第九章拉普拉斯變換PPT

1、Shenzhen University掃號(hào)辛縊SIGNALS AND SYSTEMS屯I第9章拉普拉斯變換THE LAPLACE TRANSFORM信懸工釋字瞬cie.S本章基本內(nèi)容:1. 雙邊拉普拉斯變換；2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域;3零極點(diǎn)圖；4雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì);5系統(tǒng)函數(shù);6.單邊拉普拉斯變換;信懸工釋字瞬cie.S9.0 引言 Introduction傅里葉分析方法之所以在信號(hào)與LTI系統(tǒng)分析如此有用，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，而復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例R勿和幺購(gòu)" 為基底分解信號(hào)的。

2、對(duì)更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)/ 和Z”，也理應(yīng)能以此為基底對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。g =41將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問(wèn)題。通過(guò)本章及下_章，會(huì)看到拉普拉斯變換和Z變 換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不 僅能解決用傅里葉分析方法可以解決的信號(hào)與系統(tǒng) 分析問(wèn)題，而且還能用于傅里葉分析方法不適用的 許多方面。拉普拉斯變換與Z變換的分析方法是傅 里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。信懸工釋字瞬cie.Sg =419.1拉普拉斯變換The Laplace Transform復(fù)指數(shù)信號(hào)e't是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 的），則系統(tǒng)對(duì)

3、幺燈產(chǎn)生的響應(yīng)是:= Hs)est,其中 H(s) =hWdtJ00顯然當(dāng)s = jco時(shí)，就是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換。QU一.雙邊拉氏變換的定義:f 00X(s) = x(t)e dtJCO稱為兀(f)的雙邊拉氏變換，其中s = cr + jo)o若 cr = 0,5 = jeo 則有:X(je) = r x(t)ejMdtJoo這就是兀的傅里葉變換。表明：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換 在(7二0或是在丿0軸上的特例。信懸工釋字瞬cie.Sg =41f 00一.x(t)eateJC0tdtWCOf 00由于 X (s)二x(t)eateJ dt =Jco= Fx(t)eat所以拉氏變換是

4、對(duì)傅里葉變換的推廣，兀的 拉氏變換就是兀幺-勿的傅里葉變換。只要有合 適的b存在，就可以使某些本來(lái)不滿足狄里赫利 條件的信號(hào)在引入幺s后滿足該條件。即有些信 號(hào)的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表 明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。g =41例1. x(0 = eatu(t)廣 CO z、IX(s)=JOf eatestdt = e(s+aVdt =s + a在 Re5 > a 時(shí)，積分收斂。當(dāng)a>0時(shí)，兀（0的傅里葉變換存在x（t;宀叫心市(a >0)顯然，時(shí)，拉氏變換收斂的區(qū)域?yàn)镽e > -a，包括了 b = 0（即加軸）。g =41比較X(s)和X(ja

5、)A顯然有X(s)=X(M)當(dāng) a =(M,x(0 = e6ltu(t) = u(t)z、 1可知 ()Re5 > 0s例2. x(0 =嚴(yán)u(-t)Re 5 < -aX(s)二-eatestdt = - f° e(s+a)tdt =J-ooJ-co與例1比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。由以上例子，可以看出:1 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問(wèn)題。并 非任何信號(hào)的拉氏變換都存在，也不是S平面上 的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)S的集合，稱 為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC(Region of Convergence )對(duì)拉氏變換是非常重

6、 要的概念。信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S3不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉氏變換表達(dá) 式，只是它們的收斂域不同。4只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。5如果拉氏變換的ROC包含九y軸，則有X(M)二 X(s)S二 j®二.拉氏變換的ROC及零極點(diǎn)圖: 例3x(f)二£ %+ e "%X(s)=匚八力+匚幺. e, Rcs-1s + 1_2Z 1 u(t) y Res > 2s + 2 X(s)二丄 + 丄二，s + 1 s + 2 s + 3s + 2IX G>加-2 -412可見：拉氏變換的收斂域是各個(gè)收

7、斂域的公共部 分。ROC總是以平行于丿血軸的直線作為邊界的, ROC的邊界總是與X的分母的根相對(duì)應(yīng)的。n（s） 口（$-0）若 X（S）是有理函數(shù) X（$） = = M »（$）（$-匕）信懸工釋字瞬cie.Sg =41分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的才艮 稱為極點(diǎn)。將X(s)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上， 就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以 表示一個(gè)X(s)，最多與真實(shí)的X(s)相差一個(gè)常 數(shù)因子M o因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。© =419-2拉氏變換的收斂域The Region of Convergence for Laplace Transfor

