永磁直流電機的優(yōu)化設計

1、永磁直流電機的優(yōu)化設計摘要提出適用于永磁直流電機的設計最優(yōu)化數(shù)學模型。這種模型，結合電機的電磁特性和物理變量， 可用于計算電機的電樞反應參數(shù)、電刷壓降特性和鐵心的磁性飽和參數(shù)。 本文提出各種變量的轉換方法， 使模型可廣發(fā)的適用對各種不同型號的永磁直流電機。 在計算機程序嵌入該模型后， 程序能夠有系統(tǒng)地確定電機的最優(yōu)化設計參數(shù)。本文介紹了這種最優(yōu)化方法和計算機程序的邏輯結構。列舉了一個例子來論證這個程序能夠用于優(yōu)化電機的設計。關鍵詞：永磁直流電機；數(shù)學模型；計算機程序；優(yōu)化設計abstract made applicable to permanent magnet dc motor design

2、 optimization mathematical model. this model, combining the electromagnetic characteristics and physical variables of the motor can be used to calculate the motor armature reaction parameters, pressure drop characteristics of the brush and the core magnetic saturation parameters. this paper proposes

3、 a method to convert a variety of variables, so that the model can be applied to a wide variety of hair types of permanent magnet motor. after the computer program embedded in the model, the program can systematically determine the optimal design parameters of the motor. this article describes the l

4、ogical structure of this optimization method and a computer program. he cited an example to demonstrate the procedure can be used to optimize the design of the motor. keywords: permanent magnet dc motor; mathematical model; computer program; optimal design目錄1 緒論 . 12 最優(yōu)化問題公式表達 . 23 數(shù)學模型 . 33.1 電氣電路

5、. 33.2 磁場電路 . 43.3 性能等效方程式 . 63.4 設計變量與參數(shù) . 73.5 設計約束 . 84. 優(yōu)化 blem 的求解 . 95. 數(shù)值計算 . 126. 結論 . 13參考文獻 . 141 1 緒論在今天科學的快速發(fā)展更換中，通過大容量和高速性的現(xiàn)代計算機使最優(yōu)化技術在工程運用中作為一個重要的手段。最優(yōu)化技術廣發(fā)的運用在許多工程部分和系統(tǒng)中，尤其近來被運用到電機的設計方面1-7 。在許多商業(yè)應用中，永磁直流電機發(fā)揮巨大的作用。 在今天激烈競爭的時代， 遇到一個給定操作要求和約束的條件下，有能力去選擇一個理想的參數(shù)設計對這類永磁直流電機來說是非常重要的。本文介紹了一種合

6、適此類電機的優(yōu)化設計方法。這種方法取代了電機的一些參變量，比如電樞直徑，導體數(shù)，其他規(guī)格化量后的導體區(qū)域。規(guī)格化量后的初始變量可以很容易用于不同等級的電機中。本文通過揭漏和解釋設計變量的函數(shù)（目標函數(shù)），比如電機的重量，體積，效率作為一個函數(shù)，建立一個數(shù)學模型表達這個函數(shù)的最優(yōu)化特性。 這個模型運用二維磁場分析法來獲得一個精確的磁路閉環(huán)解決方法8。在給定電機的要求和設計約束后，這個模型嵌入到計算機程序中合并一起做為優(yōu)化的手段來有效的找到電機的最優(yōu)化設計參數(shù)。介紹了最優(yōu)化技術和程序的邏輯結構。 通過一個例子，以電機的空間和熱量為約束，比較優(yōu)化前后現(xiàn)有電機的最大效率，可以論證這個程序的有效性。2

7、2 最優(yōu)化問題公式表達對于任何設計問題，幾個可能的對比設計都必須要有，以滿足設計場合中不同的要求和設計約束。 這些設計可以叫做可行性設計或者可接受性設計。最優(yōu)化設計是一種可接受性設計， 在某種意義上它必須是最好的。 它們可以是以最小的重量，尺寸，成本，最大的效率，或者前面這些的整體融合為一起做為優(yōu)化目標。由于當描述電機的性能和約束的函數(shù)有非線性和不可微分性，最優(yōu)化問題的公式構成做為非線性， 非梯度來約束最小化問題。 這樣公式可以規(guī)定如下。 從0x開始，尋找設計變量mx ：)(mxfz- 最小化 (1)服從約束：0)(mixgi =0,1,2,3(2) 此處：mx 為設計優(yōu)化矢量，里面的元素為設

