2=，（ a2）2=3，a24a+4=3a24a=1，2a28a+1=2（a24a）+1=2（ 1）+1=1請你根據小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡+ +（2）若 a=，求下面式的值 2a28a+1；2a25a+239閱讀下列材料，然后解答問題：在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如：，一樣的式子 其實我們還可以將其進一步化簡：第8頁（共 28頁）=： （一）=： （二）=： （三）以上這種化簡的步驟叫做分母

11、有理化還可以用以下方法化簡：= （四）請解答下列問題：（1）請用不同的方法化簡參照（三）式得=；參照（四）式得=；（2）化簡：+； （保留過程）（3）猜想：+ +的值 （直接寫出結論）40斐波那契（約 11701250，意大利數學家）數列是按某種規(guī)律排列的一列數，他發(fā)現該數列中的每個正整數都可以用無理數的形式表示，如第n（n 為正整數）個數 an可表示為 （）n（）n （1）計算第一個數 a1；（2）計算第二個數 a2；（3）證明連續(xù)三個數之間an1，an，an+1存在以下關系： an+1an=an1（n2） ；（4）寫出斐波那契數列中的前8 個數第9頁（共 28頁）人教版初中數學培優(yōu)系列八年

12、級下冊之第 16 章 二次根式題目和詳解（ 40 題）參考答案與試題解析一選擇題（共15 小題）1【分析】 根據圖示，可得： b0a，據此求出化簡 | ab|+的結果是多少即可【解答】 解：根據圖示，可得： b0a，| ab|+=ab+a=2ab故選： a【點評】 此題主要考查了在數軸上表示數的方法，絕對值、算術平方根的含義和求法，以及數軸的特征：一般來說，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，要熟練掌握2【分析】 二次根式有意義，就隱含條件b0，由 ab0，先判斷出 a、b 的符號，再進行化簡即可【解答】 解：若 ab0，且代數式有意義；故由 b0，a0；則代數式=| a|=a故選： c

13、【點評】本題主要考查二次根式的化簡方法與運用：當 a0 時，=a； 當 a0 時，=a；當 a=0時，=03【分析】 根據二次根式的性質解答第10頁（共 28頁）【解答】 解： m0，m=故選： c【點評】 將根號外的 a 移到根號內，要注意自身的符號，只有正數平方后可以移到根號里面作因數，是負數的把負號留在根號外，同時注意根號內被開方數的符號4【分析】 先求出 m 的取值范圍再把二次根式進行化簡即可【解答】 解：有意義，5m0，即 m5，原式 =（5m）故選： b【點評】本題考查的是二次根式的性質與化簡，熟知二次根式具有非負性是解答此題的關鍵5【分析】把式子化為=m1，再根據二次根式的性質得

14、出m10，求出即可【解答】 解： m=1，=m1，m10，m1，故選： c【點評】本題考查了二次根式的性質的應用， 注意：當 a0 時，=a， 當 a0 時，=a6【分析】 根據 a+=6，0a1，判斷出0，再把要求的式子進行配方，即可第11頁（共 28頁）求出答案【解答】 解： a+=6，0a1，0，則（）2=a2=62=4，=2；故選： b【點評】此題考查了二次根式的化簡求值，關鍵是根據已知條件判斷出0，從而得出正確答案7【分析】 首先根據已知條件可以確定線段ab的長度，然后根據點b、點 c關于點 a 對稱即可確定點 c所表示的數【解答】 解：設點 c所表示的數為 x，數軸上 a、b兩點表

15、示的數分別為1 和，ab=1 +，根據題意，得x+=21，解得 x=2故選： c【點評】本題主要考查實數與數軸的對應關系和對稱的性質，熟練掌握對稱性質是解本題的關鍵8【分析】 因為，所以 x0；可得中，y0，根據二次根式的定義解答即可【解答】 解：，x0，又成立，第12頁（共 28頁）則 y0，則=y故選： b【點評】 此題根據二次根式的性質，確定x、y 的符號是解題的關鍵9【分析】首先根據三角形的三邊關系確定k 的取值范圍，由此即可求出二次根式的值與絕對值的值，再計算即可解答【解答】 解：一個三角形的三邊長分別為1，k，3，2k4，又4k236k+81=（2k9）2，2k90，2k30，原式