8、ms 可以歸納出ROC的以下性質(zhì):1. roc是s平面上平行于九y軸的帶形區(qū)域。2. 在ROC內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)。3時(shí)限信號(hào)的ROC是整個(gè)S平面。4右邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于Jq軸的直線的右邊。信懸工釋字瞬cie.S畑信懇工程字院久在ROC內(nèi)，cie.S若兀是右邊信號(hào)， T < f <oo,則有x(t)ea()t絕對(duì)可積，即:J x(t)eaot dt < go若bl > bo,則Jootdt二J；卜廠0092"問(wèn)5廠GFtJtdt <s表明CTj也在收斂域內(nèi)。g =415-左邊信號(hào)的ROC位于S平面內(nèi)一條平行于知軸的直線的左邊。若兀是左邊信號(hào)，定

9、義于(-oo,T ,6)在ROC 內(nèi)，crl < cr0,貝UrTx(teJ0000rTdt = x(teJ00oo-知幺-(b-dt表明bl也在收斂域內(nèi)。g =416.雙邊信號(hào)的ROC如果存在，一定是S平面內(nèi)平行于j®軸的帶形區(qū)域。例1. x(Z)=00<t<T其它t=T es+atdt =101-e(s+q )T購(gòu)10III6X(s)有極點(diǎn)s a考查零點(diǎn),令嚴(yán)訓(xùn)=1.2疳JT0.尿2tt得s =-a + j k ( k為整數(shù))顯然X(s)在s = Q也有一階零點(diǎn)，由于零極 點(diǎn)相抵消，致使在整個(gè)S平面上無(wú)極點(diǎn)。x(0 = ebtu(t) + ebtu(-t)。&l

10、t;K 3x5點(diǎn)會(huì)畔求OOH対円占0V益 qs 4 + s q V 右OH V 1 JI JI H (s) X 葩畔悴。0工対t ,feoq訓(xùn)4+sq A . In $ a)f3I®®u:rnpe nzs a) 匿伸愆Higgle信懸工釋字瞬cie.SQU當(dāng)X(s>t有理函數(shù)時(shí)，其ROC總是由X(s)的極點(diǎn)分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律:1 右邊信號(hào)的ROC定位于X(s)最右邊極點(diǎn) 的右邊。2左邊信號(hào)的ROC定位于X($)最左邊極點(diǎn) 的左邊。3 雙邊信號(hào)的ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間 的帶形區(qū)域。信懸工釋字瞬cie.S例3. X(s)二疋+3$ + 2_s +1 s

11、 + 2可以形成三種ROC:1) ROC: Re5 > -12) ROC: Re5 < -2ROC: -2<Re5<-l此時(shí)兀是右邊信號(hào)。 此時(shí)兀(0是左邊信號(hào)。 此時(shí)兀(T)是雙邊信號(hào)。!工程字院s 2 uRdu9. 3拉普拉斯反變換The Inverse Laplace Transform一.定義：由 X (s) = f x(t)estdtJco若s二b +加在ROC內(nèi)，則有：XQ + je)=xeate-j(otdt = Fxe-atJCO/. x(t)eat=土J X(cr + jco)ejMtd(o1 f CO+ jco)eateJCftdcD = X (s)

12、estdco2tt血信懇工程字瞬o* 匚 由 s = cr + ja）得 ds = jdco當(dāng)血從00 ->-HD0 時(shí)，$ 從 CT 一 ”0 T CF + ”0 r / 八1b+丿8.-¥（/） = - Jx s）eSTds厶兀 J JO-JCQ/巧的反變換拉氏反變換表明：疋）可以被分解成復(fù)振幅為 丄x（$）h 的復(fù)指數(shù)信號(hào)護(hù)的線性組合。2®信懸工釋字瞬cie.S© =41二拉氏反變換的求法:對(duì)有理函數(shù)形式的x G）求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開法和留數(shù)法。部分分式展開法：1.將x（s）展開為部分分式。2根據(jù)XG）的ROC,確定每一項(xiàng)的ROC o