8、計優(yōu)化參量；0x 為初始值的設計矢量；z為目標函數(shù)，描述優(yōu)化設計的品質特性；ig 為約束函數(shù)，描述設計的限制條件。當做為優(yōu)化問題，程序會尋找出上述電機設計問題的一個最優(yōu)解須包括兩個幾基本步驟。(1)在這些設計變量的術語中建立一個數(shù)學模型描述電機的目標函數(shù)和約束函數(shù)；(2)在遇到制定的要求和約束后，有效的運用最優(yōu)化技術找出目標函數(shù)的最小值。接下來的部分， 運用到永磁直流電機的步驟還需要討論。設計優(yōu)化的約束函數(shù)，描述設計的限制條件。3 3 數(shù)學模型數(shù)學模型包含一些公式來描述電路和一些電機設計公式中的磁路。圖1 蓄電池 - 電動機的等效電路圖fig.1 equivalent circuit of t

9、he motor-battery system. 3.1 電氣電路電動機的電氣電路問題一般用圖1的等效方程來表示，電動機的電源（電池）通常由設計者指定了。因此，電路的電路電壓為be ，自身內阻為br ，從電池連接到電動機的導線內阻為cr ，在電池 -電動機等效模型當中，這個是可以看作不變的參量。電動機的描述包括反向電動勢me ，電動機內阻mr ，和通過電刷的壓降bv ，可以集中的用一個等效方程來表示：ammamlwbnapze60(3) aaaqlcazr24(4) 單獨的 , 電刷觸點的壓降bv 跟許多因素有關，比如電刷得材料，彈簧壓力，電刷通過的電流密度，換向邊緣速率，周圍的工作環(huán)境等等。

10、在變量的運用中，有這么多的影響因素， 電刷的壓降特性近可能的用一個函數(shù)來表述這么多重要的影響因素，電刷的類型，名稱，電刷的電流密度bs 由電刷的制造商給定9。這些非線性新因素構成的壓降如圖2所示，通過附錄的公式條可以描述這個電機的模型。這個電池 -電動機系統(tǒng)的等效電路方程可以描述為：)rr(cbaambbrieve(5) 4 圖2 電刷壓降特性fig.2 brush voltage contact drop 3.2 磁場電路電機的反向電動勢me 如(3)所示，對稱于總的有效磁感應線穿過轉子和連接電樞繞組。 此場電路的磁阻決定了這個磁感應的大小。因為低的磁導率， 有缺口場的機械當中， 電磁感應線

11、在磁體間不是徑向的穿過氣隙。本文分析二維磁場的分布情況， 和用集成元法逼近去計算磁場電路有點不準確。而運用有限元法， 雖然很精確， 但是很耗費時間， 因此沒有一種很合適的方法來優(yōu)化這個結果。在文獻8中的作者基于二維磁場分析給出了一種封閉的剖面計算，提供了精度性和加速收斂的優(yōu)化方法。 這個模型只用于分析磁鐵和氣隙間的區(qū)域，對比圖 3和圖4，改變了氣隙長度從到，計算齒槽效應和飽和效應。當：sckk(6) 式中：ck 是通常的卡特系數(shù)；sk 是飽和系數(shù)，定義為總的電機磁動勢除以空氣氣隙磁動勢，總的電機磁動勢包括整個磁電路磁動勢和氣隙磁動勢。gfesmmk1(7) 式中:fem和gm 都是磁動勢需要磁

12、力線分別的穿過磁路的鐵表面和氣隙部分。5 圖3 四極永磁直流電機的截面fig.3 section in a four-pole permanent magnet dc motor 圖4 電機磁路的分析模型fig.4 analytical model of the magnetic circuit 圖5 氣隙磁密大概的波形分布空載、總的電樞fig.5 approximate flux density waveforms in the air gap -no load, - armature, -total. 在圖5中，給出了空載運行下電機的磁密波形分布的大致形狀，接近矩形分6 布。運用文獻 8提

