控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型PPT課件

1、目錄目錄 2.1 控制系統(tǒng)的微分方程 2.2 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.3 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖第1頁/共100頁 自動(dòng)控制理論以自動(dòng)控制系統(tǒng)為研究對象，無論是對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析還是對校正裝置進(jìn)行綜合，都需要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 所謂數(shù)學(xué)模型是指能夠描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。工程系統(tǒng)一般都是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，時(shí)域內(nèi)連續(xù)時(shí)間集中參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是反映系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程。第2頁/共100頁 以數(shù)學(xué)模型為依據(jù)控制系統(tǒng)可以被分類為連續(xù)系統(tǒng)和離散（時(shí)間）系統(tǒng)、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)等。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是惟一的，根據(jù)不同的建模目的可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，即使對于相同的建

2、模目的也可以建立不同形式的數(shù)學(xué)模型，對于工程上常見的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程和傳遞函數(shù)等。第3頁/共100頁2.1 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟 建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種 實(shí)驗(yàn)法：通過實(shí)驗(yàn)對系統(tǒng)在已知輸入信號作用下的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，利用模型辨識方法，來建實(shí)驗(yàn)法：通過實(shí)驗(yàn)對系統(tǒng)在已知輸入信號作用下的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，利用模型辨識方法，來建立反映輸入量和輸出量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。立反映輸入量和輸出量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。 解析法：通過分析控制系統(tǒng)的工作原理，利用系統(tǒng)各組成部分所遵循的物理學(xué)基本定律來建立變量之解析法：通過

3、分析控制系統(tǒng)的工作原理，利用系統(tǒng)各組成部分所遵循的物理學(xué)基本定律來建立變量之間的關(guān)系式。間的關(guān)系式。第4頁/共100頁用解析法建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟： 1)確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量； 2)根據(jù)各環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的工作要求及其所遵循的基本客觀規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組； 3)消除中間變量，并將方程標(biāo)準(zhǔn)化。第5頁/共100頁 例2.1 確定下圖中RCL電路的微分方程。第6頁/共100頁解：(1)確定輸入和輸出量(2)建立微分方程(3)消除中間變量，使方程標(biāo)準(zhǔn)化，得到這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。( )( )( )( )oidi tLRi tu tu tdtdttduCt

4、io)()(22( )( )( )( )oooid u tdu tLCRCu tu tdtdt第7頁/共100頁 例2.2 確定力學(xué)系統(tǒng)的微分方程第8頁/共100頁 (1)確定輸入量和輸出量 (2)創(chuàng)建微分方程組： 根據(jù)牛二定律得到 其中( )( )( )BKF tF tFtma( )( )Bdy tF tfdt( )( )KFtKy t22( )d y tad t第9頁/共100頁 (3)消除中間變量得到，使方程標(biāo)準(zhǔn)化。 該機(jī)械模型也是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。22( )( )( )( )d y tdy tmfKy tF td tdt第10頁/共100頁 兩個(gè)例題屬于不同類型系統(tǒng)，但可具有

5、形式相同的數(shù)學(xué)模型，這些具有形式相同數(shù)學(xué)模型的相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，當(dāng)這些相似系統(tǒng)中相似的參數(shù)取同樣的數(shù)值、輸入變量具有相同的函數(shù)形式時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)輸出量的變化規(guī)律是相同的。我們將此類系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。 因此，利用相似系統(tǒng)的概念，可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)。相似系統(tǒng)的理論也是控制系統(tǒng)仿真研究法的依據(jù)。第11頁/共100頁 練習(xí)1：如圖所示由質(zhì)量、彈簧和阻尼器構(gòu)成得機(jī)械位移系統(tǒng)。其中m為物體的質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的阻尼系數(shù)。要求確定外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。f質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)mkyF第12頁/共1