13、3.利用常用信號(hào)的變換對(duì)與拉氏變換的性質(zhì), 對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行反變換。信懸工釋字瞬cie.SQU信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S例1衛(wèi)?771確定其可能的收斂域及所對(duì)應(yīng)信號(hào)的屬性。極點(diǎn)：s = 1, s = 2信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.SiCT1T X-2 1a右邊信號(hào)左邊信號(hào)雙邊信號(hào)信懸工釋字瞬cie.S例2 X(s)= _ROC:-2<Re5<-l(5+ 1)(5 +2)1-$ +1 s + 21> ROC: Res < 1 o 5 + 1> ROC: Res > 2 <-> e2tu(t) s + 2/. x(0 =

14、-e2tu(t) efu(-t)信懸工釋字瞬cie.S:留數(shù)法（當(dāng)X（s）是有理函數(shù)時(shí)）:1 求出X（s）的全部極點(diǎn)。2.求出x（s）才在ROC左邊的所有極點(diǎn)處的留 數(shù)之和，它們構(gòu)成了班"的因果部分。3.求出x（s）護(hù)在ROC右邊的所有極點(diǎn)處的留 數(shù)之和，并加負(fù)號(hào)，它們構(gòu)成了兀的反因果 部分。g =41例3. X(s) =(s + l)(s + 2)ROC: -2< Re <-1X(s)的極點(diǎn)® = -1位于ROC的右邊，孔=-2位于ROC的左邊。x(0 = ResX(s 疋：sj + ResX (s)est,s21 s=_i %(T) + - est 2 u(

15、t) s+2s+1信懸工釋字瞬cie.Sg =419-4由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值Geometric Evaluation of the Fourier Transformfrom the Pole-Zero Plot可以用零極點(diǎn)圖表示X(s)的特征。當(dāng)ROC包 括jco軸時(shí)，以3 =兀?代入X(s),就可以得 到X0勁。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法 從零極點(diǎn)圖求得X0勁的特性。這在定性分析 系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。g =411.單零點(diǎn)情況：X(s) = s-a零點(diǎn)$ = q ,要求出s = 5時(shí)的X($)，可以矢量廠H稱為零點(diǎn)矢量，它的長(zhǎng)度1廠二1 表示|x(sj|，其幅角即為XG)

16、。g =41直接由極點(diǎn)向$1點(diǎn)作矢量（稱為極點(diǎn)矢量），其長(zhǎng)度的倒量為|X（sj|，幅角的負(fù)值為口乂）og =413一般情況：對(duì)有理函數(shù)形式的X(s)n(5_)s e)x(5)=Z)=Mn(因此有:n(®-0jx(5i)=Mn()H卜-0x(sJ = Hi_0J-工口 (兀-內(nèi))即：從所有零點(diǎn)向S點(diǎn)作零點(diǎn)矢量，從所有極 點(diǎn)向S點(diǎn)作極點(diǎn)矢量。所有零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積即為|X（5,）| O所有 零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之 和即為口 X（sJ。當(dāng)小取為丿刀軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的 幾何求值?？疾?在丿軸上移動(dòng)時(shí)所有零、極 點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度和幅角的變化，

17、即可得出X（加）的 幅頻特性和相頻特性。信懸工釋字瞬cie.S例1 一階系統(tǒng)竽+w)F)1 -h(t) = e ru(tTi/jea-1/tFQUA1/T1隨著of ,片(加)|單調(diào)下降, =-時(shí)，下降到最大值的2T<2最大值在刃二0時(shí)取得。11/20)tlH(»l信懸工釋字瞬cie.S相位特性：當(dāng)co=0時(shí)，/（加）=0信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S隨著t H（加）趨向于-兀/2 o貝忙/f（應(yīng)）趨向于tt/2 o信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S H伽）7T/2信懸工釋字瞬cie.S彳蘭14例2.二階系統(tǒng):攀+ 2的需+ 0乂）= 0兩h（t） =

18、M （"“ _尹）（$）,信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.SCl,2±©2 Jj2 _1M = fH（s） =* +2Qv + e； （5-q）（5-c2）信懸工釋字瞬cie.S皿-%V-.0偉呂LA丄Lj"*:=1購(gòu)g =411-當(dāng)1時(shí)，/(5兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于過(guò)阻尼狀態(tài)。C起主要作用。隨著口，兩極點(diǎn)相向移動(dòng)，向紺處靠攏。巾 Sn匚1信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S2當(dāng)：=1時(shí)，兩極點(diǎn)重合于-q處，成為二階極點(diǎn)。系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。3：進(jìn)一步減小，則二階極點(diǎn)分裂為共鋌復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且隨 < 的減小而逐步靠近加軸。極點(diǎn)運(yùn)