13、出的計算模型，提出在電樞表面空載狀態(tài)下磁密最大值的計算表達式：rpembnhb)cosh()sinh(2(8) 此處：)tanh()cosh()sinh(02mmmhhn(9) 和)2(212maeapehpdhd(10) 在圖5給出的矩形磁密波形分布中， 電樞所感應出來的磁力線同樣給出說明，并疊加在近似線性的電樞磁密分布上。因此，在永磁體下合成的磁密是， 不在是恒定的，面向永磁體的齒槽效應會帶來多樣的磁密總量。而集成元法逼近用于分析磁路，這些齒槽和其余的鐵片會帶來磁動勢，必不可缺少的fem，和隨后而來的磁飽和率sk ，知道sk ，改變氣隙長度，那么通過 (6)、(8)式就可以計算mb 。由于

14、磁鐵感應的非線性，這個計算需要一步步迭代獲得，文獻8有相關解釋。3.3 性能等效方程式下列方程式是基于電機的電路， 磁場，和幾何模型的相互聯(lián)系來描述電機的性能。電機的電磁功率mp 是由(3)式電機的反向電動勢所長生的，而電樞電流i，是由(3) (5)所確定。例如：ammiep(11) 繞組電流密度決定電樞繞組的熱負荷：aaaqis2(12) 電流面密度：)4/( apzijaa(13) 電機軸上的輸出功率：)(fwfemspppp(14) 式中：fep 為為鐵損耗；fwp 為摩擦損耗和繞組損耗。電機的輸入功率：7 brcuminpppp(15)式中：cup= 銅損耗 =rari2(16)brp

15、= 碳刷壓降 =rriv(17) 電機的效率表達式：insmpp(18) 除電機的性能之外， 制定了目標函數(shù)需要的評價電機體積和重量，可以容易地得到電機的實際尺寸。這些計算將不會給出了簡明扼要。3.4 設計變量與參數(shù)定量描述永磁直流電動機1）用于電機的迭片結構、定子框架、永磁鐵、碳刷等材料；2） 電機的結構，比如電機的極對數(shù)、 繞組的連接方式 （疊繞組或者波繞組）；3）電機的幾何構造，其中包括轉子的迭片結構，定子外形框架和永磁鐵，電樞繞組和換向器。電機材料和外形構造的選擇后， 通常這些只有有限的變化， 往往是決定某一特定的基礎上應用的可用性， 成本和以往的經驗。 因此，這些數(shù)量被認為是不變的，

16、在設計優(yōu)化進程，并將被稱為參數(shù)。應該指出的是，這個問題的公式表達式和優(yōu)化程序， 通過重新分配他們新的定值和重復優(yōu)化過程后，使電機的結構模型進行有界差分。 這樣的結果計算可以減少許多變量，并有相當簡化的問題。 所有的優(yōu)化技術要求，提供一個初始值為設計變量（要素）。體積和重量，這可以很容易地獲得汽車物理尺寸。 這些計算將不會給出了簡明扼要。 由于一些設計變量，如電樞直徑，一些導線，并指揮領域，不同的范圍廣泛，根據(jù)機器評級和外加電壓，有時很難猜出合理的初始值為這些變數(shù)。因此，在制定這一問題，這些變數(shù)所取代其他形式的正?；跏贾悼梢院苋菀椎亟⑦m用于各種機器評級。詳細推導的轉變給出變量b 部分附錄。因

17、此，一套新的變數(shù)被定義為,ccfsrmmbmdhblawheex(19) 這些初始值： 2. 0, 1.0 ,02.0 ,4 .0,0 .1 , 8. 0,05.0,7 .00x(20) 8 代表一個合理的起點，不論電機的尺寸和電源電壓。 對于每一個確定的變量，極間距是通過求解第六階多項式方程：510)(nnnaf(21) 在多項式系數(shù)是函數(shù)變量載體所界定的(19) 。 該解決方案得到反復使用牛頓的方法。一旦眾所周知，電樞直徑可確定：pda2 (21) 導體截面是通過結合 (a8) 和(a10) 作為21ccqa(22) 從(a8) 可以得知導體總數(shù)：21cza(23) 所有其他機器尺寸和客觀