16、 =7（92k）（ 2k3）=1故選： b【點評】本題主要考查二次根式的化簡、絕對值的化簡，熟練掌握化簡的方法是解答本題的關鍵10【分析】根據等式可確定m 的取值：m3，則 m40，m30，可知 m4 是負數，化簡時，負號留下，所以結果為負數【解答】 解：由 | m4| =| m3|+ 1 得，m3，m40，m30，（m4）=故選： d【點評】 考查了二次根式的性質與化簡，關鍵是由等式可確定m 的取值 m311【分析】 把被開方數用配方法整理，根據非負數的意義求二次根式的最小值第13頁（共 28頁）【解答】 解：原式 =當（ a3）2=0，即 a=3時代數式的值最小，為即 3故選： b【點評】

17、 用配方法對多項式變形，根據非負數的意義解題，是常用的方法，需要靈活掌握12【分析】 首先將兩個根式的被開方數化為完全平方式，再根據a 的取值范圍，判斷出底數的符號，然后根據二次根式的意義化簡【解答】 解：（ a）2+4=a2+2+=（a+）2， （a+）24=a22+=（a）2，原式 =+；0a1，a+0，a=0；原式 =+=a+（a）=，故選 d【點評】 能夠熟練運用完全平方公式對被開方數進行變形，是解答此題的關鍵13【分析】 根據根號下的數要是非負數，得到a（xa）0，a（ya）0，xa0，ay0，推出 a0，a0，得到 a=0，代入即可求出y=x，把 y=x 代入原式即可求出答案【解答

18、】 解：由于根號下的數要是非負數，a（xa）0，a（ya）0，xa0，ay0，a（xa）0 和 xa0 可以得到 a0，第14頁（共 28頁）a（ya）0 和 ay0 可以得到 a0，所以 a 只能等于 0，代入等式得=0，所以有 x=y，即：y=x，由于 x，y，a 是兩兩不同的實數，x0，y0將 x=y 代入原式得：原式=故選： b【點評】 本題主要考查對二次根式的化簡，算術平方根的非負性，分式的加減、乘除等知識點的理解和掌握，根據算術平方根的非負性求出a、x、y 的值和代入求分式的值是解此題的關鍵14【分析】 需將被開方數變形為完全平方式，完成化簡后再進行計算【解答】 解：原式 =+=2

19、=3故選 a【點評】 主要考查了二次根式的化簡將被開方數變形為完全平方式，是解題的關鍵15【分析】這是一比較繁瑣的有關于二次根式的加減法，針對這樣的題型，可以先分母有理化，再尋找抵消規(guī)律【解答】解：原式=+ +=+ +=+ +=+ +第15頁（共 28頁）=1=1+10=9故選 c【點評】 關于分母中有二次根式的加減法，在解答時，要先分母有理化后，再找抵消規(guī)律，這樣可以降低難度二解答題（共25 小題）16【分析】 先利用 “ 夾逼法 ” 求出與的范圍，得出 a=1，b=2，再代入（ a+b）b2，計算求出即可【解答】 解： 12，23，a=1，b=2，（a+b）b2=（1+2）22=（+1）4

20、=4+4故答案為： 4+4【點評】本題考查了估算無理數的大小和實數的運算，解此題的關鍵是求出a、b 的值，題目具有一定的代表性，難度也適中17【分析】 由于 a2+b+|2| =10a+2，等式可以變形為a210a+25+b42+1+|2| =0，然后根據非負數的和是0，這幾個非負數就都是0，就可以求解【解答】 解： a2+b+|2| =10a+2，a210a+25+b42+1+|2| =0，即（a5）2+（1）2+|2| =0，根據幾個非負數的和為0，則這幾個非負數同時為0，得 a=5，b=5，c=5故該三角形是等邊三角形故答案為：等邊三角形第16頁（共 28頁）【點評】 本題主要考查了非負