19、動(dòng)的軌跡扌艮軌跡是一個(gè)半徑為CDn的圓周。此時(shí)系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，隨著仁 位于第2 象限的極點(diǎn)矢量比第3象限的極點(diǎn)矢量更短，因 此它對(duì)系統(tǒng)特性的影響較大（被稱為主極點(diǎn)）。當(dāng)：<1/邁時(shí)，由于該極點(diǎn)矢量變得很短，因而 會(huì)使片（妙|出現(xiàn)峰值。其峰點(diǎn)位于® J1 - 2了處,g =41信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S在：1/血時(shí)，若認(rèn)為主極點(diǎn)矢量增長(zhǎng)忑倍峰值為|H(»|max時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以 近似確定此時(shí)的系統(tǒng)帶寬約為2®門ojeL給J1 了2血11a-的0g =414.當(dāng)：=0時(shí)，兩極點(diǎn)分別位于JCD軸上的土 CDn處，此時(shí)

20、系統(tǒng)處于無(wú)阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點(diǎn)圖得到。此時(shí)，只需考察當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿加軸移動(dòng)時(shí)所有極點(diǎn)矢量和所有零點(diǎn)矢量的幅角變化，用所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和,即可得到系統(tǒng)的相位特性。信懸工釋字瞬cie.S© =41例3全通系統(tǒng)：考查零極點(diǎn)對(duì)稱分布的系統(tǒng)V Z7H（s） =（一階全通系統(tǒng)）s + a該系統(tǒng)的円（丿©）|在任何時(shí)候都等于1,所以/jeCla稱為全通系統(tǒng)。11心）1CD冃呂匕山、"* 其相位特性/（“）= $-（乃-q）= 2q-%X-QIIIIIIIIM_1IIIIIIIIXO三階全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布呈四角對(duì)稱特征O全通系統(tǒng)

21、被廣泛用于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相位均衡。g =41例4最小相位系統(tǒng)：考察兩個(gè)系統(tǒng)，它們的極點(diǎn)相同，零點(diǎn)分布關(guān) 于丿刀軸對(duì)稱。其中一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在左半平 面，另一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在右半平面。x-Y-1yIK110ig =41顯然這兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零點(diǎn)在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點(diǎn)在右半 平面的系統(tǒng)。因此將零極點(diǎn)均位于左半平面的 系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)O工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)的各種頻率選擇性濾波器，如：Butterworth . Chebyshev. Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)O從本質(zhì)上講系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點(diǎn) 分布決定的。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)質(zhì)上就 是優(yōu)化其零、極點(diǎn)的位置。當(dāng)工程應(yīng)用中

22、要求實(shí)現(xiàn)一個(gè)非最小相位系統(tǒng)時(shí)，通常采用將一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通 系統(tǒng)級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。L 最小相位系統(tǒng) *全通系統(tǒng) 一:I I信懸工釋字瞬cie.SCT信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S非最小相位系統(tǒng)je信懸工釋字瞬cie.SXIO-<9I*信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)信懸工釋字瞬cie.Sg =419.5拉氏變換的性質(zhì)Properties of the Laplace Transform拉氏變換與傅氏變換一樣具有彳艮多重要的 性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1.線性(Linearity ):若 K(0oX(s),ROC:尺兀2(。0 X2G)

23、,ROC: R2貝U axx(/) + bx2(t) o aX(s) + bX2(s)roc至少是尺m?2g =41例 X(f) = 5(f) + S(f)x2 (0 = _幺一S(7)X(s) = l +s + 2 TZTROC:cr>lX2（5）= ,ROC：b>-1s + 1而兀1（。+兀2（。= 5（7）<>1（原因是出現(xiàn)了零極點(diǎn)相抵消的ROC擴(kuò)大為整個(gè)S平面。現(xiàn)象）當(dāng)尺與尺2無(wú)交集時(shí)，表明X（$）不存在。2卑載濟(jì)(Time Shifting )：訛 xsox(s)“ ROC4a£gx(s)e2ROC 引帰3 SJ&-(Shifting in

