高等數(shù)學(xué)：3-3 洛必達(dá)法則（1-35）

1、3.3 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則問題問題:本節(jié)討論以下七種不定型的極限計(jì)算問題本節(jié)討論以下七種不定型的極限計(jì)算問題 : 001)(07 )( 03)( )(2 )(4 15)( 006)(注意注意:這七種不定型中以這七種不定型中以 , 為基本不定型為基本不定型 , 00 其余五種都可化為這兩種基本不定型其余五種都可化為這兩種基本不定型 10 型型 00我們僅對我們僅對 的過程進(jìn)行定理的敘述的過程進(jìn)行定理的敘述ax定理定理 ( 型的洛必達(dá)法則型的洛必達(dá)法則 ) 00設(shè)設(shè)(1) 函數(shù)函數(shù) f (x) , g (x) 在在 ( a , a + ) , ( 0 ) 上有定義上有定義 ,且且; xg , x

2、faxax00)(lim)(lim(2)( )( xg , xf 在在 ( a , a + ) 上存在上存在 , 且且 ; xg0)( (3)）或或 Axgx fax（)()(lim）（或或 Axgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim則則證明證明構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù), ax , aax , xfxF0),()()( ax , aax , xgxG0),()()( 則對任意則對任意 x ( a , a+ ) , F(x) , G(x) 在在 a , x 上連續(xù)上連續(xù),( a , x ) 上可導(dǎo)上可導(dǎo) , , xgxG 0)()(且且利用柯西中利用柯西中值定理值定理 , 存在存

3、在 ( a , a + x ) 使使)()()()(xGxFxgxf)()()()(aGxGaFxF)( )( gf)( )( GF兩邊取極限有兩邊取極限有 , a ax 注意到注意到）（或或 Agfxgxfaxax)( )( lim)()(lim 說明說明: (1) 如果將定理中的如果將定理中的 ( a , a+ ) 換成換成, Rx aN0或或),( 則定理的結(jié)論對則定理的結(jié)論對, ax x等情形的等情形的 不定型也成立不定型也成立 , 00）（或或 Axgxfxgxfxx)( )( lim)()(lim(2) 定理中的條件定理中的條件 (3) 是重要的是重要的 , 如果如果)( )( l

4、imxgxfax不存在不存在 (不為不為 ) , 則則 洛必達(dá)法則對此問題洛必達(dá)法則對此問題無效無效 , 不能得出不能得出 不存在不存在)()(limxgxfax）（或或 Axgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim即有即有例例計(jì)算下列極限計(jì)算下列極限x xx1210lim)(xarcx xcot)ln(lim)(112解解 (1) 這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 , 利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則, 有有001221200lnlimlimxxxxx (2) 這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 , 利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則, 有有00 xarcx xcot)ln(l

5、im111122xxxxlim22111111xxxx)(lim2ln 例例計(jì)算計(jì)算3044xxx xsinsinlim解解這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 , 利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則, 有有00原式原式洛洛203444xxx xcoscoslim洛洛xxx x644160sinsinlim洛洛10644640 xx xcoscoslim例例計(jì)算計(jì)算xxxx xtanarctansinarcsinlim0解解 原式原式洛洛xxxx x222011111coscoslim2220111xxxx xcoscoslim洛洛xxxxxxxx x2211220sincossincoslim整

6、理整理xxxxxxx xsincoscos)(sinlim2012121112120 xxxxxxx xcossincossin)(lim分子、分母分子、分母 同除同除 x說明：說明：利用洛必達(dá)法則要與其他的極限計(jì)算方法利用洛必達(dá)法則要與其他的極限計(jì)算方法結(jié)合起來使用結(jié)合起來使用 例例計(jì)算計(jì)算)cosarctan(sin)cosln(limsin3230131xxxe xx解解這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 , 但直接利用洛必達(dá)但直接利用洛必達(dá)00法則計(jì)算比較復(fù)雜法則計(jì)算比較復(fù)雜原式原式恒等變形恒等變形32301311)cosarctan(coslnlimsinxex xx等價變換等價

7、變換3230131xex xxcoscoslimsin變形整理變形整理33301131xxx xcoscoscoslim3302311131x xcoslim例例計(jì)算計(jì)算)sinln(limcosxxee xxxx110解解這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 , 但直接利用洛必達(dá)但直接利用洛必達(dá)00法則計(jì)算比較繁瑣法則計(jì)算比較繁瑣 , 先利用等價代換簡化問題先利用等價代換簡化問題 分子分子:)(cos1111xxxcosx-xeeee)cos(xex11221xe分母分母:21xxxxxsin)sinln(原極限原極限22021xxe x lime21 20 不定型不定型 我們不加證明的給