21、數的性質，難度適中，解題時利用了：幾個非負數的和為0，則這幾個非負數同時為0注意此題中的變形要充分運用完全平方公式18【分析】 先利用完全平方公式、分母有理化和把除法運算化為乘法運算得到原式=+ ?，約分后通分得到原式 =（+）?，再進行約分得到原式 =，接著分別計算出xy=2，xy=1，然后利用整體代入的方法計算【解答】 解：原式 =+ ?=（+）?=（+）?=，x=2+，y=2，xy=2，xy=1，原式 =【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾19【分析

22、】 （1）先利用多項式乘法把（ a+1） （b1）展開，整理得到ab（ab）1，然后利用整體代入的方法計算；（2）先根據二次根式有意義的條件得到a1993，再把已知條件去絕對值得到a1992+=a，則=1992，然后兩邊平方即可得到 ?a19922的值第17頁（共 28頁）【解答】 解： （1） （a+1） （b1）=aba+b1=ab（ab）1，ab=51，ab=，原式 =（51）1=5+11=4；（2）a19930，即 a1993，a1992+=a，=1992，a1993=19922，a19922=1993【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值二次

23、根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾20【分析】 （1）先對所求的代數式進行因式分解，然后代入求值；（2）先化簡二次根式，然后代入求值【解答】 解： （1）a2bab2=ab（ab）=（2+） （2） （2+2+）= 22（）2 2=（43）2=2；（2）=| a1| | 1+2a|=|11| | 1+22|=22+1第18頁（共 28頁）=33【點評】本題考查了二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值21【分析】 應用二次根式的化簡，注意被開方數的范圍，再進行加減運算，得出結果【解答】 解：的整數部分是 1，a=1，

24、則=| a|a=1，a0原式 =a=（1）=2【點評】 本題主要考查二次根式的化簡方法與運用：a0 時，=a；a0 時，=a；a=0 時，=022【分析】 根據三角形的三邊關系定理得到a+bc，a+cb，b+ca，根據二次根式的性質和絕對值的性質化簡、合并同類項即可【解答】 解： a，b，c 為一個三角形的三邊長，a+bc，a+cb，b+ca，+| bca|+=a+b+c+a+bcac+b+b+ca=4b【點評】 本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質=| a| 、三角形的三邊關系定理是解題的關鍵23【分析】 可先利用二次根式的性質把所給代數式化為|m2|+| m+3| ，再分別根據所

25、給的 m 的取值范圍去掉絕對值號進行合并即可第19頁（共 28頁）【解答】 解：=+=| m2|+| m+3| ，（1）當 m3 時，則 m20，m+30，原式 =（m2）（ m+3）=m+2m3=2m1；（2）當 3m2 時，則 m20，m+30，原式 =（m2）+（m+3）=m+2+m+3=5；（3）當 m2 時，則 m20，m+30，原式 =m2+m+3=2m+1【點評】本題主要考查二次函數的性質與化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵，即=| a| 24【分析】 根據直角三角形的斜邊比直角邊大得出m3，n2，再根據絕對值和二次根式的性質得出 mn（2n）（ m1） ，去掉括號合并即可【解

26、答】 解：根據兩個直角三角形可知：m3，n2，則 mn，所以| mn| | m1|=mn（2n）（ m1）=mn2+nm+1=1【點評】 本題考查了絕對值，直角三角形的性質，二次根式的性質的應用，解此題的關鍵是能推出原式 =mn（ 2n）（ m1） ，難度不是很大25【分析】 （1）要知道，同類二次根式是化簡后被開方數相同，故要分兩種情況討論（2）分兩種情況討論：被開方數相同和化簡后被開方數相同【解答】 解： （1）不正確；（2）與可以合并，第20頁（共 28頁）或，解得或故答案為：不正確【點評】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式稱為同類二次根