18、和約束功能現(xiàn)在可以得到的。3.5 設計約束約束方程為，定義為式 (2) ，是可計算的表達式代表施加約束電機的設計。一些設計約束來自業(yè)績或行為的要求。例如，電池冷安培（共同國家評估）在汽車應用樹立了一個上限手搖馬達電流。此外，退磁安培開始輪流在設定的下限，以高度的磁鐵，以避免長期消磁的磁鐵。 該類型的保溫和運作模式 （連續(xù)或間歇）確定最大允許電流密度等其他制約因素，如最高機直徑或長度，最低氣隙長度，限制范圍的設計變量，由于空間，制造或經濟上的考慮。9 4. 優(yōu)化blem 的求解在一些非線性設計的文獻里羅列出很多有用的技術方法，其中有系統(tǒng)地尋找目標函數(shù)的最小值。 非線性，不具有可微分性質的函數(shù)來描

19、述電機的性能和約束，建議使用間接的方法約束優(yōu)化目標，比如“順序無約束最極小化技術”(補償函數(shù)） 10 。這些技術的使用使原始約束難題轉換成為一個無約束難題，這可以解決使用直接搜索方法只需要目標函數(shù)的一個值，而不是其他的衍生出來的問題。sumt的主要思想是增加一個目標函數(shù))(xf約束的術語，而)(xf由干擾約束的程度或消失來決定， 如果約束函數(shù)得到滿足的話。因此，這一術語被稱為補償函數(shù)，有時被稱為“補償函數(shù)技術?！毖a償函數(shù)有序的以這樣一種方式：以連續(xù)無約束問題的最優(yōu)解去逼近約束函數(shù)的最優(yōu)解。有許多的補償函數(shù)公式的制定，其中有所謂的“外部補償函數(shù)”可被挑選。在數(shù)學術語角度來說， 轉換化的無約束的問

20、題都可以表達如下。從0x 開始，找到設計的mx ，比如：i u mxrmm i n)(,(25) 此處：)(,rmx=懲罰無限制目標函數(shù) =mimimxgrxf12)()(26) )()(mimixgxgfor 0)(mixg =0 for 0)(mixgr 為罰因子（積極參數(shù)） 。圖 6 說明這種方法背后的邏輯性。實線代表初始目標函數(shù)，這是(在這種情況下) 眾多車用起動電機的設計參數(shù)(em/eb)中以電機的體積作為一個目標函數(shù)的。而虛線代表電流密度函數(shù)，最大的約束電流密度為33a/mm2。很顯然，第 1點是無約束的極小化體積量， 極小化體積量滿足電流密度函數(shù)的約束應當是在第2 點，此點處于可

21、行和不可行領域的邊界之間。補償無約束目標函數(shù)),(rx的極小化隨著 r 的逐漸增加，而收斂到求解結果。從圖 6 很明顯的看出來，如果r 是選擇足夠大，的極小值點將會與第2 點一致。但是，如果 r 是非常大的選擇， 函數(shù)將變得非常陡峭， 很難取到極小值。10 這就是為什么該方法叫做有序極小化函數(shù)，它是以 r 取一個適中的值開始， 然后r 逐步增加，最后取到極小值。簡單的模塊框圖如圖7 所示 r 逐漸更新的步驟順序。把 r0的值先輸入到程序當中去，然后通過“極小化單變量的方法”11尋找無約束目標函數(shù)的極小值。正如名字所指的那樣，該方法變更設計變量，在一個循環(huán)下，一次改變一個變量。r2r1 圖 6