24、fhe S-Domain)：訛 xs$x(s)3 ROCG sxsEsof <-> x(s so)" rocj + rcf>溫 X(S SOSROC>#X(SSROC卡戟 7 >R2S。信懇工程字歸cie.S例 x(t) = eru(t),1iX(s) =, a>-l5 + 1兀弋亠二曠s (°X(s + 2)二顯然ROC: b > 3210-30信懸工釋字瞬cie.Sg =414. 時(shí)域尺度變換(Time Scaling ):若 兀kX(以 ROC:/? s則 x(at) O X () ROC: aRa a當(dāng)b w人時(shí)X(s敗斂，

25、Re- w 時(shí)X(?)收斂aa:.Ref w aR例.x(t) e'u () <- X(s) = -,<7 > 1S I 1求x(y) = e 2w(r)的拉氏變換及ROCJg =412s +1ROC: 可見：若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例x(f)X(s)， ROC: 一R5. 共輒對(duì)稱性(Conjugation):若兀ROC i R則DoU, ROC: 7?g =41當(dāng)兀(t)為實(shí)信號(hào)時(shí),有：X*(0 = X(0 X(s)二 X*(sJ 或 Xj = X(b)由此可得以下重要結(jié)論:如果兀是實(shí)信號(hào)，且X淬彳。有極點(diǎn)(或零 點(diǎn))

26、，則X一定在S啓有極點(diǎn)(或零點(diǎn))。這 表明：實(shí)信號(hào)的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軌 成對(duì)出現(xiàn)。g =416. 卷積性質(zhì):(Convolution Property )若 k(0oX(O ROC:尺x2(t) o X2(5), ROC: R2 則兀1(0*兀2(。o X(s)X2(s) ROC:包括K CR2例.X/5)=ROC: R = cr > -15 + 1X 2（S）二5 + 1(s + 2)(s + 3)ROC: R2= cy > 2顯然有：K門尼=b > 1X(s)X2(s)二1(s + 2)(s+3)b-2, ROC擴(kuò)大原因是X(s)與X2(s)相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)

27、相 抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在ROC的邊 界上時(shí)，就會(huì)使收斂域擴(kuò)大。7. 時(shí)域微分：(Differentiation in theTime Domain )若 x(t) oX(s), ROC:R貝U 如2osX(s), ROC包括有可能擴(kuò)大。 dtg =418. S域微分：(Differentiation in the s-Domain)若 x(t)X(s ROC: 7?貝q -tx(t) o, ROC: R ds例.X (s) =1 y ROC ： b > Q 求兀(。(s + Cl), 1 _ ( 1 )(5 +a)2 ds s +a x(t) = teatu(t)信懸工釋字瞬

28、cie.SQU9. 時(shí)域積分：(Integration in the Time Domain )若 x(0>X(5), ROC: 7? 則 xr)dr <->X(s)J _ coSROC:包括 R n (Re5 > 0)f X(T)dT - X(0 * u(t)ROC:包括7?A(Re5>0)J00ct1/. x(T)drX(5)J co$g =4110. 初值與終值定理：(The Initial- and Final- Value Theorems)如果x(0是因果信號(hào)，且在r =必包含奇異信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S初值定理函數(shù)，貝U x(r)

29、= limsX(s)ST00Proof:：t <0時(shí)x(t) = (X且在f = 0不包含奇異函數(shù)。= 0 展開為 Taylor :IT戦隱x(fTx(o+)+<(o+)f+x仝o+)r+:+<)(o+)r+： S323一x(s7廠(0+)+4吃(0+)+:.+<)(0+)+:. limsx(s) H XO+)S18信懸工釋字瞬cie.Sg =41如果兀是因果信號(hào)，且在=0不包含奇異 函數(shù)，(s)除了在s=0可以有單階極點(diǎn)外，其 余極點(diǎn)均在S平面的左半邊，則終值定理lim x(0 = lim sX (s)Ss0證：兀是因果信號(hào)，且在 UO無(wú)奇異函數(shù),.CO0+dxdte

30、 stdt 廣00二兀廠;+吐+兀廠力g =41X（s）除了在s=0可以有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在S平面的左半平面（即保證垃）有終故sX（s）的ROC中必包含加軸。表明:S的實(shí)部b可以大于零,因此 x(t)est；二 _兀（0一）信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S如2幺7力=一sX（$）當(dāng)s-> 0時(shí),Jo+ dt、sdx(t) = lim x(?) x(0+)0+ts:.lim x紅)=lim sX (s)r-oo$0旺信懇工旌孑B亓極點(diǎn)在S平面的分布與信號(hào)終值的關(guān)系信懸工釋字瞬cie.S9.6常用拉氏變換對(duì)Some Laplace Transform Pairsm(o1se

