三角形全等判定

1、三角形全等判定學(xué)習(xí)內(nèi)容：全等三角形的判定公理及推論（1）邊角邊公理（ sas ）（2）角邊角公理（ asa ）（3）角角邊推論（ aas ）（4）邊邊邊公理（ sss ）（5）斜邊、直角邊公理（hl ）知識(shí)講解：1. 思想方法：在平面幾何中，證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，兩條直線互相平行，兩條直線互相垂直等問(wèn)題，常?？梢酝ㄟ^(guò)證明三角形全等來(lái)解決，而且在整個(gè)證明過(guò)程中，往往要完成多次的三角形全等的證明。如果需要進(jìn)行多次的全等三角形證明，可以按以下結(jié)構(gòu)進(jìn)行：題設(shè)i i中間條件ii ii結(jié)論。2.這一部分內(nèi)容幾何的證明中，已經(jīng)開始需要添加輔助線，而輔助線的添加是個(gè)難點(diǎn)，從這一章開始，同學(xué)們應(yīng)逐步積累

2、這方面的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。在第三部分我們專門對(duì)這種問(wèn)題作了研究，以解決這一部分添加輔助線的問(wèn)題。例題分析：1如圖所示，已知ebad 于 b，fcad 于 c，且 eb=fc ，ab=cd 。求證： af=de 。分析：尋找af、de 所在的三角形，首先證明 afc deb 。然后證明af=de 。證明： eb ad（已知）例 2，如圖，已知ab、 cd 互相平分于o ，過(guò) o點(diǎn)引直線與ad 、bc 分別交于 e、f 點(diǎn)，求證： ae=bf 。分析：分析證明的思路，我們可以按兩個(gè)方向進(jìn)行：（1）“由因?qū)Ч保河梢阎獥l件，已經(jīng)可以證明哪幾對(duì)三角形全等？由此可以得出哪些線段或角相等？能由此得到求證的結(jié)論嗎？

3、在這道例題中，由已知條件，ao=bo ， aod= boc，do=co ，很快可用（ sas ）證得 aod boc，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)又可得ad=bc ， a= b， d=c 的結(jié)論，考慮到最終證明的結(jié)論，從這三個(gè)中間結(jié)果中選擇最有效的轉(zhuǎn)為新的三角形全等的條件：由于ae與 bf分別處于 aoe 和 bof 之中，于是選擇a= b，作為新的條件，用（asa ）來(lái)證明 aoe bof，再用全等三角形性質(zhì)得ae=bf 。（11）“由果索因”：根據(jù)求證目標(biāo)，需證哪一對(duì)三角形全等；如果條件不夠，能通過(guò)證另一對(duì)三角形全等提供條件嗎？在這道例題中，為了證明ae=bf ，由于 ae，bf 分別在 ao

4、e 和 bof 中，可先考慮證明aoe bof，已有 oa=ob ， aoe= bof，所缺條件為a=b 或 oe=of ，再考慮 a、 b 又分別在 aod 和 boc 中，看 aod boc 的條件是否具備，而根據(jù)題設(shè)證明這一對(duì)三角形全等卻是很容易完成的。這兩種方法的思考，第一種代表“順推”思路，而第二種代表“逆推”的思路，但不管哪一種思路，在證明過(guò)程的書寫時(shí)，必須用順推的方法書寫證明。例 3，如圖， ac 、bd相交于 e，ac=bd ，ab=dc ，求證： be=ce 。分析：為了證明be=ce ，只要證明abe dce ，在這兩個(gè)三角形中，已有ab=dc ， aeb= dec，已有一

5、角和所對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，還缺少一個(gè)條件，只能再尋找一對(duì)角的相等條件，很自然使我們將目光轉(zhuǎn)向證明 a=d，或 b= c，如果要證明角等，圖中已經(jīng)不再有現(xiàn)成的全等三角形，結(jié)合條件，只需連結(jié)ad ，輔助線 ad成了兩個(gè)三角形abd 和 acd 的一條公共邊，從題設(shè)構(gòu)成了一對(duì)全等三角形；acd dba ，由此找到了證明的完整思路。證明的路線如下：例 4，求證：全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等。分析：首先要分清命題中的題設(shè)和結(jié)論部分，從形式上看，題目中似乎只有結(jié)論部分，不知道題設(shè)應(yīng)該寫什么？實(shí)際上，任何一個(gè)數(shù)學(xué)命題都是一個(gè)完整的敘述，它們都是判斷某一件事情的句子，那么這一句子中必有被判斷的對(duì)象及判斷后得到