22、“外補償函數(shù)”技術的例子fig.6 example illustrating the “ exterior penalty function” technique.11 圖 7 簡單的模塊框圖fig.7 simplified block diagram.根據(jù)：nnnnsxx1(27)式中：ns 是一個循環(huán)命令的單位向量，1s=(1,0,0,0),2s= (0,l,0,0, , 0); 和na 為可自由挑選的可正、可負的步長，比如：)()(1nnxx(28) 表1 電機參數(shù)的優(yōu)化參數(shù)單位實際電機優(yōu)化設計定子外徑mm 84.0 84.0 迭片長度mm 36.6 36.6 轉子外徑mm 54.1 6

23、3.1 轉子槽數(shù)10 15 定子極數(shù)2 4 重量kg 1.08 1.23 有效效率% 57 72 這種收斂的搜尋采用加速的極小化步長方法，此方法的步長長度cy的選擇在一個給定特別的方向上可給函數(shù)帶來最大的縮減量。開始初始化變量r=r00x開始，極化小) r ,x(所有約束函數(shù)都滿足？停止y r=ar mxx0n 12 5. 數(shù)值計算驗證這種有效的方法是， 對涉及電機的體積空間和熱力學約束問題，通過檢測優(yōu)化的電機設計與原機設計的最大有效功率的比較。電機的輸出要求是：輸出功率 p=154w ，額定轉速 n=3250 r/min ，端電壓 v=12v 。既然有效的優(yōu)化常常趨向導致設計的參變量存在可能

24、極大化的尺寸，而減少損耗，那就必須有足夠的空間約束電機的定子外徑、轉子工作長度， 這樣才能等效于實際的電機結構，因此：最大定子外徑 dsout=84mm ；最大迭片長度 ls=36.6mm 。同樣，對實際的電機要有個正確的比較關系。在電樞繞組當中要有全負荷的電流密度，這樣可以決定電機的熱負荷大小， 被用來等效實際電機的約束最大值。因此，最大電流密度為15.32 a/mm2。為了避免交換性問題，這個交換性區(qū)域應當限制在一個小于或等于無控制作用的參數(shù)范圍內： 1/nzcz在設計當中假定的陶瓷永磁體(allen-bradley m10) ， 同樣與現(xiàn)有的電機一樣。在原機與優(yōu)化的電機當中，主要的設計區(qū)

25、別由表1 羅列的參數(shù)所決定，從表1可以看到電機的有效效率提高了大約28%(72 %相對于57%)，同樣增加了13.8%(1.23 kg相對于 1.08 kg)的電機重量和體積。 既然最優(yōu)解僅僅是基于有效效率的，那么優(yōu)化得到的4 級、15 槽的電機要比先前2 極、10 操的電機發(fā)費更多的錢。盡管如此，在電機總的成本中，成本因素很容易的移入到目標函數(shù)中。13 6. 結論本文介紹了一種 pmdc電機優(yōu)化設計的數(shù)學模型， 這個模型利用二維封閉的形式優(yōu)化電機的磁場，結合對電機的電磁物理量、電樞反應的作用、磁路飽和、非線性碳刷電壓降等約束， 得到優(yōu)化結果。 本文也描述了電機設計變量的轉化和標準化的方法，

26、使其模型能應用于一系列不同等級電機的優(yōu)化設計中。結合精確的和高的計算速度， 使模型能夠更好的用于優(yōu)化意圖。這個模型的計算通過優(yōu)化程序來執(zhí)行， 可以有系統(tǒng)的決定電機的優(yōu)化設計參數(shù)，比如電機的體積、 重量和效率。這種最優(yōu)化技術可以在程序使用中所描繪。并給出一個數(shù)值計算來驗證這個模型的有效性。14 參考文獻l r. w. menziea and g. w. neal, “optimization programs for large-induction motor design, ” proc. iee, vol. 122, pp. 643-646, june 1975. 2 j. appelhau

27、m, “optimized design of three phase power transformer,” etz-a, vol. 98, no. 6, 1977. 3 r. ramamourty and p. j. rao, “optimization of polyphase segmented-rotor reluctance motor design: a linear programming approach,”ieee trans. power app. syst., vol. pas-98, pp. 527-535, 1979. 4 o. r. mandryka, v. e. verkloglyan