6、00頁 解： 根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出物體的受力平衡方程為 消去中間變量并將所得方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，有kFkyfdyFfdt22( )kfd yF tFFmdt22d ydymfkyFdtdt第13頁/共100頁2.2 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是線性定常連續(xù)系統(tǒng)最重要的數(shù)學(xué)模型之一，是數(shù)學(xué)模型在復(fù)頻域內(nèi)的表示形式。利用傳遞函數(shù)，不必求解微分方程就可以求取初始條件為零的系統(tǒng)在任意形式輸入信號作用下的的輸出響應(yīng)，還可以研究結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化對控制系統(tǒng)性能的影響。 經(jīng)典控制理論的主要研究方法根軌跡分析法和頻域分析法都是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的。第14頁/共100頁 傳遞函數(shù)的定義

7、 傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是時(shí)域內(nèi)的微分方程，n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為1011110111ddd( )dddddd( )dddnnnnnnmmmmmmaaaaC stttbbbbR sttt第15頁/共100頁 得到10111011( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sa sasa第16頁/共100頁 例2.4 求解例2.1中RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。 解：微分方程為： 對其進(jìn)行拉氏變化，得到： 則傳遞函數(shù)為：22( )( )( )( )oooid u tdu tLCRCu tu t

8、dtdt2( )( )( )( )oooiLCs UsRCsUsUsU s2( )1( )( )1oiUsG sU sLCsRCs第17頁/共100頁 傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)把輸入轉(zhuǎn)換為輸出的傳遞關(guān)系。 傳遞函數(shù)和微分方程可以相互轉(zhuǎn)換。第18頁/共100頁 練習(xí)2 將例2.2中的微分方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)的形式。22( )( )( )( )d y tdy tmfKy tF td tdt第19頁/共100頁 解：對其進(jìn)行拉氏變化，得到： 則傳遞函數(shù)為：2( )( )( )( )ms Y sfsY sKY sF s2( )1( )( )Y sG sF smsfsK第20頁/共100頁 練習(xí)3已知控制系統(tǒng)的

9、微分方程為 求出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。)(18)(dd6)(2)(dd3)(dd22trtrttytyttyt第21頁/共100頁 解：在零初始條件下，對微分方程式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，可求得v故控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)故控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：)(18)(6)(2)(3)(2sRssRsYssYsYs23) 3(6)()()(2ssssRsYsG第22頁/共100頁傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì) 1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，只適用于線性定常系統(tǒng)。 2)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量。 3)傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的內(nèi)部固有動(dòng)態(tài)特性。 4)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的物理性質(zhì)。 5)傳遞函數(shù)的分母部分決定著系

10、統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。10111011( )( ),( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG snmR sa sa sasa第23頁/共100頁 6)傳遞函數(shù)可用零-極點(diǎn)的方式進(jìn)行表示。 是傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，也稱環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的零點(diǎn) 是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也稱環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的極點(diǎn) 11011010111()( )()mjmmjmmnnnnniiszb sd sdsdG sKasc scscsp(1,2,)jzjm(1,2, )ip in第24頁/共100頁典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 自動(dòng)控制系統(tǒng)是由一些元件或裝置組合而成的，這些有著不同物理結(jié)構(gòu)和作用原理的元件裝置卻可能具有相同的

11、傳遞函數(shù)，也就具有了相同的動(dòng)態(tài)性能。從方便研究控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的角度考慮，我們可以按照傳遞函數(shù)的形式去劃分環(huán)節(jié)。 線性定常系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。第25頁/共100頁 1.比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成一定比例，時(shí)域中的的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)代數(shù)方程 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 比例環(huán)節(jié)應(yīng)用廣泛，實(shí)際中線性電位器，旋轉(zhuǎn)變壓器等都可以近似地認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。 比例環(huán)節(jié)不失真，輸出信號成正比的復(fù)現(xiàn)輸入信號。( )( )c tKr t( )( )( )C sG sKR s第26頁/共100頁 2.慣性環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系為 一