8、出下面的定理我們不加證明的給出下面的定理定理定理 ( 型的洛必達(dá)法則型的洛必達(dá)法則 ) 設(shè)設(shè)(2)( )( xg , xf在在 ( a , a + ) 上存在上存在 , 且且 ; xg0)( (3)）（或或 Axgxfax)( )( lim）（或或 Axgxfxgxfaxax)( )( lim)()(lim(1) 函數(shù)函數(shù) f (x) , g (x) 在在 ( a , a + ) , ( 0 ) 上有定義上有定義 ,且且 , xfax)(lim; xg ax)(lim則有則有說明說明:(1) 如果將定理中的如果將定理中的 ( a , a+ ) 換成換成, Rx aN0或或),( 則定理的結(jié)論對

9、則定理的結(jié)論對, ax x等趨限過程的等趨限過程的 不定型也成立不定型也成立(2) 定理中的條件定理中的條件 (3) 是重要的是重要的 , 如果如果)( )( limxgxfax不存在不存在 (不為不為 ) , 則則 洛必達(dá)法則對此問題無效洛必達(dá)法則對此問題無效 , 不能得出不能得出 不存在不存在(無明確結(jié)論無明確結(jié)論)()(limxgxfax例例計(jì)算計(jì)算xx xlncotlnlim0解解這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 , 利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則 , 有有xxxxx xx1200)csc(tanlimlncotlnlim10 xxx xcossinlim例例計(jì)算計(jì)算)(lim0

10、xe xx解解這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 .設(shè)設(shè) 1n n 利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則 , 有有 xe xxlim1 xe xxlim21 xe xx)(lim)()()(lim011n xne nxx )()()(lim0111n xne nxx nxe nxx)()(lim 11說明說明: 上例說明上例說明 , 無論正數(shù)無論正數(shù)有多大有多大 , 當(dāng)當(dāng) x時時 , ex 的增長總比冪函數(shù)的增長總比冪函數(shù) x的的增長快增長快例例計(jì)算計(jì)算)(lnlim0 xx x解解 這是一個這是一個 型的不定型型的不定型 ,利用洛必達(dá)法則利用洛必達(dá)法則 , 有有 xx xlnlim011 xxl

11、im11 xxxlim說明說明: (1) 上例說明上例說明: lnx 的的增長總比冪函數(shù)增長總比冪函數(shù) x慢慢 (2) 進(jìn)一步可以證明進(jìn)一步可以證明: 對任意對任意 0 , k 0 , 有有 0 xx kxlnlim30 其他的不定型其他的不定型 不不定定型型01)(如果如果, x f0)(lim, x g)(lim則則)()(limxgxf是是 . 0 不不定定型型由于由于, xgxfxgxf)()()()(1, xfxgxgxf)()()()(1所以所以 , 不不定定型型 0 )()( limxgxf的極限的極限 可化為可化為00的極限的極限:, xgxfxgxf)()(lim)()(li

12、m1或者或者 型的極限型的極限 :, xfxgxgxf)()(lim)()(lim1的計(jì)算問題的計(jì)算問題例例計(jì)算計(jì)算)(lnlim00n xx nx解解xx nxlnlim0nxxx 10lnlim) (型型洛洛101nxxnx lim00nx nxlim注意注意:若將極限變形成若將極限變形成xx nxlnlim0 xx nxlnlim10) 00 (型型洛洛xxnx nx11210)(lnlim)ln(limnxxxn 20可以看出可以看出: 這樣處理將問題復(fù)雜化這樣處理將問題復(fù)雜化 在處理在處理 時時 , 需考慮化為需考慮化為 0 不不定定型型型型 00 型型還是還是 的問題的問題 說明說

13、明:例例求極限求極限xx x2121 tan)(lim解解)( 型型0原極限原極限xxx x22121 cossin)(lim) (型型00 xx x2121 coslim洛洛xxx2221 sinlim 4241xsinxxlim (2) 不不定定型型如果如果, xf )(lim, xg )(lim則則)()(lim(xgxf 不不定定型型稱為稱為)()()()(xgxfxgxf1111 上式說明上式說明: 極限可化為極限可化為 的極限問題來處理的極限問題來處理 型型 00 不不定定型型 對于對于 , 我們總可通過我們總可通過 (1) 式將此式將此(1)()()()(xgxfxfxg 111

