數(shù)字信號處理第三版第二章

1、第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 第第2章章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.4 時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換信號傅里葉變換之間的關(guān)系之間的關(guān)系 2.5 序列的序列的z變換變換 2.6 利用利用z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散

2、系統(tǒng) 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.2.1 序列傅里葉變換的定義序列傅里葉變換的定義 定義定義()( )jj nnx ex n e(2.2.1) 為序列為序列x(n)的傅里葉變換，用的傅里葉變換，用ft(fourier transform)表表示。示。 ft成立的成立的充分必要條件充分必要條件是序列是序列x(n)絕對可和，即滿絕對可和，即滿足下式：足下式： ( )nx n (2.2.2) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) ft反變換定義為：反變換定義為：(2.2.4) (2.2.1)和和(2.2.4)式組成式組成一對傅里葉

3、變換公式一對傅里葉變換公式。一些絕對不可和的序列（如周期序一些絕對不可和的序列（如周期序列），其傅里葉列），其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 【例例2.2.1】設(shè)x(n)=rn(n)，求x(n)的傅里葉變換。解解 當(dāng)n=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率的變化曲線如圖2.2.1所示。 )2/sin()2/sin(e )ee (e)ee (ee1e1 ee )()e (2)1( j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjnnrxnnnnnnnnnn第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散

4、信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 圖2.2.1r4(n)的幅度與相位曲線 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.2.2 序列傅里葉變換的性質(zhì)序列傅里葉變換的性質(zhì)1. ft的周期性的周期性 在定義式在定義式(2.2.1)中，中，n取整數(shù)，下式成立：取整數(shù)，下式成立： (2)()( ),jjm nnx ex n em為整數(shù)為整數(shù) (2.2.6) 序列的傅里葉變換是頻率序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)，周期是的周期函數(shù)，周期是2。 這樣這樣x(ej)可可以展成傅里葉級數(shù)，以展成傅里葉級數(shù)，(2.2.1)式就是傅里葉級式就是傅里葉級數(shù)的形式，數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。是其系數(shù)。 (

5、)( )jj nnx ex n e由于由于ft的周期性，一般的周期性，一般只分析只分析或或02之間的之間的ft第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 線性線性 11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjx eft x nxeft x nft ax nbx nax ebxe則則 設(shè)設(shè) 式中式中a, b為常數(shù)。為常數(shù)。 3. 時(shí)移與頻移時(shí)移與頻移 設(shè)設(shè)x(e j) = ftx(n)，則：，則：(2.2.7)0000( ()()( )()j njjnjft x nnex eft ex nx e (2.2.8) (2.2.9) ）第第1章章 時(shí)

6、域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 對稱性對稱性 先了解先了解共軛對稱共軛對稱與與共軛反對稱共軛反對稱以及它們的性質(zhì)：以及它們的性質(zhì)： 定義：定義：設(shè)序列設(shè)序列xe(n)滿足滿足 xe(n)=x*e(-n) 則稱則稱xe(n)為共軛為共軛對稱序列對稱序列。共軛對稱序列的共軛對稱序列的性質(zhì)性質(zhì)： 將將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示：用其實(shí)部與虛部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n) 兩邊兩邊 n 用用 n 代替，并取共軛，得：代替，并取共軛，得： x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) xer(n) = xer(-n) (2.2.11) xei(n)

7、 = -xei(-n) (2.2.12)v 共軛對稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。共軛對稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。對比兩式，對比兩式，得：得：第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 共軛反對稱序列的共軛反對稱序列的性質(zhì)性質(zhì)： 將將x0(n) 用實(shí)部與虛部表示：用實(shí)部與虛部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n) 得：得： xor(n) = -xor(-n) (2.2.14) xoi(n) = xoi(-n) (2.2.15)v 共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)， 而虛部是偶函數(shù)而虛部是偶函數(shù)。定義：定義：滿足下式