12、階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) d ( )( )( )dc tTc tr tt( )1( )( )1C sG sR sTs第27頁/共100頁 慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是具有一個(gè)儲能元件，輸出信號不能瞬時(shí)完成與輸入信號完全一致的變換。 在單位階躍輸入信號，輸出信號將按照指數(shù)曲線上升。 慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的是非周期過程，因而也稱慣性環(huán)節(jié)為非周期環(huán)節(jié) 。第28頁/共100頁 3.積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量的積分。時(shí)域中輸出量和輸入量之間的關(guān)系表示為 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 為積分時(shí)間常數(shù)。1( )( )dc tr tt( )1( )( )C sG sR ss第29頁/共100頁

13、 在單位階躍輸入信號，輸出信號如圖所示： 積分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的積分成正比，當(dāng)輸入突變時(shí)，輸入要延遲 時(shí)間后才等于輸入；若輸入為零，輸出將保持輸入變成零時(shí)刻的值不變。第30頁/共100頁 4.微分環(huán)節(jié) 純微分環(huán)節(jié)的微分方程為 純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 是微分時(shí)間常數(shù)。( )( )dr tc tdt( )( )( )C sG ssR s第31頁/共100頁 當(dāng)輸入量為單位階躍響應(yīng)時(shí)，理想的純微分環(huán)節(jié)是當(dāng) 時(shí)，其微分環(huán)節(jié)輸出為一個(gè)面積為 ，幅值為無窮大，寬度為零的理想脈沖。 純微分環(huán)節(jié)在實(shí)際中是得不到的，因?yàn)樵趯?shí)際系統(tǒng)或元件中慣性是普遍存在的，所以實(shí)際的微分環(huán)節(jié)常帶有慣性。其傳遞函數(shù)為0t (

14、)1sG ss第32頁/共100頁 實(shí)用的一階微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為 純微分環(huán)節(jié)是輸出與輸入信號對時(shí)間的響應(yīng)成正比，反映了輸入信號的變化率。( )tc te第33頁/共100頁 5.振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系為 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) -阻尼系數(shù)或阻尼比；T-時(shí)間常數(shù) 為無阻尼自然振蕩頻率Tn/122222( )1( )( )212nnnC sG sR sT sTsss222d( )d ( )2( )( )ddy ty tTTy tr ttt第34頁/共100頁 當(dāng)輸入量為單位階躍響應(yīng)時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)具有振蕩的特點(diǎn)，因 阻尼系數(shù)的不同，而具有不同的振蕩形式。 例2.1中的

15、RLC網(wǎng)絡(luò)，以及直流電機(jī)等例子均為振蕩環(huán)節(jié)的例子。第35頁/共100頁 6.純滯后環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的輸出量在經(jīng)過延遲時(shí)間后復(fù)現(xiàn)輸入量，其動(dòng)態(tài)方程為 純滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 是滯后時(shí)間常數(shù)。( )()c tr t( )( )( )sC sG seR s第36頁/共100頁 輸入為階躍響應(yīng)時(shí)，純滯后環(huán)節(jié)的響應(yīng)曲線如圖 純滯后環(huán)節(jié)的輸出在延遲了 時(shí)間后，與輸入具有相同的波形。第37頁/共100頁2.3 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 結(jié)構(gòu)圖是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡稱，也稱方框圖等。 結(jié)構(gòu)圖利用方框、信號線、信號的相加點(diǎn)和信號的分支點(diǎn)等符號直觀地反映控制系統(tǒng)的組成、控制系統(tǒng)各組成部分之間的連接關(guān)系以及系統(tǒng)中信號的傳遞

16、方向和運(yùn)算關(guān)系等。通過結(jié)構(gòu)圖的簡化，可以獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，也可以求取系統(tǒng)在任意輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。第38頁/共100頁 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成與建立 (1)基本圖形符號 信號流線：帶箭頭的有向線段，箭頭方向表示信號的傳遞方向。 方框圖：表示環(huán)節(jié)輸入與輸出之間信號傳遞關(guān)系。第39頁/共100頁 分支點(diǎn)：把一個(gè)信號分成多路進(jìn)行輸出。 相加點(diǎn)：進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)信號的代數(shù)和運(yùn)算。第40頁/共100頁 (2)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立的步驟 利用系統(tǒng)各組成部分的微分方程得到，步驟一般為： 1)列寫控制系統(tǒng)各組成部分的微分方程，零初始條件進(jìn)行拉氏變換，寫出表示各環(huán)節(jié)輸出量與輸入量之間關(guān)系的方程式。輸出量寫在等式左