14、例例計(jì)算計(jì)算)csc(cotlimxx x0解解xxx xsinsincoslim10這是這是 . 不不定定型型)csc(cotlimxx x0 xx xsincoslim10) 00 (型型洛洛00 xxxcossinlim例例計(jì)算計(jì)算)ln(limxxx x111解解這是這是 . 不不定定型型原極限原極限xxxxx xln)(lnlim111)( 型型00洛洛xxxxx1111lnlnlim整理整理11xxxxxxlnlnlim)( 型型00洛洛211111xxxlnlnlim說明說明:不不定定型型 通過通過 (1) 化為化為 是理論上的是理論上的 , 型型00實(shí)際應(yīng)用時實(shí)際應(yīng)用時 , 應(yīng)

15、盡量采用簡便的方法應(yīng)盡量采用簡便的方法例例計(jì)算計(jì)算)cossin(lim22201xxx x解解這是這是 . 不不定定型型原極限原極限xxxxx x222220sincossinlim)( 型型004220241xxx xsinlim304222xxxx xcossinlim洛洛302441xxx xsinlim洛洛20641xxxcoslim342206421xxx)(lim例例計(jì)算計(jì)算)ln(limxxx x112解解這是這是 . 不不定定型型原極限原極限)ln(limxxx x1112)( 型型021111xxx x)ln(lim322211111xxxx xlim洛洛21111322x

16、xxx xlim212122xxx xlim , , 不不定定型型10300)(a) 如果如果, x f0)(lim, x g0)(lim則極限則極限)()(limxgxf . 0 0不不定定型型稱為稱為)(ln)()(lim)(limxfxgxgexf所以所以 , 極限可化為極限可化為不不定定型型 0 的極限計(jì)算的極限計(jì)算 是是而而 xfxg )(ln)(lim. 0 不不定定型型(b) 如果如果, xf )(lim, xg 0)(lim則極限則極限)()(limxgxf . 0不不定定型型稱為稱為, exfxg)(ln)(lim(c) 如果如果, x f1)(lim, xg )(lim則極

17、限則極限)()(limxgxf . 1 不不定定型型稱為稱為, eexfxfxgxfxgxg)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim是是而而 xfxg )(ln)(lim. 0 不不定定型型, eexfxfxgxfxgxg)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim不不定定型型 0 的極限計(jì)算的極限計(jì)算 所以所以 , 可化為可化為是是而而 xfxg )(ln)(lim. 0 不不定定型型所以所以 , 可化為可化為不不定定型型 0 的極限計(jì)算的極限計(jì)算 例例計(jì)算計(jì)算xxxx 13 )(lim解解這是這是 . 0不不定定型型原極限原極限 e xxxx)ln(lim31xx xx)l

18、n(lim3洛洛133131)ln(limxxxx xxxx 3331lnlimxxxx31313lnlim 3ln 3331ln)(limex xxx )ln(limxxxxe31例例計(jì)算計(jì)算xxx _22 )(coslim解解這是這是 . 0 0不不定定型型原極限原極限 e xxx_cosln)(lim22 e xxxcosln)(lim22 由于由于xx_xcosln)(lim22 xx_x212 coslnlim2221)(cossinlimxxx_x 洛洛xxx_xcossin)(lim222 xx_xcos)(lim222 ) 00 (型型洛洛0222xx_xsin)(lim 所以

19、所以 , 有有 1022ex xx_ )(coslimxxx_xcossin)(lim222 例例計(jì)算計(jì)算xxx 22sec)(sinlim解解這是這是 . 1 不不定定型型原極限原極限 e xxxsinlnseclim22 e xxxsinlnseclim22 xxxsinlnseclim22xxx22cossinlnlim) 00 (型型洛洛xxxxxsincossincoslim222112122xxsinlim所以所以 , 有有 2122 ex xxsec)(sinlim例例已知已知 f (x) 在在 (- , + ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo) , 且且, exf x)( lim, xfxfcxcx xxx)()(limlim1求求 c 的值的值解解 因?yàn)橐驗(yàn)?xfxfx)()(lim1( 利用拉格朗日中值定理利用拉格朗日中值定理 ) ef x)( lim (介于介于 x-1與與 x 之間之間 )知知 c 0 又因又因ccxcxccxxxxecxccxcx 22221limlim于是有于是有 ee2c c 21例例求求 A 使函數(shù)使函數(shù)0111x , exxx)(0 x , A)(xf在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù)解解要