6、的結(jié)果，那么這個(gè)被判斷的對(duì)象就是命題的條件（題設(shè)），結(jié)果就是命題的結(jié)論。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，例題中的題設(shè)應(yīng)該是：兩個(gè)全等三角形及其對(duì)應(yīng)角的平分線。結(jié)論是：對(duì)應(yīng)角的平分線相等。分清了命題的題設(shè)與結(jié)論兩部分，就可以把命題的內(nèi)容畫成相應(yīng)的幾何圖形，以便用簡(jiǎn)單的符號(hào)代替文字?jǐn)⑹?。此例題可以這樣畫圖。畫出兩個(gè)全等三角形，abc 和 abc ，再做出一對(duì)對(duì)應(yīng)角aa 的平分線ad和 ad 。在畫圖時(shí)必須注意兩點(diǎn)：（1）不要畫出題中所沒有的多余條件。如按本題要求，三角形只能畫成任意三角形，而不要畫成等腰三角形、等邊三角形，以免干擾思維。（2）不忽略題中所指圖形應(yīng)有的性質(zhì)。兩個(gè)三角形全等的，就不應(yīng)畫出一大一小，或形狀

7、各異的兩個(gè)三角形。然后，結(jié)合圖形，按每一概念的確切敘述寫出已知，求證。已知： abc abc ， ad和 ad 分別是 bac 和 bac 的平分線，求證：ad=ad 。證明的路線如下：例 5，求證：兩個(gè)三角形的兩邊和第三邊的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形的第三邊也相等。分析：題目的題設(shè)是兩個(gè)三角形中有兩邊和第三邊的中線對(duì)應(yīng)相等，結(jié)論是這兩個(gè)三角形的第三邊相等。已知 abc 和 abc ，ab=ab ，ac=ac ，d為 bc中點(diǎn)， d 為 bc 中點(diǎn)，且ad=ad ，求證： bc=bc 分析：由題設(shè)可知所給的已知條件不在同一個(gè)三角形中，要想充分利用已知條件，就得想辦法將這些分散的條件集中在一個(gè)三角

8、形中。因?yàn)轭}目中有中線，常常采用作倍長(zhǎng)中線的輔助線，這樣創(chuàng)造出全等的三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)。這樣達(dá)到將分散的條件集中在一個(gè)三角形中的目的，使問(wèn)題向著可以解決的方向轉(zhuǎn)化。輔助線的做法：在全等三角形這部分的證明中，已經(jīng)開始需要添加輔助線，添加輔助線的基本思想就是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，現(xiàn)在我們介紹一些添加輔助線的方法，供大家學(xué)習(xí)。1、按照“中心對(duì)稱”原則，構(gòu)造全等三角形，添加輔助線。把一個(gè)三角形繞著它的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，得到另一個(gè)三角形，這樣的一對(duì)三角形叫做中心對(duì)稱型全等三角形 ( 或者說(shuō)，把一個(gè)三角形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，得到了另一個(gè)三角形，這樣的一對(duì)三角形叫做中心對(duì)稱型全等三

9、角形) 如下列基本圖形。說(shuō)明：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)兩條相等的線段在一組對(duì)頂角的兩邊且成一直線時(shí)，就可以添加中心對(duì)稱型的全等三角形進(jìn)行證明，添加的方法是過(guò)端點(diǎn)作平行線或者按照上邊的例題5 的方法，截取相等的線段。例析：如圖，已知 abc 中， ab ac ，bd=cf 求證： de ef分析一這個(gè)題目要證明的結(jié)論是de=ef 如圖所示，這就出現(xiàn)了相等兩線段在一組對(duì)頂角的兩邊，而且成一直線，在這種情況下，就可以添加一對(duì)中心對(duì)稱型的全等三角形進(jìn)行證明。添加的方法是過(guò)d 作 dg/ac，交 bc于 g ，如圖所示， 那么 dge 和fce 就一定是一對(duì)中心對(duì)稱型的全等三角形。要證明這兩個(gè)三角形全等就應(yīng)抓住

10、一組邊相等的條件，而de=ef是結(jié)論不能用，需要證明另一組邊。已知條件告訴我們cf=bd ， 所以就應(yīng)該證明cf和它的對(duì)應(yīng)邊dg相等，如圖所示， 也就是證明db=dg ， 而 dg/ac，所以 1=2，又已知ab=ac ，所以 2=b，因此 1=b，那么 db=dg 就可以證明了。分析二：如下圖所示，本題也可以過(guò)端點(diǎn)f 作 fh/ab 交 bc的延長(zhǎng)線于h ，補(bǔ)出一對(duì)中心對(duì)稱型全等bde和hfe 。證明二提示 : 與上一種證法基本一致, 通過(guò)證明 efh edb 來(lái)證得 de=ef,注意使用bd/fh, 推出角的關(guān)系. 證明略 . 2、按照“軸對(duì)稱”原則，構(gòu)造全等三角形，添加輔助線。把一個(gè)三角