8、的序列稱滿足下式的序列稱共軛反對稱序列：共軛反對稱序列： xo(n) = -x*o(-n) (2.2.13)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) v 一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示， 即：即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.16) xe(n), xo(n)可以分別用原序列可以分別用原序列x(n)求出求出 將將(2.2.16)式中的式中的n用用-n代替，代替， 再取共軛得到：再取共軛得到： x*(-n) = xe(n)-xo(n) (2.2.17) 比較兩式，比較兩式， 得得 ：1( ) (

9、)()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18) (2.2.19) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 在頻域，函數(shù)在頻域，函數(shù)x(ej)也有類似的概念和結(jié)論：也有類似的概念和結(jié)論： x(ej) = xe(ej)+xo(ej) (2.2.20) 共軛對稱部分共軛對稱部分xe(ej)和共軛反對稱部分和共軛反對稱部分xo(ej) 滿足：滿足： xe(ej) =x*e(e-j) (2.2.21) xo(ej) = -x*o(e-j) (2.2.22) 同樣有下面公式：同樣有下面公式： 1()()()21()()()2jjjejjjoxe

10、x exexex exe(2.2.23) (2.2.24) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) ft的對稱性的對稱性 (a) 將序列將序列x(n)分成實(shí)部分成實(shí)部xr(n)與虛部與虛部xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 進(jìn)行進(jìn)行ft，得：，得： x(e j) = xe(e j) + xo(e j) 式中式中 xr(n)和和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。都是實(shí)數(shù)序列。xe(ej) 具具有共軛對稱性，其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。有共軛對稱性，其實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。 xo(ej) 具有共軛反對稱性質(zhì)，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。具有共軛反對稱性

11、質(zhì)，其實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。 結(jié)論結(jié)論： x(n) = xr(n) + jxi(n) x(e j) = xe(e j) + xo(e j)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) (b) 將序列分成共軛對稱部分將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部和共軛反對稱部分分xo(n)，即：，即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.25) 由由(2.2.18)式和式和(2.2.19)式：式： 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn 將上面兩式分別進(jìn)行將上面兩式分別進(jìn)行ft，得：，得： ftxe(n)=1/2x(

12、ej)+x*(ej)= rex(ej)= xr(ej) ftxo(n)=1/2x(ej) -x*(ej)= jimx(ej)= jxi(ej) 因此對因此對(2.2.25)式進(jìn)行式進(jìn)行ft得到：得到： x(ej) = xr(ej)+jxi(ej) (2.2.26)結(jié)論結(jié)論： x(n) = xe(n) + xo(n) x(ej) = xr(ej) + jxi(ej)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) x(n) = xe(n) + xo(n) x(ej) = xr(ej) + jxi(ej)x(n) = xr(n) + jxi(n) x(e j) = xe(e j)

13、+ xo(e j)利用利用ft的對稱性的對稱性，可得以下四個(gè)結(jié)論：可得以下四個(gè)結(jié)論：（1） x(n)為為實(shí)序列實(shí)序列（xi(n)=0），得），得x(ej) = xe(ej)為共軛為共軛對稱函數(shù)，即對稱函數(shù)，即 x(ej) = x*(e-j)（2） x(n)為為實(shí)偶序列實(shí)偶序列（ xi(n)=0且且x(n)= x(-n)，x0(n)=0），），得得x(ej)為實(shí)偶函數(shù)，即為實(shí)偶函數(shù)，即 x(ej) = x(e-j)（3） x(n)為為實(shí)奇序列實(shí)奇序列（xi(n)=0且且x(n)= -x(-n)，xe(n)=0），），得得x(ej)為純虛奇對稱函數(shù)，即為純虛奇對稱函數(shù)，即 x(ej) = x*(e