17、邊，輸入量寫在等式的右邊。輸入量要在至少一個(gè)方程的右邊出現(xiàn)，除輸入量外，在某方程右邊出現(xiàn)的中間變量，一定要在另外方程的左邊出現(xiàn)。第41頁/共100頁 2)根據(jù)上述關(guān)系繪制結(jié)構(gòu)圖的基本單元。 3)將各結(jié)構(gòu)圖基本單元相同的信號線連接起來，即可獲得控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 需要注意的是：結(jié)構(gòu)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形化表示，只反映信號的傳遞和運(yùn)算關(guān)系，并不代表真實(shí)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)。建模過程中，中間變量選擇不同，將導(dǎo)致系統(tǒng)有不同的結(jié)構(gòu)圖，但由結(jié)構(gòu)圖簡化得到的系統(tǒng)輸入量輸出量之間的關(guān)系是相同的。第42頁/共100頁 例2.5 繪制下圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 解：每一個(gè)元件代表一個(gè)環(huán)節(jié)，建立各關(guān)節(jié)的方框圖： 對于電阻1R1

18、11( )( )( )rUsU sI sR第43頁/共100頁 對于電容 對于電感 對于電阻 得到動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖為：C121( )( )( )I sIsU sCsL21( )( )( )cU sUsIsLs2R22( )( )cR IsUs第44頁/共100頁 練習(xí)4 繪制出電氣網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。第45頁/共100頁 引入中間變量利用運(yùn)算電路和運(yùn)算阻抗的概念，從輸入量開始列寫各變量拉氏變換像函數(shù)之間的關(guān)系式1111121212221( ) ( )( )1( ) ( )( )d1( )( )( )1( )( )dicccooi tu tutRuti ti ttCi tutu tRu ti ttC)(1)

19、()()(1)()()(1)()()(1)(221222111111sIsCsUsUsURsIsIsIsCsUsUsURsIooccci第46頁/共100頁 繪制各關(guān)系式對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖，并將相同的信號線連接起來可得兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)電路的結(jié)構(gòu)圖。圖中用虛線框框起來的部分是式中與各關(guān)系式對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖。第47頁/共100頁 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換 結(jié)構(gòu)圖清楚地反映了控制系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系，利用結(jié)構(gòu)圖求其系統(tǒng)傳遞函數(shù)時(shí)，總是要對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡化，簡化到一個(gè)輸入量和一個(gè)輸出量之間只剩一個(gè)函數(shù)方框時(shí)，方框里的傳遞函數(shù)就是對應(yīng)輸入量和輸出量之間的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖的簡化應(yīng)遵循等效原則，即變換前后各變量之間的數(shù)

20、學(xué)關(guān)系保持不變。結(jié)構(gòu)圖等效變換的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是在結(jié)構(gòu)圖上進(jìn)行運(yùn)算，消去中間變量。簡化的過程表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)圖上是環(huán)節(jié)的合并以及信號相加點(diǎn)和信號分支點(diǎn)的消除。第48頁/共100頁 1.多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián) 結(jié)構(gòu)圖中幾個(gè)環(huán)節(jié)按照信號流向首尾相連，前一環(huán)節(jié)的輸出作為后一環(huán)節(jié)的輸入，這種連接方式稱為串聯(lián)連接。 由于 所以，串聯(lián)連接的環(huán)節(jié)合并成為一個(gè)環(huán)節(jié)，等效的傳遞函數(shù)為22211( )( )( )( )( )( )C sG s R sG s G s R s121( )( )( )( )( )C sG sG s G sR s第49頁/共100頁 此結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的

