線控教案整理好的

1、.例題2.1 RLC網(wǎng)絡(luò)，為輸入，為輸出，試求其數(shù)學(xué)描述。圖1解：由圖列方程 （1）用一階微分方程表示，整理（1）得： （2）仍以例題2.1為例，能否把RLC網(wǎng)絡(luò)中的電感電流i和電容電量q作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量？解：由圖列方程 （1）用一階微分方程表示，整理（1）得： （2）例題.5 設(shè)系統(tǒng)輸出輸入微分方程： 將其化為狀態(tài)空間描述。解：取狀態(tài)變量：寫成矩陣向量形式：例題2.7 設(shè)，求其狀態(tài)空間描述。解：其極點為：因此，其相應(yīng)的狀態(tài)空間表示式為： ，二、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點為重根k1i的計算公式：例題2.8（教材上的例2.6）設(shè)，求其狀態(tài)空間描述。因此，其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：1、 傳遞函數(shù)的極點

2、為k個重根（舉例明說）例題2.9 設(shè)，求其狀態(tài)空間描述。解：按部分分分式展開： 所以，寫成狀態(tài)空間表達(dá)形式為： 例題2.10 設(shè)，求其狀態(tài)空間描述。解：按部分分分式展開： 所以，寫成狀態(tài)空間表達(dá)形式為： 一、 狀態(tài)變量圖（模擬結(jié)構(gòu)圖），其中：例題：已知：選擇變換矩陣：，即所以，有 坐標(biāo)變換系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：選擇變換矩陣：，即所以，有坐標(biāo)變換系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：例題：，求其特征值。解：A的特征方程為：解之，得特征值為： （實根）舉例：，求其特征矢量。解：A的特征方程為：解之，得特征值為： 1）、對應(yīng)于的特征矢量，按定義 有： 計算整理得解得： 所以：2）、同理，對應(yīng)于的特征矢量對應(yīng)于的特征

3、矢量三、將狀態(tài)空間描述化為規(guī)范型解題步驟：1) 求取系統(tǒng)矩陣A的特征值和對應(yīng)的特征向量;2) 構(gòu)造變換矩陣,并求;3) 求例題：將下列狀態(tài)方程化為標(biāo)準(zhǔn)型解：1）求特征值解得：2）求特征向量當(dāng)時，有 解得：當(dāng)時,有 解得： 3）構(gòu)造變換矩陣,并求；，4）求 所以得到對角線規(guī)范型： （1） 當(dāng)矩陣A的特征值兩兩相異且A矩陣為友陣定理：當(dāng)系統(tǒng)矩陣A兩兩相異且A矩陣為友陣時，將其化為規(guī)范型的變換矩陣是一個范德蒙德矩陣，即已知： 則變換矩陣?yán)}：將下列方程化為規(guī)范型 解：1)計算特征值 解得： 2）構(gòu)造變換矩陣P ,3) 求 4) 變換后的狀態(tài)方程為對角規(guī)范型： 1、 將狀態(tài)空間描述化為約當(dāng)規(guī)范型例題：

4、 1) 求矩陣A的特征值 解得：2）構(gòu)造變換矩陣：當(dāng)時， 解得再求對應(yīng)于的另一個廣義特征向量：當(dāng)時， 解得：當(dāng)時， 解得： 構(gòu)造P為：3）求變換后的矩陣：*;（陳明）現(xiàn)代控制理論教案第三章第三章 系統(tǒng)的運(yùn)動與離散化（狀態(tài)方程的解）1、 拉氏反變換法（重點）已知：兩邊同時拉氏變換：所以對上式拉氏反變換，得：因此： （重點）例3.2.1 用Laplace變換法計算矩陣指數(shù)已知：解：所以2、 化有限項法例題：已知，試用化有限項方法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：求得： 因為，其中 解得：所以：（1） A中含有重特征值例題(二重根)：已知：，試用化有限項的方法求矩陣A的矩陣指數(shù)。解：解得: 解得： 所以：=二、

5、 將脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間描述例題：解：其中：所以，其狀態(tài)空間描述為： 1、 脈沖傳遞函數(shù)等極點為重根k1i的計算公式：例題：因此，其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化例題：系統(tǒng)方塊圖如圖所示：（1） 求系統(tǒng)開環(huán)離散狀態(tài)空間描述解：1）由圖，求得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為則其狀態(tài)空間描述為2）將其化為離散狀態(tài)空間描述：先求所以求得再求所以求得因此，開環(huán)系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間描述為： （2） 求閉環(huán)系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間描述由圖可知，所以，將G，H，C帶入上式得：第四章 系統(tǒng)的能控性與能觀測性一、 狀態(tài)能控性判據(jù)的第一種形式例題：系統(tǒng)為：解：其能控性矩陣因為滿秩，所以系統(tǒng)是能控的。例題：解：有因此