14、-j)=-x(e-j)（4） x(n)為為實(shí)因果序列：實(shí)因果序列：x(n)= xe(n) +xo(n) ，0, 00, )(0),(2)(nnnxnnxnxee或：或：0, 00, )0(0),(2)(nnxnnxnxox e(n)=1/2x(n)+ x(-n) x o(n)=1/2x(n) - x(-n)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 對對實(shí)因果序列實(shí)因果序列，只要知道，只要知道xr(ej) ，就可求得，就可求得x(n)，過程如下：過程如下：已知已知：xr(ej)=ftxe(n) xe(n) x(n) x(ej) 已知已知xi(ej)和和 x(0) ：jxi

15、(ej) xo(n) x(n) x(ej)v 對實(shí)對實(shí)因果因果序列：序列：其傅里葉變換其傅里葉變換x(ej)的實(shí)部的實(shí)部包含了包含了x(ej)或或x(n)的全部信息，即的全部信息，即x(ej) 中有冗余信息中有冗余信息。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 例例 2.2.3 x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函數(shù)求其偶函數(shù)xe(n) 和和奇函數(shù)奇函數(shù)xo(n)。 解：解： x(n) = xe(n)+xo(n)(0),01( ),021(),02xnx nnxnn( )ex n 1,01,021,02nnnanan第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散

16、信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 5. 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 設(shè)設(shè) y(n)=x(n)*h(n), 則則 y(e j)=x(e j)h(e j) (2.2.32) 定理說明，定理說明， 兩序列卷積的兩序列卷積的ft，服從相乘的關(guān)系。，服從相乘的關(guān)系。 對對lti系統(tǒng)，其輸出的系統(tǒng)，其輸出的ft等于輸入信號的等于輸入信號的ft乘以單位脈乘以單位脈沖響應(yīng)的沖響應(yīng)的ft。 因此因此求系統(tǒng)的輸出求系統(tǒng)的輸出信號，信號， (1)可以在時(shí)域用卷積公式可以在時(shí)域用卷積公式(1.3.7)； (2)可以在頻域按照可以在頻域按照 (2.2.32)式，求出輸出的式，求出輸出的ft，再作逆，再作逆ft求出輸出信號。求出輸出信號

17、。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 6. 頻域卷積定理頻域卷積定理 設(shè)設(shè)y(n) = x(n)h(n)，則：，則：(2.2.33) 定理說明，定理說明，在時(shí)域兩序列相乘，對應(yīng)在時(shí)域兩序列相乘，對應(yīng)頻域?yàn)轭l域?yàn)榫矸e關(guān)系。卷積關(guān)系。 7. 帕斯維爾帕斯維爾(parseval)定理定理 定理說明定理說明，信號時(shí)域的總能量等于頻域的總能量信號時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。這里頻域總能量是指這里頻域總能量是指|x(e j)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2)。(2.2.34) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.

18、3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù) 及傅里葉變換表示式及傅里葉變換表示式 2.3.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù) 設(shè)設(shè) 是以是以n為周期的周期序列，為周期的周期序列， 由于周期性，由于周期性， 可以展成傅里葉級數(shù)：可以展成傅里葉級數(shù)：( )x n2( )jknnkkx na e(2.3.1)式中式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)。是傅里葉級數(shù)的系數(shù)。-k1 x(z)存在的條件是存在的條件是|z-1|1， 由由x(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的，單位圓上的z變換不存變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，在，或者說

19、收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用更不能用(2.5.4)式求式求ft。該序列的該序列的ft不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()，其傅里，其傅里葉變換可以表示出來葉變換可以表示出來(見表見表2.3.2)。該例說明該例說明一個(gè)序一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內(nèi)內(nèi)z變換是存在的。變換是存在的。 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.5.2 序列特性對收斂域的影響序列特性對收斂域的影響 序列的特性決定其序列的特性決定其z變換收斂域，了解序列特性與收變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一些關(guān)系

20、，有助于斂域的一些關(guān)系，有助于z變換的使用。變換的使用。 x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它其它其其z變換為：變換為：21( )( )nnn nx zx n z1. 有限長序列有限長序列 如序列如序列x(n)滿足：滿足： 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) x(n)為有界序列為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除，由于是有限項(xiàng)求和，除0與與兩點(diǎn)是兩點(diǎn)是否收斂與否收斂與n1、n2取值有關(guān)外，整個(gè)取值有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。平面均收斂。 若：若：n10，出現(xiàn)，出現(xiàn)z-n項(xiàng)，則收斂域不包括項(xiàng)，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括如果是因果序列，收斂