27、式26【分析】 本題需注意的是，被開方數為非負數，按計算，則 a 和 a3 可為同號的兩個數，即同為正，或同為負；而按計算，只有同為正的情況【解答】 解：劉敏說得不對，結果不一樣按計算，則 a0，a30 或 a0，a30解之得， a3 或 a0；而按計算，則只有 a0，a30解之得， a3【點評】二次根式的被開方數是非負數，分母不為 0，是本題確定取值范圍的主要依據27【分析】 根據材料將被開方數變形為兩個數的和的平方的形式然后開方即可【解答】 解：=；=【點評】本題主要考查的是二次根式的化簡、完全平方公式的應用，將被開方數變形為完全平方的形式是解題的關鍵28第21頁（共 28頁）【分析】 （

28、1）根據條件可得規(guī)律：=；（2）利用探索的規(guī)律，先將每一項寫成兩個二次根式的差的形式，再去括號、合并同類二次根式即可【解答】 解： （1）由題意可知規(guī)律為：=；（2）+ +=（1）+（）+（）+ +（）=1=【 點 評 】 本 題 考 查 了 分 母 有 理 化 ， 二 次 根 式 的 計 算 ， 根 據 條 件 得 出 規(guī) 律 ：=是解題的關鍵29【分析】 根據 f（x）+f（）=+=1，原式結合后，計算即可得到結果【解答】 解： f（x）+f（）=+=1，原式 =f（）+ f（）+f（）+ + f（）+f（） =+1+1 +1=99【點評】 此題考查了二次根式的化簡求值，根據題意得出規(guī)律f

29、（x）+f（）=1是解本題的關鍵30【分析】 （1）根據已知中二次根式的化簡即可得出答案（2）利用（ 1）中計算結果，即可得出二次根式的變化規(guī)律，進而得出答案即可【解答】 解： （1）5=第22頁（共 28頁）5=，=，=，=，=；（2）n=（n 為正整數， n2） 【點評】 此題主要考查了數字變化規(guī)律，根據已知得出根式內外變化規(guī)律是解題關鍵31【分析】 （1）分子、分母同乘以最簡有理化因式，化簡即可；（2）由題意可得 a=1，代入分母有理化即可（3）首先求另一邊長為：，化簡再按矩形的周長公式解答；（4）把各加數分母有理化，再加減即可【解答】 解： （1）=，故答案為：；（2），a 是的小數部

30、分，a=1，故答案為： 3+3；第23頁（共 28頁）（3）另一邊長為：=，周長為： 2（17+72）=30+16，故答案為： 30+16；（4）+ +=+ +=【點評】此題考查分母有理化，分母有理化是化簡二次根式的一種重要方法分母有理化時，應結合題目的具體特點，選擇適當的方法32【分析】 （1）將式子變形后，再分母有理化得式：x=y+，同理得式： x+=y，將兩式相加可得結論；（2）將 x=y代入原式或式得： x2=2016，代入所求式子即可【解答】 解： （1）（ x） （y）=2016，x=y+，同理得： x+=y，+得： 2x=2y，x=y，（2）把 x=y代入得： x=x+，x2=2

31、016，則 3x22y2+3x3y2017，=3x22x2+3x3x2017，=x22017，第24頁（共 28頁）=20162017，=1【點評】本題是二次根式的化簡和求值， 有難度，考查了二次根式的性質和分母有理化；二次根式中分母中含有根式時常運用分母有理化來解決，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式本題利用巧解將已知式變成兩式，相加后得出結論33【分析】 把 9899100101+1 化為 98992，再求解即可【解答】 解：9899100101+1=98（98+1）（ 98+2）（ 98+3）+1= 98（98+3） （98+1）（ 98+2）+1=（

32、982+398） （982+398）+2+1=（982+398）2+2（982+398）+1，= （982+398）+12= 98（98+2）+98+12=（98100+99）2=98992所以=9899=4949.5【點評】本題主要考查了二次根式的化簡與求值，解題的關鍵是把9899100101+1化為完全平方的形式34【分析】 （1）利用完全平方公式把4+2化為（ 1+）2，然后利用二次根式的性質化簡即可（2）利用完全平方公式把72化為（）2然后利用二次根式的性質化簡即可【解答】 解： （1）4+2=1+3+2=12+2=（1+）2，=1+；第25頁（共 28頁）（2）=【點評】本題主要考查了二次根