31、atu(t)1S + 6Ztnu(t)n sn+151嚴(yán)g =419.7用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng) Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform系統(tǒng)函數(shù)的概念:以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即Y(s) = X(s)H(s)其中H(s)是力的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù).傳遞函數(shù)。如果Y(s)的ROC包括加軸，則X(s)和H(s)的ROC必定包括jco軸，以s =加代入，即有Y(jWX(jco).H3這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。H(je)即是系統(tǒng) 的頻率響應(yīng)。這些方法

32、之所以成立的本質(zhì)原因在于復(fù)指數(shù)函 數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。當(dāng)以幺丿血為基底 分解信號(hào)時(shí)，LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)就是X(ja)AH(ja)；而以丘"為基底分解信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是X(s)H(s)。H (s)連同相應(yīng)的ROC也能完全描述一個(gè)LTI系 統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在疾其ROC中一定 有具體的體現(xiàn)。二.用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng):1因果性:如果 Y0時(shí)方=0,則系統(tǒng)是因果的。g =41如果0時(shí)加)=0，則系統(tǒng)是反因果的。因此，因果系統(tǒng)的力是右邊信號(hào)，其/(S)的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。由于反因果系 統(tǒng)的h(t)是左邊信號(hào)，H(s)的ROC必是最左 邊極點(diǎn)的左邊。應(yīng)

33、該強(qiáng)調(diào)指出，由ROC的特征，反過(guò)來(lái)并不能判定系統(tǒng)是否因果。ROC是最右邊極點(diǎn)的右 邊并不一定系統(tǒng)因果。g =41只有當(dāng)/($)是有理函數(shù)時(shí)，逆命題才成立。2_穩(wěn)定性:如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 力 V OO。因 此H(兀)必存在。意味著H(s)的ROC必然包 括溝軸。綜合以上兩點(diǎn)，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng) 的H(s),其全部極點(diǎn)必須位于S平面的左半邊。g =41例 1.某系統(tǒng)的 h(t) = eru(t) + e2tu(t)2s+ 3s? + 3s + 2ROC:Re5>-l顯然，顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。RO C是最右邊極點(diǎn)的右邊。ROC包括加軸 系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。H(s)的全部極點(diǎn)都

34、在S平面的左半邊。例2.若有w)= 5+1p =4°Res>1H(s)的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但H(s)是非有理函數(shù)，h=幺"+%(/ + 1)，系統(tǒng)是非因信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S果的。由于ROC包括丿力軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。而對(duì)系統(tǒng) H(s) = 一 ,Res>-1s + 1是非有理函數(shù)，ROCA最右邊極點(diǎn)的右邊，但由于力(°=£一(1誠(chéng)-1),系統(tǒng)是因果的。QU結(jié)論：1 如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部 極點(diǎn)位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果、 穩(wěn)定的。2如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng) 因果，

35、則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點(diǎn)的右 邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最 左邊極點(diǎn)的左邊。3如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC必然 包括加軸。三由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：對(duì)頭今卷以常做拉氏變換，可得k=ok=0k-=響，是一個(gè)有理函數(shù) k D(s)Nk 二0X(s) $Laksk=0H(s)的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來(lái)確定。1)如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件,則H(s)的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。2)如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，貝U H的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。3)如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，貝QH(s)的ROC必包括丿刀軸。信懸

36、工釋字瞬cie.S系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系:信懸工釋字瞬cie.S信懸工釋字瞬cie.S自學(xué)。請(qǐng)關(guān)注例925、9.26、9.27五.Butterworth濾波器：通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應(yīng)的 模平方函數(shù)給出。對(duì)N階Butterworth低通濾波 器有：1i+3/畋廠（N為濾波器的階數(shù)）g =41由于 |B(»|2Butterworth濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)該是實(shí)信號(hào),BS) = B(-加)將|B(" )f函數(shù)拓展到整個(gè)S平面有：共有2N個(gè)極點(diǎn)1 + ($/皿嚴(yán)丄吐二(一1)莎 0方J 二 sk 嚴(yán)k伙二 0,1,2N 1)g =41表明N階Butter w