21、域包括z=點(diǎn)。點(diǎn)。v有限長序列的收斂域表示如下：有限長序列的收斂域表示如下：21( )( )nnn nx zx n zn10， n20， 0|z|:n10， 00， 0|z|:第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 例例 2.5.2 求求x(n)=rn(n)的的z變換及其收斂域。變換及其收斂域。解解： 1101( )( )1nnnnnnnzx zrn zzz這是一個(gè)因果的有限長序列，因此收斂域?yàn)檫@是一個(gè)因果的有限長序列，因此收斂域?yàn)?z。 從從x(z)的分母看到的分母看到z=1似乎是似乎是x(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)

22、，極零點(diǎn)對消，時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極零點(diǎn)對消，x(z)在單位圓在單位圓上仍存在。上仍存在。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 右序列右序列 右序列是在右序列是在nn1時(shí)，序列值不全為零，而在時(shí)，序列值不全為零，而在nn1 時(shí)，時(shí)，序列值全為零的序列。序列值全為零的序列。 v第一項(xiàng)為有限長序列，設(shè)第一項(xiàng)為有限長序列，設(shè)n1-1，其收斂域?yàn)?，其收斂域?yàn)?|z|。 v第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)榈诙?xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)閞x-|z|，rx-是第二項(xiàng)是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)閷墒諗坑蛳嗯c，其收斂域?yàn)閞x- |z|。如果是因果序

23、列，如果是因果序列， 收斂域定為收斂域定為rx- |z|。 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) v 如果如果n20, z=0點(diǎn)收斂，點(diǎn)收斂，z=點(diǎn)不收斂，其收斂域?yàn)辄c(diǎn)不收斂，其收斂域?yàn)?|z|0，則收斂域?yàn)?，則收斂域?yàn)?|z|n2， 序列值全為零的序列。序列值全為零的序列。 其其z變換為：變換為： 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 雙邊序列雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和，其和，其z變換為：變換為：x(z)的收斂域是的收斂域是x1(z)和和x2(z)收斂域的公

24、共收斂區(qū)域。收斂域的公共收斂區(qū)域。v 如果如果rx+rx-，其收斂域?yàn)椋涫諗坑驗(yàn)閞x-|z|rx+ ，這是一個(gè)環(huán)狀域，這是一個(gè)環(huán)狀域v 如果如果rx+ rx- ，兩個(gè)收斂域沒有公共區(qū)域，兩個(gè)收斂域沒有公共區(qū)域，x(z)沒有收斂沒有收斂域，域， 因此，因此，x(z)不存在。不存在。 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 例例2.5.5x(n)=a|n|, a為實(shí)數(shù)，求為實(shí)數(shù)，求x(n)的的z變換及其收變換及其收斂域。斂域。解解第一部分收斂域?yàn)榈谝徊糠质諗坑驗(yàn)閨az|1，得，得|z|a|1; 第二部分收斂域?yàn)榈诙糠质諗坑驗(yàn)閨az1|a|。如果。如果|a|1, 兩部分

25、的公共收斂域?yàn)閮刹糠值墓彩諗坑驗(yàn)閨a|z|a|1, 其其z變換如下式變換如下式:如果如果|a|1，則無公共收斂域，因此，則無公共收斂域，因此x(z)不存在。當(dāng)不存在。當(dāng)0aa，求其逆，求其逆z變變換換x(n)。解解： 用留數(shù)定理求解，用留數(shù)定理求解， 要先找出要先找出f(z)的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，極點(diǎn)有：（極點(diǎn)有：（1）z=a （2）當(dāng)）當(dāng)n0時(shí)，時(shí)，z=0也是極點(diǎn)也是極點(diǎn)其中極點(diǎn)其中極點(diǎn)z=0與與n的取值有關(guān)：的取值有關(guān)：n0時(shí)，時(shí)，n=0不是極點(diǎn)。不是極點(diǎn)。 n0時(shí)，時(shí)，z=0是一個(gè)是一個(gè)n階極點(diǎn)。階極點(diǎn)。 因此要因此要分成分成n0和和n0兩種情況求兩種情況求x(n)。 第第1章章 時(shí)域離散信

