蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2《2.1.3 推理案例賞析》教案

1、教學(xué)目標(biāo)：1了解合情推理和演繹推理的含義 2能正確地運(yùn)用合情推理和演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理3了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別教學(xué)難點(diǎn)：了解合情推理和演繹推理是怎樣推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的教學(xué)過(guò)程：一、知識(shí)回顧從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱為推理合情推理和演繹推理之間具有怎樣的聯(lián)系和差異？合情推理和演繹推理是怎樣推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的？三個(gè)推理案例的共同點(diǎn)是它們都是由“前提”和“結(jié)論”兩部分組成，但是在推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，據(jù)此可以分為合情推理與演繹推理二、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)分析提出問(wèn)題：我們知道，前個(gè)正整數(shù)

2、的和為那么，前個(gè)正整數(shù)的和？數(shù)學(xué)活動(dòng)思路1（歸納的方案）如表2-1-5所示，列舉出的前幾項(xiàng)，希望從中歸納出一般的結(jié)論表2-1-51234561514305591但是，從表2-1-5的數(shù)據(jù)中并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)明顯的關(guān)系這時(shí)我們可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)念頭：與會(huì)不會(huì)有某種聯(lián)系？如表2-1-6所示，進(jìn)一步列舉出的值，比較與，希望能有所發(fā)現(xiàn)嘗試計(jì)算，終于在計(jì)算和的比時(shí)，發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”了（表2-1-7）表2-1-71234561361015211514305591從表2-1-7中發(fā)現(xiàn)，于是，猜想公式的正確性還需要證明思考上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個(gè)過(guò)程中提出了哪些猜想？提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？合情推理和演

3、繹推理分別發(fā)揮什么作用？思路2（演繹的方案）嘗試用直接相加的方法求出正整數(shù)的平方和（1）把正整數(shù)的平方表示出來(lái)，有121，22，32，42， n2，左右兩邊分別相加，得，等號(hào)兩邊的被消去了，所以無(wú)法從中求出的值，嘗試失敗了?。?）從失敗中汲取有用信息，進(jìn)行新的嘗試前面的失敗嘗試還是有意義的，因?yàn)楸M管我們沒(méi)有求出，但是卻求出了的表達(dá)式，即它啟示我們：既然能用上面的方法求出，那么我們也應(yīng)該可以用類似的方法求出（3）嘗試把兩項(xiàng)和的平方公式改為兩項(xiàng)和的立方公式具體方法如下：131，23，33，43，43左右兩邊分別相加，得由此可知，終于導(dǎo)出了公式思考上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個(gè)過(guò)程中提出了

4、哪些猜想？提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？例2棱臺(tái)體積公式的推導(dǎo)提出問(wèn)題能通過(guò)類比推測(cè)出棱臺(tái)的體積公式嗎？數(shù)學(xué)活動(dòng)思路：試圖以四棱臺(tái)為例，通過(guò)和梯形的類比推測(cè)公式（1）確定類比對(duì)象對(duì)梯形和四棱臺(tái)作比較，如表2-1-8所示表2-1-8梯 形四 棱 臺(tái)上、下底平行上、下底面平行另外兩邊不平行另外4個(gè)面不平行兩腰延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)4個(gè)側(cè)面伸展后交于一點(diǎn)中位線平行于上、下底中截面平行于上、下底面據(jù)此，使我們產(chǎn)生了把梯形選為類比對(duì)象的念頭（2）對(duì)類比對(duì)象的進(jìn)一步分析梯形可以認(rèn)為是用平行于三角形一邊的直線截去一個(gè)小三角形后得到的，而棱臺(tái)側(cè)可認(rèn)為是用平行于棱錐底面的平面截去一

5、個(gè)小棱錐后得到的，據(jù)此，應(yīng)該有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 直 線平面， 三解形棱 錐， 梯 形棱 臺(tái)進(jìn)而有 梯形底邊長(zhǎng)棱臺(tái)底面積， 三角形面積 棱 錐 體 積， 梯 形 面 積棱 臺(tái) 體 積（3）通過(guò)類比推理，建立猜想求棱臺(tái)的體積的方法與求梯形面積的方法是類似的，棱臺(tái)的體積公式與梯形的面積公式是類似的于是由梯形的面積公式其中分別表示梯形上、下底的長(zhǎng)度，表示高，猜想棱臺(tái)的體積公式可能具有如下的形式其中分別表示棱臺(tái)的上、下底面積，表示棱臺(tái)的高（4）驗(yàn)證猜想式的正確性要通過(guò)嚴(yán)格的證明來(lái)確認(rèn)在作出正式的證明之前，可以先通過(guò)具體的例子加以檢驗(yàn)把棱錐看成棱臺(tái)的特例此時(shí)，公式中的，因此有，這與實(shí)際結(jié)果不符，這表明，猜

6、想是錯(cuò)誤的，需要修正于是設(shè)想公式具有的形式，其中應(yīng)該是表示面積的量它究竟是多少還有待進(jìn)一步確定與式相比，公式的分母從2變?yōu)?，相應(yīng)的分子從2項(xiàng)變?yōu)?項(xiàng)，這些都恰如其分地反映了2維和3維的差異因此，公式從整體結(jié)構(gòu)上就給人以一種協(xié)調(diào)的美感應(yīng)該說(shuō)，公式比公式更合理既然式被認(rèn)為是合理的，那么下一步的行動(dòng)就是要具體的確定公式中的意義和大小了容易看出：第一，由于從棱錐的體積公式可知，當(dāng)時(shí)， 0，因此，應(yīng)含有的因子第二，棱臺(tái)的上底和下底具有同等地位，因此和在公式中應(yīng)該具有同等地位，據(jù)此，我們可以猜想具有的形式第三，進(jìn)一步確定的值仍然作用特殊化的方法，當(dāng)時(shí)，棱臺(tái)變?yōu)槔庵瑒t.此時(shí)，所以有1，因此，式即為思考數(shù)

7、學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的？在這個(gè)過(guò)程中提出了哪些猜想？提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法？合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？三、學(xué)生探究上面的案例說(shuō)明：1數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)是一個(gè)探索創(chuàng)造的過(guò)程這是一個(gè)不斷地提出猜想、驗(yàn)證猜想的過(guò)程合情推理和演繹推理相輔相成，相互為用，共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程2合理推理是富于創(chuàng)造性的或然推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用3演繹推理是形式化程度較高的必然推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它具有類似于“實(shí)驗(yàn)”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對(duì)猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動(dòng)提供依據(jù)四、課堂總結(jié)對(duì)這兩種推理在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的作用，著名的數(shù)學(xué)教育家G.波利亞作了精辟的論述：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容；在完成