6、，所以系統(tǒng)是不能控的。例題：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：當(dāng)取何值時，式系統(tǒng)為不能控 ？解；當(dāng)時，傳遞函數(shù)有零極點對消，這時系統(tǒng)是不能控的。能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型（重點）二、單輸入單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型解題步驟：1）先判別系統(tǒng)的能控性；2）計算系統(tǒng)的特征多項式；3）求，構(gòu)造變換矩陣；4）求出例題：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，將其劃為能控標(biāo)準(zhǔn)型。解：先判別系統(tǒng)的能控性，所以系統(tǒng)是能控的。再計算其特征多項式即 求，變換矩陣 ， 例題：已知線性定常系統(tǒng)：（無輸出方程，可以直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)型）試將狀態(tài)方程化為能控規(guī)范型。解：1）先判別系統(tǒng)的能控性因為滿秩，系統(tǒng)是完全能控的。2）計算系統(tǒng)的特征多項式 3）求，構(gòu)造變換矩

7、陣 構(gòu)造變換矩陣 ，4） 故系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型為： 三、單輸入單輸出系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型3、解題步驟：1）先判別系統(tǒng)的能觀測性；2）計算系統(tǒng)的特征多項式；3）求，構(gòu)造變換矩陣；4）求出例題：將系統(tǒng)化成能觀測規(guī)范型。解：1）先判別系統(tǒng)的能觀測性滿秩，所以系統(tǒng)是能觀測的。2）計算系統(tǒng)的特征多項式 3）求，構(gòu)造變換矩陣； 構(gòu)造變換矩陣，得 ，4）求 ，例題：已知系統(tǒng) （沒有B矩陣，可以直接寫出能觀規(guī)范型）解：1）先判別系統(tǒng)的能觀測性滿秩，所以系統(tǒng)是能觀測的。2）計算系統(tǒng)的特征多項式 3）求 ， 所以系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型為 第五章 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器例題：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：試設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系

8、統(tǒng)的極點配置在-2，。解：1）因為傳函沒有零極點對消，所以原系統(tǒng)能控且能觀，可以將系統(tǒng)寫成能控規(guī)范型：2）對該系引入狀態(tài)反饋矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為則系統(tǒng)的特征多項式為：3）根據(jù)系統(tǒng)給定的期望極點，其期望特征多項式為：4）比較和各對應(yīng)系數(shù)，可解得：即：2、特征值不變性原理方法（適合系統(tǒng)階次）例題：已知系統(tǒng)為:試確定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點都配置在-3。解：1）該系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：顯然該系統(tǒng)能控，可以任意配置極點。2）對該系引入狀態(tài)反饋矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為則系統(tǒng)的特征多項式為：3）根據(jù)系統(tǒng)給定的期望極點，其期望特征多項式為：4）比較和各對應(yīng)系數(shù)，可解得：即：3、已知

9、為任意能控系統(tǒng)。（能控規(guī)范型法，適合系統(tǒng)階次）例題：已知單輸入線性定常系統(tǒng)為：試求出狀態(tài)反饋，使得閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為。，解：1)先判別系統(tǒng)的能控性，2）計算其特征多項式 ，3）求變換矩陣P 變換矩陣4）所以該系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型為：對該系引入狀態(tài)反饋矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為則系統(tǒng)的特征多項式為：5）根據(jù)系統(tǒng)給定的期望極點，其期望特征多項式為：6）比較和各對應(yīng)系數(shù)，可解得：即：所以，1、已知為能觀規(guī)范型。例題：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：試設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在-2，。解：1）因為傳函沒有零極點對消，所以原系統(tǒng)能控且能觀，可以將系統(tǒng)寫成能控規(guī)范型：2）對該系引入狀態(tài)反饋矩陣，則閉環(huán)系

10、統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為則系統(tǒng)的特征多項式為：3）根據(jù)系統(tǒng)給定的期望極點，其期望特征多項式為：4）比較和各對應(yīng)系數(shù)，可解得：即：2、特征值不變性原理方法（適合系統(tǒng)階次）例題：已知系統(tǒng)為:設(shè)計全維狀態(tài)觀測器使其極點為-10，-10。解：1）先判斷其能觀性，該系統(tǒng)能觀，可以構(gòu)造觀測器。2）構(gòu)造該系統(tǒng)的觀測器，設(shè)反饋矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：3）根據(jù)觀測器的期望極點，其期望特征多項式為：4）比較和各對應(yīng)系數(shù)，可解得：即：因此，觀測器方程為：3、已知為任意能觀系統(tǒng)。（能控規(guī)范型法，適合系統(tǒng)階次）已知系統(tǒng)為: 設(shè)計全維狀態(tài)觀測器使其極點為-10，-10。解：1）先判斷其能觀性，該系統(tǒng)能觀，可以構(gòu)造觀測器。2

