高考數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)

1、數(shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè) p(n)是關(guān)于自然數(shù)n 的命題，若1p(n0)成立 (奠基 ) 2假設(shè) p(k)成立 (kn0)，可以推出p(k+1)成立 (歸納 )，則 p(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù) n 都成立典型題例示范講解例 3 是否存在a、b、c 使得等式122+232+n(n+1)2=12)1(nn(an2+bn+c) 解假設(shè)存在a、b、 c 使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令 n=1,2,3,有101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，對(duì)n=1,2,3 下面等式成立122+232+n(n+1)2=)10113(12)1(2nnnn記 sn=122

2、+232+n(n+1)2設(shè) n=k 時(shí)上式成立，即sk=12)1(kk(3k2+11k+10) 那么 sk+1=sk+(k+1)(k+2)2=2)1(kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=12)2)(1(kk(3k2+5k+12k+24) =12)2)(1(kk 3(k+1)2+11(k+1)+10也就是說，等式對(duì)n=k+1 也成立綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10 時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立學(xué)生鞏固練習(xí)1已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意nn,都能使 m 整除 f(n)，則最大的 m 的值為 ( ) a30 b26 c36 d6 2用數(shù)學(xué)歸納法

3、證明412n+3n+2能被 13 整除，其中 nn*3已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145(1)求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式bn; (2)設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng) an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1)記 sn是數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，試比較 sn與31logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論4設(shè)實(shí)數(shù) q 滿足 |q|1,數(shù)列 an 滿足a1=2,a20,anan+1=qn,求 an表達(dá)式，又如果limns2n3,求 q 的取值范圍參考答案1解析f(1)=36,f(2)=108=3 36,f(3)=360=10 36 f(1),f(2),f(3)能被 36 整除

4、，猜想f(n)能被 36 整除證明n=1,2 時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k2)時(shí)，f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，則n=k+1 時(shí)，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被 36 整除f(1)不能被大于36 的數(shù)整除，所求最大的m 值等于 36答案c 2 證明(1)當(dāng) n=1 時(shí)， 421+1+31+2=91 能被 13 整除(2)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)， 42k+1+3k+2能被 13 整除，則當(dāng)n=k+1 時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3

5、k+2342k+13+42k+1 3 =42k+113+3(42k+1+3k+2) 42k+113 能被 13 整除， 42k+1+3k+2能被 13 整除當(dāng) n=k+1 時(shí)也成立由知，當(dāng)nn*時(shí)， 42n+1+3n+2能被 13 整除3(1)解設(shè)數(shù)列 bn的公差為d, 由題意得311452)110(10101111dbdbb,bn=3n2 (2)證明由 bn=3n2 知sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231n) =loga (1+1)(1+41) (1+231n)而31logabn+1=loga313n,于是，比較sn與31logabn+1比較 (1+1)(1+

6、41)(1+231n)與313n的大小取 n=1，有 (1+1)=33311348取 n=2，有 (1+1)(1+33312378)41推測(cè)(1+1)(1+41)(1+231n)313n(*) 當(dāng) n=1 時(shí)，已驗(yàn)證 (*)式成立假設(shè) n=k(k1)時(shí) (*)式成立，即 (1+1)(1+41)(1+231k)313k則當(dāng) n=k+1 時(shí)，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3kkkk3131323kkk333222333331)1(343)23(13130)13(49)13() 13)(43()23()43()131323(kkkkkkkkkkkkkkk31) 1(

7、3)1311)(2311()411)(11(kkk從而, 即當(dāng) n=k+1 時(shí)， (*)式成立由知， (*)式對(duì)任意正整數(shù)n 都成立于是，當(dāng)a 1時(shí)， sn31logabn+1, 當(dāng) 0a1 時(shí)， sn31logabn+14解a1a2=q,a1=2,a20, q0,a2=29, anan+1=qn,an+1an+2= qn+1兩式相除，得qaann12,即 an+2=qan于是， a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想a2n+1=21qn(n=1,2,3,) 綜合，猜想通項(xiàng)公式為an=)(221)(1221nnkknqkknqkk時(shí)時(shí)下證(1)當(dāng) n=1,2 時(shí)猜想成立(2)設(shè) n=2k1 時(shí)

8、， a2k1=2qk1則 n=2k+1 時(shí)，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即 n=2k 1成立可推知 n=2k+1 也成立設(shè) n=2k 時(shí)， a2k=21qk,則 n=2k+2 時(shí)，由于a2k+2=qa2k, 所以 a2k+2=21qk+1,這說明 n=2k 成立，可推知n=2k+2 也成立綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立這樣所求通項(xiàng)公式為an=)(221)(1221nnkknqkknqkk時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)s2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n) =2(1+q+q2+qn-1)21(q+q2+qn) )24)(11()1()1(211)1(2qqqqqqqqnnn由于

9、 |q|1,nnnnsq2lim,0lim故=)24)(11(qqqn依題意知)1(24qq3, 并注意 1q0,|q| 1 解得 1q0 或 0q52、示范性題組：例1. 已知數(shù)列223118，22)12()12(8nnn，。 sn為其前 n 項(xiàng)和，求 s1、s2、s3、s4，推測(cè) sn公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（93 年全國理）【解】 計(jì)算得 s189，s22425，s34849，s48081，猜測(cè) sn22)12(1)12(nn (n n)。當(dāng) n1 時(shí)，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)等式成立，即： sk22)12(1)12(kk，當(dāng) nk1 時(shí)，s1ksk22)32()12()1(8k

10、kk22) 12(1)12(kk22)32() 12()1(8kkk22222)32()12()1(8)32()32()12(kkkkkk22222)32()12()12()32()12(kkkkk22)32(1)32(kk, 由此可知，當(dāng) nk1 時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對(duì)任何nn都成立。【注】 把要證的等式sk1()()2312322kk作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k3)2，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k3）21。這樣證題過程中簡(jiǎn)潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題

11、的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值 猜想 證明。【另解】用裂項(xiàng)相消法求和：由 an22)12() 12(8nnn2)12(1n2)12(1n得，sn （1231） （231251） 2)12(1n2)12(1n12)12(1n22)12(1)12(nn。此 種 解 法 與 用 試 值 猜 想 證 明 相 比 ， 過 程 十 分 簡(jiǎn) 單 ， 但 要 求 發(fā) 現(xiàn)22)12()12(8nnn1212()n1212()n的裂項(xiàng)公式。 可以說，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。例 2. 設(shè) an2132) 1

12、(nn (nn), 證明：12n(n1)an12 (n 1)2。【分析】與自然數(shù)n 有關(guān)，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。n1 時(shí)容易證得， nk1 時(shí)，因?yàn)?ak 1ak()()kk12 , 所以在假設(shè) nk 成立得到的不等式中同時(shí)加上()()kk12 ，再與目標(biāo)比較而進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s求解。【解】 當(dāng) n1 時(shí)，an2，12n(n+1) 12，12 (n+1)22 ， n 1 時(shí)不等式成立。假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)不等式成立，即：12k(k 1)ak12 (k 1)2，當(dāng)n k 1 時(shí) ，12k(k 1) )2)(1(kkak 112k(k 1) (k 1) 12(k 1)(k 3)12(k 1)(k 2)，12(k 1)2)2)(1(kk12(k 1)2