37、orth低通濾波器模平方函數(shù)的全部2N個(gè)極點(diǎn)均勻分布在半徑為乞的圓周上。極點(diǎn)分布的特征:2N個(gè)極點(diǎn)等間隔均勻分布在半徑為乞的圓周上。軸上不會(huì)有極點(diǎn)。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)在實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)時(shí)實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)。相鄰兩極點(diǎn)之間的角度差為7T/N。極點(diǎn)分布總是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。Q j=L "J屮AN=2要實(shí)現(xiàn)的濾波器應(yīng)該是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此 位于左半平面的N個(gè)極點(diǎn)一定是屬于B(s)的。據(jù)此，確定出B(s)后，也就可以綜合出一個(gè) Butterworth 濾波器。g =419-8系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示System Function Algebra and Block DiagramReprese

38、ntations一.系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的系統(tǒng)函數(shù):1級(jí)聯(lián):恥）|1 恥）|-H （s） = H © H 2（s）ROC:包括RE© =412并聯(lián)：H(s) = H、(s) + H2(s)ROC:包括尺p|7?23 反饋聯(lián)結(jié)：RX|(s) = X(s)-G(s)Y(s)Y(s) = XG)H(s)= X(s) GG)Y(s)H(s)址yG(s)4ROC:包括尺仃凡g)X($)l + G(s)H(s)g =41二.LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：LTI系統(tǒng)可以由一個(gè)LCCDE來(lái)描述。*門dky（t）_dkx（t）乙咳 廿 一 L * 廿 k=05k=0NN對(duì)其進(jìn)行拉氏變換有：工Jy（s）

39、二工仇Jx（s）k=0k=0NV bksk77二罟卜=瞑HG）是一個(gè)有理函數(shù)X愛(ài)恥）k 二0© =411-級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu):3+0腫+00“k=N-2Pn（s+人） k=N-2Q n（$+%） k=將H(s)的分子和分母多項(xiàng)式因式分解bH（s） = haN這表明：一個(gè)N階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干 個(gè)二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。在N為偶數(shù)時(shí), 可以全部組合成二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式。QUHG)=如石比G)其沖Qn km'比(s) = £ + 0Q +九+alks + aok如11111 1如果N為奇數(shù)，則有一個(gè)一階系統(tǒng)出現(xiàn)。© =412-并聯(lián)結(jié)構(gòu):將H(s躍開為部分分式(

40、假定H(s)的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點(diǎn)都是單階的)， 則有：H(s)二如+ £丄aN k=i s + yk將共鋌成對(duì)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)合并:H(s) =+ f 02 + 00k k= s2 +axks +%N-2Qk=A*sfHg(N為偶數(shù)時(shí))N為偶數(shù)時(shí)又可將任意兩個(gè)一階項(xiàng)合并為二g =419.9單邊拉普拉斯變換The Unilateral Laplace Transform單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是 因果信號(hào)的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對(duì)分析 LCCDE描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。co一. 定義：龍G) = J。x(testdt如果兀（0是因果信號(hào)，

41、對(duì)其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。g =41單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然 遵從因果信號(hào)雙邊拉氏變換時(shí)的要求，即：一定 位于最右邊極點(diǎn)的右邊。正因?yàn)檫@一原因，在討論單邊拉氏變換時(shí)，一 般不再?gòu)?qiáng)調(diào)其ROC。單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的 反變換相同O兀二%s)es,ds2兀j兀-戶信懸工釋字瞬cie.SMg信懇工程字院匚 ie.S例1. x(t)=ea(t+l)u(t + l)做雙邊拉氏變換：“)=士孑 ReM > -做單邊拉氏變換:信懸工釋字瞬cie.SRe > -a力 G) = j： eaesxdt 二曠叮ss+E力二g =41x（s）與力（s）不同,是因?yàn)樨Ｔ趂<0的部分 對(duì)X（s）有作用，而對(duì)力（S）沒(méi)有任何作用所致。例2.力）二23$ + 2由于其ROC為cf>2/ cl力(s) = s 2 + -5 + 2. x(t) = ux (0 - 2S (0 + e2tu(t)信懸工釋字瞬cie.S© =41二. 單邊拉氏變換的性質(zhì):單邊拉氏變換的大部分性質(zhì)與雙邊拉氏變換相同,但也有幾個(gè)不同的性質(zhì)O1.時(shí)域微分(Differentiation in