泰勒公式與極值問題PPT課件

1、類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz第1頁/共41頁yxe22例例1. 求函求函數(shù)數(shù)yxez2.23xyz解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及

2、 第2頁/共41頁0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共41頁證: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfy

3、yxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理.令第4頁/共41頁),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(

4、4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點(diǎn))(00yx ，連續(xù),得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0y第5頁/共41頁證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有而初等第6頁/共41頁復(fù)合函數(shù)的

5、高階偏導(dǎo)數(shù)第7頁/共41頁例例2. 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共41頁為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例3. 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf

6、2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共41頁(當(dāng) 在二、三象限時(shí), )xyarctan例例4. 設(shè)設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解: 已知sin,cosryrxuryxyx極坐標(biāo)系下的形式xrruxu(1), 則xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xu2ryururusincos第10頁/共4

7、1頁yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ryru2rxuuryxyx第11頁/共41頁 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用已有公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共41頁22yu2222yuxu21r22xu22222222sin

8、cossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共41頁二、中值定理與泰勒公式二、中值定理與泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數(shù)泰勒公式 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共41頁記號(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxf

9、ykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表示表示第15頁/共41頁定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在點(diǎn)設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn), 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(0

10、01! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式,稱為其拉格朗日型余項(xiàng) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共41頁證證: 令令),10(),()(00tktyhtxft則 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx

11、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共41頁),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共41頁),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn說明說明:(1) 余項(xiàng)估計(jì)式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , ,22kh 令則有1)(! ) 1(

12、nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共41頁(2) 當(dāng)當(dāng) n = 0 時(shí)時(shí), 得二元函數(shù)的得二元函數(shù)的 拉格朗日中拉格朗日中值公式值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域D 上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共41頁例例5. 求函求函數(shù)數(shù))0 , 0()1ln()

13、,(在點(diǎn)yxyxf解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共41頁)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又

14、代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共41頁xyz三、三、 多元函數(shù)的極值問題多元函數(shù)的極值問題 定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有

15、xyzxyz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共41頁說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) （或穩(wěn)定點(diǎn)）. 例如,定理定理1 (必要條必要條件件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共41頁時(shí), 具有極值極值的充分條極

16、值的充分條件件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A 0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理2 (充分條件)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共41頁證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注并注意意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfx

17、xkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共41頁22221kCkhBhA其中其中 , , 是當(dāng)是當(dāng)h 0 , k 0 時(shí)的無時(shí)的無窮小量窮小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時(shí)因此當(dāng)kh.),(確定的正負(fù)號可由khQz(1) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 必有 A0 , 且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA2221()()AAhBkACBk可見

18、 ,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點(diǎn)yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(2o22221kkhh第27頁/共41頁,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而 z0,在點(diǎn)因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 則 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時(shí), 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當(dāng),),(0000時(shí)接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正

19、有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁/共41頁+xy),(00yxo若若 AC 0 , 則必有 B0 ,不妨設(shè) B0 ,此時(shí) 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對點(diǎn),同號時(shí)當(dāng)kh,0),(khQ,異號時(shí)當(dāng)kh,0),(khQ可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)ACB2 0 時(shí), 若 A0,則21)(),(kBhAkhQA若 A0 ,則 B0 ,2),(kCkhQ可能),(khQ為零或非零機(jī)動 目錄 上頁 下頁

20、 返回 結(jié)束 第29頁/共41頁此時(shí))(),(221okhQz因此 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(,0),(2確定的正負(fù)號由時(shí)因?yàn)閛zkhQ不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點(diǎn) . 第30頁/共41頁例例1.1.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 (

21、 f,0Axyxyxyxf933),(2233機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共41頁在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁/共41頁例例2.討論函討論函數(shù)數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,

22、 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁/共41頁最值應(yīng)用問最值應(yīng)用問題題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大) )( (大) )依據(jù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁/共41頁例例3

23、3. .解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第35頁/共41頁例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形的長方形鐵板鐵板 ,把它折起來做成解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2si