26、號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) （1）n0 時(shí)，只有一個(gè)時(shí)，只有一個(gè)極點(diǎn)極點(diǎn)：( )re ( ), ()nz anx ns f z azzazaa （2）n0時(shí)，增加時(shí)，增加z=0的的n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔階極點(diǎn)，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔助定理求解，檢查助定理求解，檢查(2.5.10)式是式是否滿足，由于否滿足，由于n0，只要，只要n-m0，(2.5.10)式就滿足。式就滿足。 本例滿足本例滿足(2.5.10)式。式。n-m-n1 (2.5.10)圖圖 2.5.4 例中例中na，根據(jù)前面分析的序，根據(jù)前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，列特性對收斂域的影響知道，x(n)一

27、定是因果的右序列，這一定是因果的右序列，這樣樣n0部分一定為零，無需再求。部分一定為零，無需再求。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 例例2.5.7已知已知, 求其求其逆變換逆變換x(n)。解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列列x(n)，必須先確定收斂域。分析，必須先確定收斂域。分析x(z)， 得到其極點(diǎn)得到其極點(diǎn)分布如圖分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個(gè)極點(diǎn)：所示。圖中有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和和z=a1，這樣收斂域有三種選法，它們是這樣收斂域有三種選法，它們是 （1） |z|a1|，對應(yīng)的，對應(yīng)的x(n)是因果序列；是因

28、果序列；（2） |z|a|，對應(yīng)的，對應(yīng)的x(n)是左序列；是左序列；（3） |a|z|a1|:這種情況的原序列是因果的右序列，無須求這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n0時(shí)的時(shí)的x(n)。當(dāng)。當(dāng)n0時(shí)，時(shí)，f(z)在在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和和z=a1，因此因此2111( )(1)(1)naf zzazaz211()()naza za za第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 最后表示成：最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )res ( ), res ( ),x nf z af z a12211(1)(1)()()()(1)()(

29、)nnz az aazazzazazaaza za zannaa第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) （2） 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)閨z|a|:這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算n0情況。實(shí)情況。實(shí)際上，當(dāng)際上，當(dāng)n0時(shí)，圍線積分時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒有極點(diǎn)，因此內(nèi)沒有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n0時(shí)，時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是，且是n階極點(diǎn)，改求階極點(diǎn)，改求c外外極點(diǎn)留數(shù)之和。極點(diǎn)留數(shù)之和。n0時(shí)時(shí), 1( )res ( ), res ( ),x nf z af z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz

30、az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 最后將最后將x(n)表示成封閉式：表示成封閉式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)閨a|z|a1|:這種情況對應(yīng)的這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)f(z)，按，按n0和和n0兩種情況分別求兩種情況分別求x(n)。n0時(shí)，時(shí)，c內(nèi)只有內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：個(gè)極點(diǎn)：z=a, x(n)=resf(z), a=ann0時(shí)，時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中個(gè)，其中z=0是是n階極點(diǎn)，改求階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)

31、，外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有外極點(diǎn)只有z=a1， 因此因此x(n)=resf(z), a1=an最后將最后將x(n)表示為表示為即即 x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.5.4 z 變換的性質(zhì)和定理變換的性質(zhì)和定理1. 線性線性 設(shè)設(shè) x(z)=ztx(n), rx- |z| rx+ y(z)=zty(n), ry- |z| ry+ 則則 zt a x(n)+b y(n) =ax(z)+by(z), r m-|z|r m+ (2.5.15)其中：其中： rm+= min rx+ ,ry+ rm-= max rx- ,