21、乘積。121( )( )( )( )( )nniiG sG s G sG sG s第50頁/共100頁 2.多個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián) 當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同的輸入量，而總輸出量為各環(huán)節(jié)輸出量的代數(shù)和時(shí)，稱環(huán)節(jié)為并聯(lián)連接。 因?yàn)椋?所以：1212( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )C sG s R sG s R sG sG s R s12( )( )( )( )( )C sG sG sG sR s第51頁/共100頁 由此可見，兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。 此結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，即n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)后的等效傳遞函數(shù)為并聯(lián)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。1( )( )

22、njjG sG s第52頁/共100頁 3.反饋連接 將環(huán)節(jié)的輸出量反送到輸入端與輸入信號進(jìn)行比較后作為環(huán)節(jié)的輸入量，就構(gòu)成了反饋連接。 環(huán)節(jié)反饋連接后，信號的傳遞形成了閉合回路。第53頁/共100頁 通常把信號輸入點(diǎn)R(s)到信號輸出點(diǎn)C(s)的通道稱為前向通道，前向通道上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為前向通道傳遞函數(shù)；把輸出信號C(s)到反饋信號B(s)的通道稱為反饋通道，反饋通道上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為反饋通道傳遞函數(shù)。 把偏差信號E(s)到輸出信號C(s)再經(jīng)反饋信號B(s)到偏差信號E(s)的封閉通道稱為回路，回路上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為回路傳遞函數(shù)。第54頁/共100頁

23、負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)反饋極性為負(fù)時(shí)，偏差信號等于輸入信號與反饋信號之差，有 整理可得系統(tǒng)反饋后的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為 同理可得，正反饋時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )C sG s E sG s R sB sG s R sC s H sG s R sG s H s C s( )( )( )( )1( )( )BC sG sGsR sG s H s( )( )( )( )1( )( )BC sG sGsR sG s H s第55頁/共100頁 4.相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的變換 幾乎所

24、有系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中，都會(huì)存在有信號的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，這就使得結(jié)構(gòu)圖中環(huán)節(jié)之間不完全符合上述三種連接方式，甚至出現(xiàn)環(huán)路相扣的情況，導(dǎo)致無法利用上述等價(jià)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖的簡化。通過信號相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換可以使得環(huán)節(jié)之間具有典型的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接形式，最終將結(jié)構(gòu)圖簡化為一個(gè)輸入量和一個(gè)輸出量之間只有一個(gè)傳遞函數(shù)方框的形式，獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。信號相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換也必須遵循等效原則。第56頁/共100頁 1)信號相加點(diǎn)的移動(dòng) 相加點(diǎn)前移 相加點(diǎn)后移第57頁/共100頁 2)信號分支點(diǎn)的移動(dòng) 分支點(diǎn)前移 分支點(diǎn)后移第58頁/共100頁 3)相鄰的信號相加點(diǎn)和相鄰的信號分支點(diǎn)的位置交換

25、 相鄰分支點(diǎn)間移動(dòng) 相鄰相加點(diǎn)間移動(dòng)第59頁/共100頁 相加點(diǎn)與分支點(diǎn)間的移動(dòng) 相加點(diǎn)與分支點(diǎn)間的移動(dòng)第60頁/共100頁 結(jié)構(gòu)圖簡化的關(guān)鍵是解除環(huán)路、消除信號的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，因此，在結(jié)構(gòu)圖簡化過程中首先要設(shè)法使交叉環(huán)路分開，或形成大環(huán)套小環(huán)的形式。由于結(jié)構(gòu)圖上相鄰的分支點(diǎn)可以彼此交換，相鄰的信號相加點(diǎn)也可以彼此交換，而當(dāng)分支點(diǎn)與相加點(diǎn)相鄰時(shí)，它們的位置是不能作簡單交換的，因而解除交叉環(huán)路最有效的方法是相加點(diǎn)朝著有相加點(diǎn)的方向移動(dòng)，分支點(diǎn)朝著有分支點(diǎn)的方向移動(dòng)，然后將相鄰的相加點(diǎn)或相鄰的分支點(diǎn)交換位置，即可將交叉環(huán)路解開。第61頁/共100頁 由此可見，結(jié)構(gòu)圖變換前后所滿足的等效變換原則，