11、）原系統(tǒng)的特征多項式為 所以，3）構(gòu)造變換矩陣T ，4）則原系統(tǒng)變換為能觀規(guī)范型為：5）設(shè)計狀態(tài)觀測器，引入反饋矩陣，根據(jù)觀測器的期望極點，其期望特征多項式為：，則所以，得到：因此，觀測器方程為：附：，例題：已知受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：用狀態(tài)反饋將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在，并設(shè)計實現(xiàn)上述反饋的全維狀態(tài)觀測器（設(shè)其極點都為-10），畫出全維觀測器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解：（1）由傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)能控能觀，因而存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器，根據(jù)分離性可分別進(jìn)行設(shè)計。（2）設(shè)計狀態(tài)反饋控制矩陣K。為觀測器設(shè)計方便，原系統(tǒng)可以直接寫出其能觀規(guī)范型：設(shè)，則閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為：則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：根據(jù)期望極點，其期望

12、特征多項式為：比較和，得：（3）設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。令，則觀測器的特征多項式為：觀測器期望特征多項式為：比較和，得：因此，觀測器方程為：則閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖示。第七章 李亞普諾夫穩(wěn)定性理論1） 判別定號性。1、標(biāo)量函數(shù)的定號1）正定：，V(X)=0；，例如：2）半正定：，V(X)=0；，例如：3）負(fù)定：，V(X)=0；，例如：4）半負(fù)定（非正定）：，V(X)=0；，例如：5）不定的：，V(X)=0；，或例如：例題：判別下列函數(shù)的符號性質(zhì)（半正定的）2、二次型標(biāo)量函數(shù)（1） 若為正定，則稱P為正定，即。（2） 若為半正定，則稱P為半正定，即。（3） 若為負(fù)定，則稱P為負(fù)定，即。（4） 若為半負(fù)定

13、，則稱P為半負(fù)定，即。因此，判別V(X)的符號就是判別P的符號即可。1、 賽爾維斯特判據(jù)：（1） 為正定的充要條件是P的所有順序主子行列式都是正的。例題：（正定）解： 例題：判別二次型函數(shù)的定號性。解，二次型可以寫成: 根據(jù)賽爾維斯特準(zhǔn)則，是正定的。（2） 為半正定的充要條件是 例題： （3） 為負(fù)定的充要條件是 （4） 為半負(fù)定的充要條件是 判斷下列函數(shù)的正定性。（不定） §7.3 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性1）若是負(fù)定的，則在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2）若是半負(fù)定的，但對任意初始狀態(tài)來說，對，不恒為零。3）若是半負(fù)定的，但

14、在某一X（非零）值恒為零。則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。4）若是正定的，則在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例題：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：坐標(biāo)原點是其唯一的平衡狀態(tài)。選擇一個正定的標(biāo)量函數(shù)：則是負(fù)定的。又由于，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。例題：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：坐標(biāo)原點是其唯一的平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型為李亞普諾夫函數(shù) ： （正定的）則 （半負(fù)定的） 又由于，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。若選擇 則是負(fù)定的。例題：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 試分析其平衡狀態(tài)的

15、穩(wěn)定性。解：坐標(biāo)原點是其唯一的平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型為李亞普諾夫函數(shù) ： （正定的）則 （半負(fù)定的）李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。例題：已知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。坐標(biāo)原點是其唯一的平衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型為李亞普諾夫函數(shù) ： （正定的）則 （正定的）所以根據(jù)定理，是不穩(wěn)定的。例題、設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試分析平衡點的穩(wěn)定性。解，顯然是其唯一的平衡狀態(tài)。設(shè)，選取 根據(jù)式 解得：根據(jù)塞爾維斯特準(zhǔn)則可知P是正定的，所以系統(tǒng)在平衡點是大范圍漸近穩(wěn)定的，且李亞普諾夫函數(shù)為：例題：利用李亞普諾夫第二法判別下列系統(tǒng)是否為大范圍漸近穩(wěn)定。解：A矩陣非奇異，為系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)。設(shè)，選取根據(jù)式 解得：根據(jù)塞爾維斯特準(zhǔn)則，P為正定的，所以系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。例題：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：若要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，確定增益K的穩(wěn)定范圍。解：因為，故原點是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)。設(shè)，取為了說明這樣選取Q 是半正定的正確性，尚需證明沿任意軌線不恒等于零。由于，顯然的條件是，即在處才使，而沿任意一軌線均不會恒等于零。根據(jù)式解得：若要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，P為正定的，即解上式得：例題：設(shè)離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試確定系統(tǒng)在平衡點處是大范圍漸近穩(wěn)定的條件。解 根據(jù)穩(wěn)定性定理，設(shè)取根據(jù)公式解得：所以，根據(jù)塞爾維斯特準(zhǔn)則，若使系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，則P為正定的，即解得：和例題：設(shè)離散時間系統(tǒng)