32、ry-即即z變換的收斂域變換的收斂域(rm-，rm+)是是x(z)和和y(z)的公共收斂域，的公共收斂域，若無公共收斂域則若無公共收斂域則z變換不存在。變換不存在。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 序列移位序列移位 設(shè)設(shè) x(z)=ztx(n), r x-|z|r x+ 則則 ztx(n-n0)= z-n0x(z), r x-|z|r x+ (2.5.16)3. 乘指數(shù)序列乘指數(shù)序列 設(shè)設(shè) x(z)=ztx(n), r x-|z|r x+ y(n)=anx(n), a為常數(shù)為常數(shù) 則則 y(z)=ztanx(n) =x(a-1 z) |a|r x- |z|

33、 |a|r x+ (2.5.17)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 4. 序列乘序列乘n 設(shè)設(shè) ( ) ( )( )( )xxxxx zzt x nrzrdx zzt nx nzrzrdz 則則(2.5.18) 5. 復(fù)序列的共軛復(fù)序列的共軛 設(shè)設(shè)6. 初值定理初值定理 設(shè)設(shè) x(n)是因果序列，是因果序列，x(z)=ztx(n)(0)lim( )xxx z(2.5.20) 則則第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 7. 終值定理終值定理 若若x(n)是因果序列，其是因果序列，其z變換的極點(diǎn)，除可以變換的極點(diǎn)，除可以有一個(gè)有一個(gè)一階極

34、點(diǎn)在一階極點(diǎn)在z=1上上，其它極點(diǎn)均，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則在單位圓內(nèi)，則 ：終值定理也可用終值定理也可用x(z)在在z=1點(diǎn)的留數(shù)表示：點(diǎn)的留數(shù)表示：如果單位圓上如果單位圓上x(z)無極點(diǎn)，則無極點(diǎn)，則x()=0。 (2.5.22) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 9. 復(fù)卷積定理復(fù)卷積定理如果如果 ztx(n)= x(z)， r x-|z|r x+ zty(n)= y(z), r y-|z|r y+ w(n) = x(n)y(n)則則w(z)的收斂域的收斂域 (2.5.24) (2.5.25)8. 序列卷積序列卷積 設(shè)設(shè) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離

35、散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 10. 帕斯維爾帕斯維爾(parseval)定理定理 那么那么 v 平面上，平面上，c 所在的收斂域?yàn)椋核诘氖諗坑驗(yàn)椋?1max(,)min(,)xxyyrvrrr設(shè)設(shè) (2.5.27)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.5.5 利用利用z變換解差分方程變換解差分方程 用用z變換求解差分方程，將差分方程變成了代數(shù)方程，變換求解差分方程，將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。使求解過程簡單。 n階線性常系數(shù)差方程為：階線性常系數(shù)差方程為：利用線性和序列移位性利用線性和序列移位性對于對于n階差分方程，求其解必須已知階差分方程

36、，求其解必須已知n個(gè)初始條件。個(gè)初始條件。 設(shè)設(shè)x(n)是因果序列（是因果序列（x(n)=0,nmax(|a|,|b|)1111( )2(),0nnny nbabnab式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。11111bzbazaba|,*2bzwhenbbn第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.6.2 用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果因果(可實(shí)現(xiàn)可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)一定滿足當(dāng)n0時(shí)，時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)，那

37、么其系統(tǒng)函數(shù)h(z)的收斂域一定包含的收斂域一定包含點(diǎn)，點(diǎn)，即即點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域在某收斂域在某個(gè)圓外。個(gè)圓外。( )nh n 穩(wěn)定穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)要求要求 ，對照，對照z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求要求收斂域包含單位圓收斂域包含單位圓。 如果如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含，收斂域包含點(diǎn)和單位圓，那點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為：么收斂域可表示為： r|z|， 0r1 v 系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，h(z)的極點(diǎn)集中在單位的極點(diǎn)集中在單位圓圓的內(nèi)部。的內(nèi)部。v 具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的具體系統(tǒng)