26、可簡單總結(jié)為以下兩點(diǎn)： 前向傳遞函數(shù)不變； 回路傳遞函數(shù)不變。第62頁/共100頁 例2.6 求解下圖的傳遞函數(shù) 解：第63頁/共100頁第64頁/共100頁 例2.7 具有針對給定補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示， Y(s)/R(s)。 第65頁/共100頁 解： (1)相加點(diǎn)a后移與b點(diǎn)互換，并將串聯(lián)環(huán)節(jié)合并 (2)分別合并并聯(lián)連接的環(huán)節(jié)和反饋連接的環(huán)節(jié) (3)合并串聯(lián)連接的環(huán)節(jié)，過程如下圖第66頁/共100頁第67頁/共100頁 練習(xí)5：具有多反饋回路的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 ，試?yán)玫刃ё儞Q的方法簡化結(jié)構(gòu)圖，求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)。第68頁/共100頁 解：結(jié)構(gòu)圖具有多重反饋連接

27、，反饋連接不存在交叉現(xiàn)象，可采用由內(nèi)而外的辦法，逐級合并反饋連接的環(huán)節(jié)。 (1)內(nèi)環(huán)正反饋連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示 第69頁/共100頁 (2)串聯(lián)連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示 第70頁/共100頁 (3)并聯(lián)連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示 （4）反饋連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示 第71頁/共100頁)()()()()()()(1)()()(211212221sGsGsHsGsGsHsGsGsGsG第72頁/共100頁 5.梅遜公式 對于復(fù)雜的控制系統(tǒng)往往含有多個(gè)相互交叉的回路，對于這樣的系統(tǒng)可利用梅遜公式求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而無須進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖等效變換。 梅森增益公式11( )nkkkG sP第73頁/共100頁 n

28、：從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)前向通道的個(gè)數(shù) ：從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通道的各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積 ：特征式，計(jì)算公式為： ：所有回路增益之和 ：所有兩兩互不接觸回路的增益乘積之和 ：所有三個(gè)互不接觸回路的增益乘積之和 ：第k條前向通道的的特征余子式，即除去與第k條前向通道相接觸回路后的特征式kP1abcdefLL LL L L aLcbLLfedLLLk第74頁/共100頁 例2.7 通過梅遜公式求解傳遞函數(shù)。 解：如圖所示，系統(tǒng)有兩條前向通道和一個(gè)閉環(huán)回路。則： 回路有： 前向通道有：112( )( )( )LG s G s H s 112( )( )PG s G s11 223( )( )

29、PG s G s21 第75頁/共100頁 根據(jù)梅遜公式，則有11211( )( )( )LG s G s H s 122312( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )G s G sG s G sC sG sR sG s G s H s第76頁/共100頁 例2.8 通過梅遜公式求解傳遞函數(shù)。 解：系統(tǒng)有5個(gè)閉環(huán)回路：11( )LG s 22( )LG s 312( )( )LG s G s412( )( )LG s G s512( )( )LG s G s第77頁/共100頁 系統(tǒng)沒有兩兩不接觸的回路，因此 四條前向通道： 根據(jù)梅遜公式得到12345121211( )(

30、 )3( )( )LLLLLG sG sG s G s 11( )PG s11 22( )PG s21 312( )( )PG s G s 31 412( )( )PG s G s 41 12121212( )( )2( )( )( )( )( )1( )( )3( )( )G sG sG s G sC sG sR sG sG sG s G s第78頁/共100頁 練習(xí)6：通過梅遜公式求解傳遞函數(shù)。第79頁/共100頁 解：系統(tǒng)有2個(gè)閉環(huán)回路： 系統(tǒng)沒有兩兩不接觸的回路，因此 兩條前向通道：13( )( )LG s H s 24( )( )LG s H s 123411( )( )( )( )