11、形沿著某一條直線翻轉(zhuǎn)后與另一個(gè)三角形重合，那么這一對(duì)三角形就叫做軸對(duì)稱型全等三角形?；緢D形：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)兩條相等的線段或兩個(gè)相等的角關(guān)于某一線段或直線成軸對(duì)稱時(shí)，就可以構(gòu)造軸對(duì)稱型的全等三角形進(jìn)行證明。例析：如圖，在正方形abcd 的對(duì)角線ac上截取 ae=ab ，作 efac 交 bc于 f。求證： ef=fb. 分析：本題目要證明的結(jié)論ef=fb 。本題目已知中有ae=ab ，又有 aef=b=90 ，所以，連接af構(gòu)造aef 、 abf 全等，容易證明。以上只是作輔助線的部分方法，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸積累經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)難點(diǎn)一定能解決。第一階梯例1、如圖，在四邊形abcd 中， a

12、b/cd，ad/bc，求證： abd cdb點(diǎn)撥 ：判定三角形全等，首先要確定一條相等的邊，觀察圖形， bd是公共邊，再由平行條件，得到角相等。（1）思路溝通后，按著判定三角形全等的條件順序書寫（2） abd可看做繞 a點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180后，再沿bd翻折與 cdb重合（3）若連結(jié) ac交 bd于 o ， ado 與 cbo全等嗎？為什么？這兩個(gè)三角形怎樣才能重合例2、已知：如圖，在abc中， ab=ac ， 1=2，求證：（ 1） b=c（2）ad bc 點(diǎn)撥 ：利用 abd 與 acd全等，得到 b=c， 3=4 再證明 ad bc ，把 abd可看做沿 ad邊翻折后，與 acd重合。說(shuō)明 ：判

13、定兩個(gè)三角形全等后，要根據(jù)題目的要求，選擇所需的是角還是邊，再下結(jié)論，如上例，改證：d是 bc中點(diǎn)，則需要 bd=dc 。例 3、已知：如圖ab=ad ，bc=cd ，且 bd 、ac相交于 o點(diǎn)。求證：（ 1） 1=2 （2）do=bo點(diǎn)撥 ：圖形中隱含著公共邊ac ，由 adc與 abc全等，可知 1=2，再證 ado abo 即可，此題證法不唯一。說(shuō)明 ：如何把條件和未知放在某兩個(gè)三角形中，可先由直觀圖形的形狀觀察再結(jié)合條件來(lái)確定。第二階梯例 1、已知：如圖ad=ae ， adc= aeb ，且 be ，cd相交于 p ，求證： pb=pc點(diǎn)撥 ：要證 pb=pc ，可考慮 bpd與 c

14、pe全等，但這兩個(gè)三角形不具備一條相等的邊，所以要利用已知條件，先證adc aeb說(shuō)明 ：可借助于三角形全等，證明線段相等或角相等，有時(shí)可能需證兩次全等，才能達(dá)到目的，adc如何運(yùn)動(dòng)才能與 aeb重合，請(qǐng)想一想。例 2、已知：如圖ad/bc，ad=bc ，de ac于 e，bfac于 f，求證：（ 1）ab/cd （ 2）df=be點(diǎn)撥 ：由 adc 與 cba全等，得到 1=2，則 ab/cd，也可證 ade cbf ，再證 dcf bae ，此題證法不唯一，是應(yīng)用判定定理的很好圖形。說(shuō)明 ：全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)高線，周長(zhǎng)，面積，都是相等的，在（ 2）中，可證rtaec與

15、 rtbfa全等。例 3、已知：如圖，ad/bc，ae/cf，ad=bc 。求證：（ 1）ab=cd （2）ab/cd（3）ae=cf點(diǎn)撥 ：由條件可知 abd cdb則（ 1）（2）得證，在證（ 3）時(shí)，可利用 3，4 的鄰補(bǔ)角相等，得到fdc與 eba全等，則 ae=cf 。說(shuō)明 ：對(duì)于四邊形較復(fù)雜的題目，一定要看清所給的條件，對(duì)于證明的結(jié)論有什么用處，尋找可能全等的三角形。第三階梯例 1、已知：如圖，ab=ae ， b=e，bc=ed ，點(diǎn) f是 cd的中點(diǎn)。求證：afcd于 f點(diǎn)撥 ：欲證 afcd ，可證 afc= afd=90 連結(jié) ac ，ad ，借助 abc與 aed全等來(lái)達(dá)到目的。說(shuō)明 ：通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把待證的線段放在三角形中，再利用全等的知識(shí)進(jìn)行證明是?？紤]的方法之一。例 2、已知：如圖abc ，ade都是直線， be ，cd交于 o，連結(jié) ao （1）若 1=2，dc=be ，求證： bc=de（2）若 bc=de ，be=dc ，求證： 1=2點(diǎn)撥 ：本例中隱含的條件有（1）公共角：cae （2）對(duì)頂角： 5=6（3）公共邊： ce在證明時(shí)注意使用這些隱含條件說(shuō)明 ：具有此種圖形的相關(guān)證明，利用軸對(duì)稱來(lái)證更簡(jiǎn)單。此例可把條件，結(jié)論稍加改變后，舉一反三的訓(xùn)練證明，線段相等和角相等。例 3、已知：如圖da ab ，eaac ，ad=