38、的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布確定。確定。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 例例2.6.1 已知已知 ，分析其因果性分析其因果性和穩(wěn)定性。和穩(wěn)定性。211( ),01(1)(1)ah zaazaz解：解：h(z)的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為z=a，z=a-1，如圖所示。，如圖所示。 (1)收斂域收斂域a-1|z|，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)：域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)：h(n)=(an-a-n)u(n)(見例題見例題2.5.7)，這是一個(gè)因果序列，但不收

39、斂。，這是一個(gè)因果序列，但不收斂。 (2)收斂域收斂域0|z|a，對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其，對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(見例題見例題2.5.7)，這是一個(gè)非因，這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。果且不收斂的序列。 (3)收斂域收斂域a|z|a-1，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，如圖，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示所示。第第

40、1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 下面分析本例這種系統(tǒng)的下面分析本例這種系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性可實(shí)現(xiàn)性：在在h(z)h(z)的三種收斂域中，前二種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；的三種收斂域中，前二種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；在最后一種收斂域中，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體在最后一種收斂域中，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)。嚴(yán)格地講，這種系統(tǒng)是無法具體實(shí)現(xiàn)的。嚴(yán)格地講，這種系統(tǒng)是無法具體實(shí)現(xiàn)的。但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)的存貯性質(zhì)，可以近似實(shí)但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)的存貯性質(zhì)，可以近似實(shí)現(xiàn)第三種情況?，F(xiàn)第三種情況。方法方法：將圖：將圖2.6.1(a)2.6.1(a)的的

41、h(n)h(n)從從-n-n到到n n截取一段，再向右移，截取一段，再向右移，形成如圖形成如圖2.6.1(b)2.6.1(b)所示的所示的h(n)h(n)序列，將序列，將h(n)h(n)作為具體實(shí)現(xiàn)作為具體實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。n n愈大，愈大，h(n)h(n)表示的系統(tǒng)愈接近表示的系統(tǒng)愈接近h(n)h(n)系統(tǒng)。系統(tǒng)。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，預(yù)先將具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，預(yù)先將h(n)h(n)存貯起來，備運(yùn)算時(shí)應(yīng)用。存貯起來，備運(yùn)算時(shí)應(yīng)用。v這種非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)的近似實(shí)現(xiàn)性，是數(shù)字信號處理技這種非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)的近似實(shí)現(xiàn)性，是數(shù)字信號處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)

42、越的地方。第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 2.6.3 利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性 將將(2.6.2)式因式分解，得：式因式分解，得： 式中：式中：a=b0/a0，影響傳輸函數(shù)的幅度大小；，影響傳輸函數(shù)的幅度大??； cr是是h(z)的的零點(diǎn)零點(diǎn)，dr是其是其極點(diǎn)極點(diǎn)。 零點(diǎn)零點(diǎn)cr和極點(diǎn)和極點(diǎn)d 的分布影響系統(tǒng)的特性。的分布影響系統(tǒng)的特性。 下面用幾何方法來研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)頻率特下面用幾何方法來研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。性的影響。將將(2.6.4)式分子分母變?yōu)檎齼绱?，得：式分子分母變?yōu)檎齼?/p>

43、次，得：00( )( )( )miiiniiibzy zh zx za z(2.6.4) 第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) 11()11()( )()()()()mrn mrnrrmjrjjn mrnjrrzch zazzdech eaeed設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=e j，得到頻率響應(yīng)函數(shù)：，得到頻率響應(yīng)函數(shù)： (2.6.5) (2.6.6) 若若n=m，則：，則：(2.6.7)第第1章章 時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散信號和時(shí)域離散系統(tǒng) jrrjrrc becd bed 和和 分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，將它們用分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，將它們用極坐標(biāo)表：極坐標(biāo)表：rc b rd b將將 和和 表示