31、LLG s H sG s H s 1135( )( )( )PG s G s G s11 2245( )( )( )PG s G s G s21 第80頁/共100頁 根據(jù)梅遜公式得到13524534( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )G s G s G sG s G s G sC sG sR sG s H sG s H s第81頁/共100頁 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 在實(shí)際控制中，控制系統(tǒng)通常受到兩種信號的影響： 1)輸入信號，2)擾動(dòng)信號第82頁/共100頁 (1)開環(huán)傳遞函數(shù) 定義：系統(tǒng)反饋信號與誤差信號之比，即：12( )( )( )( )(

32、 )B sG s G s H sE s第83頁/共100頁 (2)閉環(huán)傳遞函數(shù) 1)輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 定義：輸入信號與輸出信號的比值，即 2)擾動(dòng)信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 定義：擾動(dòng)信號與輸出信號的比值，即1212( )( )( )( )1( )( )( )RCsG s G sR sG s G s H s212( )( )( )1( )( )( )NCsG sR sG s G s H s第84頁/共100頁 3)系統(tǒng)的總輸出傳遞函數(shù) 定義：同時(shí)受到輸入信號和擾動(dòng)信號作用時(shí)的傳遞函數(shù)。 由疊加原理可知，系統(tǒng)的輸出是兩種信號單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的輸出之和。1221212( )( )( )(

33、)( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )( )RNG s G sG sC sCsCsR sN sG s G s H sG s G s H s第85頁/共100頁 (3)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 1)輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù) 定義：誤差信號與輸入信號的比值，即 2)擾動(dòng)信號作用下的誤差傳遞函數(shù) 定義：誤差信號與擾動(dòng)信號的比值，即12( )1( )1( )( )( )REsR sG s G s H s212( )( )( )( )1( )( )( )NEsG s H sN sG s G s H s第86頁/共100頁 3)系統(tǒng)總誤差 定義：同時(shí)受到輸入信號和擾動(dòng)信號作用時(shí)的誤差。

34、 由疊加原理可知，系統(tǒng)的輸出是兩種信號單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的誤差之和。21212( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )( )RNG s H sE sEsEsR sN sG s G s H sG s G s H s第87頁/共100頁補(bǔ)充內(nèi)容：信號流圖補(bǔ)充內(nèi)容：信號流圖 信號流圖是一種表示線性代數(shù)方程組的圖示方法。用來描述線性控制系統(tǒng)時(shí)，信號流圖和結(jié)構(gòu)圖一樣，它也是一種描述系統(tǒng)各部分之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖示模型，具有直觀形象的特點(diǎn)。但信號流圖又與結(jié)構(gòu)圖不同，它只能用來描述線性系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)圖通過等價(jià)變換可以得到控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，但對于復(fù)雜控制系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的簡

35、化過程是一件很復(fù)雜的事，甚至?xí)霈F(xiàn)找不到有效辦法可以解除的交叉環(huán)路。對于信號流圖，可以利用梅遜（Mason）公式直接求取系統(tǒng)輸入輸出變量之間的傳遞函數(shù)而不必對信號流圖進(jìn)行簡化。第88頁/共100頁 信號流圖的概念 信號流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路兩種基本元素組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。其中，節(jié)點(diǎn)代表信號或變量用符號“o”表示，節(jié)點(diǎn)之間用有向線段連接，稱為支路，支路具有有向性和有權(quán)性。 信號流圖的基本單元與結(jié)構(gòu)圖中的函數(shù)框等價(jià)，如圖所示，它們表示了同樣的變量變換關(guān)系，即 )()()(sXsGsY第89頁/共100頁 1.節(jié)點(diǎn)的類型 1)輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，代表自變量或外部輸入變量，也稱源節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)X0 2)輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，代表被控量或輸出變量，也稱匯節(jié)點(diǎn)，如圖中的X6。 第90頁/共100頁 3) 混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，代表中間變量，如圖中的節(jié)點(diǎn)X1 X5。 混合節(jié)點(diǎn)兼有結(jié)構(gòu)圖中信號相加點(diǎn)和信號分支點(diǎn)的功能?；旌瞎?jié)點(diǎn)處的信號是所有輸入支路信號的和，而由混合節(jié)點(diǎn)引出的所有信號是同一